(新高考)高考数学三轮冲刺小题必练8《圆锥曲线》(解析版)

2017年高考“2017年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台——教育因你我而变好教育云平台——教育因你我而变（新（新高考）小题必练8：圆锥曲线1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．3．了解圆锥曲线的简单应用；理解数形结合的思想．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．1．【2020全国Ⅰ卷理科】已知SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的右焦点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的右顶点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴，若SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为．【答案】2【解析】由题可知点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，代入并化简可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍弃）．【点睛】主要考查双曲线的几何性质、直线的斜率等知识点．2．【2019全国Ⅰ卷理科】已知椭圆SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由椭圆SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据椭圆的定义可知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，根据相似可得SKIPIF1<0代入椭圆的标准方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．【点睛】利用椭圆的定义及标准方程运算求解．一、单选题．1．已知双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的右支上，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的内切圆与边SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的渐近线方程是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设三角形SKIPIF1<0的内切圆的圆心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在第一象限，如图所示．作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．根据双曲线的定义可知SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，故选A．2．过双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的右支于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是坐标原点）交SKIPIF1<0的左支于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设左焦点为SKIPIF1<0．因为直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的左支于点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点关于原点对称，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为矩形．因为SKIPIF1<0，所以令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选C．3．已知双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0为等腰三角形，其外接圆的半径为SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】解法一：不妨设SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是等腰三角形，所以结合图形可知，只能SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又点SKIPIF1<0在双曲线上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选C．解法二：不妨设SKIPIF1<0在第一象限，因为SKIPIF1<0是等腰三角形，所以结合图形可知，只能SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选C．4．过抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0作直线与该抛物线交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】解法一：由题意，知SKIPIF1<0，准线SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．由抛物线的定义，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选A．解法二：由题意，知SKIPIF1<0，准线SKIPIF1<0，如图，作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入抛物线方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②．联立①②解得SKIPIF1<0，代入抛物线方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．由抛物线的定义，知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选A．5．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的上、下焦点，SKIPIF1<0是其一条渐近线上的一点，且以SKIPIF1<0为直径的圆经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0，不妨设点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0的过一、三象限的渐近线SKIPIF1<0上，因此可得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径的圆的方程为SKIPIF1<0，又以SKIPIF1<0为直径的圆经过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，故选C．6．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的右焦点相同，过点SKIPIF1<0分别作两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率的平方和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由双曲线方程知其右焦点坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．由题意可设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0为抛物线的焦点，所以由抛物线的定义可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，故选C．7．过抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，交抛物线于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，交抛物线的准线于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】解法一：由题意知直线SKIPIF1<0的斜率存在且不等于SKIPIF1<0，抛物线的焦点SKIPIF1<0．设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入抛物线的方程，得SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．抛物线的准线方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0．解法二：如图，设点SKIPIF1<0在第一象限，分别过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0作抛物线准线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，根据抛物线的定义得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在第一象限时可得直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0．综上，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0．8．已知椭圆SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由题意设椭圆的方程为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由椭圆的定义知，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的上顶点或下顶点．令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点），则SKIPIF1<0．在等腰三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，题意SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，故选B．二、多选题．9．已知曲线SKIPIF1<0．（）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是椭圆，其焦点在SKIPIF1<0轴上B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是圆，其半径为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是双曲线，其渐近线方程为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是两条直线【答案】ACD【解析】对于选项A，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0可变形为SKIPIF1<0，∴该方程表示焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵SKIPIF1<0，∴方程SKIPIF1<0可变形为SKIPIF1<0，该方程表示半径为SKIPIF1<0的圆，错误；对于选项C，∵SKIPIF1<0，∴该方程表示双曲线，令SKIPIF1<0，正确；对于选项D，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴方程SKIPIF1<0变形为SKIPIF1<0，该方程表示两条直线，正确，综上选ACD．10．当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0表示的轨迹可以是（）A．两条直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【答案】ACD【解析】将SKIPIF1<0分为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三种情况进行分类讨论，由此确定正确选项．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．方程SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，表示焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，表示两条直线；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．方程SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，表示焦点在SKIPIF1<0轴上的双曲线，所以曲线不可能表示圆，故选ACD．11．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左右焦点，点SKIPIF1<0是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（）A．双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0 B．以SKIPIF1<0为直径的圆的方程为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0到双曲线的一条渐近线的距离为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】A．代入双曲线渐近线方程得SKIPIF1<0，正确；B．由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则以SKIPIF1<0为直径的圆的方程，不是SKIPIF1<0，错误；C．SKIPIF1<0，渐近线方程为SKIPIF1<0，距离为SKIPIF1<0，正确；D．由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，正确，故选ACD．12．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线为，过SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在上的射影，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，则下列结论正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0为等腰直角三角形C．直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0 D．线段SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】由题意由抛物线的对称性，焦点SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，由题意可得直线SKIPIF1<0的斜率不为SKIPIF1<0，由题意设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将直线SKIPIF1<0与抛物线联立整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．A中，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以A正确；B中，由A正确，不可能SKIPIF1<0，更不会SKIPIF1<0或SKIPIF1<0为直角，所以B不正确；C中，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以C正确；D中，由题意可得弦长SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以D正确，故选ACD．三、填空题．13．过抛物线SKIPIF1<0焦点的直线SKIPIF1<0与该抛物线相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0的值为_