(新高考)高考数学一轮复习分层突破练习10.2《排列与组合》(含详解)

[基础题组练]1．(2020·广西桂林一模)中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》；现甲、乙、丙、丁、戊5名同学各选一本书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有()A．18种 B．24种C．36种 D．54种解析：选D．(1)若甲选《春秋》，则有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18种情况；(2)若甲不选《春秋》，则有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝36种情况．所以5名同学所有可能的选择有18＋36＝54种．故选D．2．(2020·湖南长郡中学模拟)某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有()A．72种 B．48种C．36种 D．24种解析：选C．根据题意，分2步分析：将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有Aeq\o\al(3,3)＝6种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，有Aeq\o\al(2,3)＝6种排法，则后六场开场诗词的排法有6×6＝36种，故选C．3．(2020·云南昆明模拟)现有6人坐成一排，任选其中3人相互调整座位(这3人中任何一人都不能坐回原来的位置)，其余3人座位不变，则不同的调整方案的种数有()A．30 B．40C．60 D．90解析：选B．根据题意，分2步进行分析：①从6人中选出3人，相互调整座位，有Ceq\o\al(3,6)＝20种选法；②记选出相互调整座位的3人分别为A，B，C，则A有2种坐法，B，C只有1种坐法，A，B，C相互调整座位有2种情况．则不同的调整方案有20×2＝40种，故选B．4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种 B．216种C．240种 D．288种解析：选B．第一类：甲在最左端，有Aeq\o\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120种方法；第二类：乙在最左端，有4Aeq\o\al(4,4)＝4×4×3×2×1＝96种方法．所以共有120＋96＝216种方法．5．如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为()A．30 B．42C．54 D．56解析：选B．间接法：先从这8个点中任取3个点，有Ceq\o\al(3,8)种取法，再减去三点共线的情形即可，即Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,5)－Ceq\o\al(3,4)＝42.6．(2020·四川广安、眉山、内江、遂宁一诊)某地环保部门召集6家企业的负责人参加座谈会，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()A．15 B．30C．35 D．42解析：选B．根据题意，分两类情况讨论：选出的3人中没有人来自甲企业，在其他5个企业中任选3个即可，有Ceq\o\al(3,5)＝10种情况；选出的3人中有人来自甲企业，则甲企业只能有1人参与，在其他5个企业中任选2个即可，有2×Ceq\o\al(2,5)＝20种情况．则不同的情况共有10＋20＝30种，故选B．7．(2020·河南南阳模拟)把四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有()A．12种 B．24种C．36种 D．48种解析：选C．根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中，且没有空盒，三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个球，则分2步进行分析：①先将四个不同的小球分成3组，有Ceq\o\al(2,4)＝6种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有Aeq\o\al(3,3)＝6种放法．则不允许有空盒子的放法有6×6＝36种．8．(2020·广东韶关调研)某中学元旦晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在节目乙的前面，节目丙不能排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有()A．720种 B．360种C．300种 D．600种解析：选C．先安排好除节目丙之外的5个节目，有eq\f(Aeq\o\al(5,5),Aeq\o\al(2,2))＝60种可能，再安排节目丙，有5种可能，共60×5＝300种方案．故选C．9．(多选)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是()A．若任意选择三门课程，选法总数为Aeq\o\al(3,7)B．若物理和化学至少选一门，选法总数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,6)C．若物理和历史不能同时选，选法总数为Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(1,5)D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,5)解析：选ABD．对于A，若任意选择三门课程，选法总数为Ceq\o\al(3,7)，错误；对于B，若物理和化学选一门，有Ceq\o\al(1,2)种方法，其余两门从剩余的5门中选，有Ceq\o\al(2,5)种选法；若物理和化学选两门，有Ceq\o\al(2,2)种选法，剩下一门从剩余的5门中选，有Ceq\o\al(1,5)种选法，所以总数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,5)，错误；对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,5)＝Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(1,5)(种)，正确；对于D，有3种情况：①只选物理且物理和历史不同时选，有Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(2,4)种选法；②选化学，不选物理，有Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(2,5)种选法；③物理与化学都选，有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,4)种选法，故总数为Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,4)＝6＋10＋4＝20(种)，错误．10．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有()A．250个 B．249个C．48个 D．24个解析：选C．①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有Aeq\o\al(3,4)＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有Aeq\o\al(3,4)＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C．11．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有()A．18种 B．24种C．36种 D．48种解析：选C．若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12种；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,3)＝6种；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq\o\al(2,3)＝6种，根据分类加法计数原理可得，共有36种情况，故选C．12．