高中数学《数学归纳法》课件

1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单的命题.4.4*数学归纳法1.数学归纳法的概念一般地,证明一个与①

正整数

n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当②

n=n0(n0∈N*)

时命题成立;(2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当③

n=k+1

时命题也成立”.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从④

n0

开始的所有正整数n都成立.

这种证明方法称为数学归纳法.|数学归纳法南方绕弯2.数学归纳法的步骤1.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.

(

✕)提示:与正整数n有关的数学命题的证明还能用其他方法.2.证明与自然数n有关的命题时,只需当n取前几个值时命题正确即可.

(

✕)提示:由n取前几个值命题正确,推不出与自然数n有关的命题正确,是不完全归纳

法.3.在利用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,也可以不用归纳假设.

(✕)提示:数学归纳法的两个步骤缺一不可.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”。4.用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.

(

✕)提示:有的证明问题第一步并不是验证当n=1时结论成立,如证明凸n边形的内角

和为(n-2)·180°,第一步要验证当n=3时结论成立,所以不正确.5.用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1,等式的项数不一定增加了一项.

(√

)

提示:正确.如用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=

(a≠1)”时,由n=k到n=k+1,增加了两项.南方绕弯1|利用数学归纳法证明等式利用数学归纳法证明与正整数n有关的一些恒等式问题时,关键是看清等式两边

的项,弄清等式两边项的构成规律,进而利用当n=k(k≥n0,k∈N*)时的假设.证明恒

等式的一个重要技巧就是两边“凑”.用数学归纳法证明等式时的步骤:第一步:弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况,验证两边相等;第二步:弄清从n=k到n=k+1时等式两端的项是如何变化的,即增加了哪些项,减少

了哪些项;利用这些变化规律,设法将待证式与归纳假设建立联系,并向n=k+1时证

明目标的表达式进行变形,证明n=k+1时结论也成立.由数学归纳法原理得到等式成立.用数学归纳法证明:

+

+

+…+

=

(n∈N*).思路点拨(1)验证当n=1时等式成立;(2)由n=k时等式成立推出n=k+1时等式也成立.证明

(1)当n=1时,等式左边=

=

,等式右边=

=

,等式左边=等式右边,所以等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即

+

+

+…+

=

,则当n=k+1时,

+

+

+…+

+

=

+

=

=

=

=

.所以当n=k+1时,等式也成立,由(1)(2)可知,对于任意n∈N*,等式都成立.南方绕弯2|用数学归纳法证明不等式1.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式和证明与自然数有关的等式的方法

类似.2.用数学归纳法证明不等式时需注意:(1)在应用归纳假设证明的过程中,方向不明确时,可采用分析法完成,经过分析找

到推证的方向后,再用综合法、比较法等其他方法证明.(2)在推证“当n=k+1时不等式也成立”的过程中,常常要将表达式作适当放缩变

形,便于应用归纳假设,变换出要证明的结论.用数学归纳法证明:1+

+

+…+

≤

+n(n∈N*).思路点拨分别确定当n=1,n=k,n=k+1时不等式的左边的值,找到它们之间的关系,运用数学

归纳法证题.南方绕弯证明

(1)当n=1时,1+

=

,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即1+

+

+…+

≤

+k,则当n=k+1时,1+

+

+…+

+

+

+…+

<

+k+2k·

=

+(k+1),即当n=k+1时,不等式成立.由(1)和(2)可知,不等式对任意n∈N*都成立.3|归纳—猜想—证明,解决与递推公式有关的数列问题1.在给出了已知数列的递推关系的情况下,可根据已知写出数列的前几项,猜想出

结论,然后用数学归纳法证明该结论.简单地说,用不完全归纳法归纳结论,用数学

归纳法证明结论.正确计算是归纳的前提,常见的等差、等比数列的有关结论是

归纳的桥梁,而运用数学归纳法证明才是归纳的最终归宿.2.“归纳—猜想—证明”的解题步骤

已知数列{an}满足a1=a(a>0),an=

(n≥2,n∈N*).(1)用a表示a2,a3,a4;(2)猜想an的表达式(用a和n表示),并用数学归纳法证明.思路点拨利用递推公式求出a2,a3,a4,归纳出通项公式,再用数学归纳法证明结论.南方绕弯解析(1)由已知得,a2=

=

,a3=

=

=

,a4=

=

=

.(2)因为a1=a=

,a2=

,……,所以猜想an=

.下面用数学归纳法证明:①当n=1时,因为a1=a=

,所以当n=1时猜想成立.②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即ak=

,所以当n=k+1时,南方绕弯ak+1=

=

=

=

=

,所以当n=k+1时猜想也成立.根据①与②可知,猜想对任意n∈N*都成立.南方绕弯已知数列{an},an≥0,a1=0,

+an+1-1=

,求证:当n∈N*时,an<an+1.证明

(1)由题意得,当n=1时,

+a2-1=0,因为an≥0,所以a2=

,即a1<a2成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,0≤ak<ak+1,所以

-

=(

+ak+2-1)-(

+ak+1-1)=(ak+