某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个．现密码破译者得知；甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同．则上述四人所设密码最安全的是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：选C．甲所设密码共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)＝48种不同设法，乙所设密码共有eq\f(Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,4),2！)＝36种不同设法，丙所设密码共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,3)＝144种不同设法，丁所设密码共有Aeq\o\al(4,4)＝24种不同设法，所以丙最安全，故选C．13．(2020·黑龙江哈尔滨三中期末)有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演员，则不同的出场顺序共________种．解析：有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演员，则先排2名女演员，有Aeq\o\al(2,2)种方法，然后插入1名男演员，有Aeq\o\al(1,3)种方法，再把这3个人当作一个整体，和其他2名男演员进行排列，有Aeq\o\al(3,3)种方法．再根据分步乘法计数原理，可得不同的出场顺序有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36种．答案：3614．从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有________种不同的选法．(用数字作答)解析：由题意，从4个班级的学生中选出7名学生代表，每一个班级中至少有一名代表，相当于7个球排成一排，然后插3块隔板把他们分成4份，即中间6个空位中选3个插板，分成四份，共有Ceq\o\al(3,6)＝20种不同的选法．答案：2015．(2020·湖北联考)某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为________．解析：设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻：相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成的(n－2)个间隔中，故有Aeq\o\al(3,n－2)种．恰有2辆共享汽车相邻，可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将(n－3)个停车位排好所成的(n－2)个间隔中，故有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,n－2)种．因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，所以Aeq\o\al(3,n－2)＝Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,n－2)，解得n＝10.答案：1016．(2020·浙江嘉兴一中、湖州中学联考)用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成________个无重复数字的三位数，也可以组成________个能被5整除且无重复数字的五位数．解析：第一个空：第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有Ceq\o\al(1,5)＝5种方法；第二步，确定另外两个数位上的数，有Aeq\o\al(2,5)＝5×4＝20种方法，所以可以组成5×20＝100个无重复数字的三位数．第二个空：被5整除且无重复数字的五位数的个位数上的数有2种情况：当个位数上的数字是0时，其他数位上的数有Aeq\o\al(4,5)＝5×4×3×2＝120种；当个位数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有Ceq\o\al(1,4)＝4种方法，而后确定其他三个数位上的数有Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24种方法，所以共有24×4＝96个数．根据分类加法计算原理，可得共有120＋96＝216个数．答案：100216[综合题组练]1．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有()A．12种 B．16种C．18种 D．36种解析：选C．先将标号为1，2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放入剩下的2个盒子中，共有eq\f(Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2),2！)·Aeq\o\al(2,2)＝6种情况，所以不同的方法共有3×6＝18(种)．2．(多选)(2020·山东日照期末)把四个不同的小球放入三个分别标有1号、2号、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有()A．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3)种 B．Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)种C．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)种 D．18种解析：选BC．根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1号、2号、3号的盒子中，且没有空盒，三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个球，则分两步进行分析：法一：①先将四个不同的小球分成3组，有Ceq\o\al(2,4)种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有Aeq\o\al(3,3)种放法．则不允许有空盒子的放法有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36种．法二：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的盒子中，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)种情况；②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个盒子中，有Aeq\o\al(2,2)种放法，则不允许有空盒的放法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝36种，故选BC．3．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对．解析：如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(Ceq\o\al(2,6)－3)对，两个正四面体有(Ceq\o\al(2,6)－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(Ceq\o\al(2,6)－3)×2×2＝48(对)．答案：484．数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，其中N2、N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1＜N2＜N3的所有排列的个数是________．解析：(元素优先法)由题意知6必在第三行，安排6有Ceq\o\al(1,3)种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有Aeq\o\al(2,5)种方法，在留下的三位数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有Ceq\o\al(1,2)种方法，剩下的两个数字有Aeq\o\al(2,2)种排法，根据分步乘法计数原理，所有排列的个数是Ceq\o\al(1,3)