概率与函数、数列等综合问题

概率与函数、数列等综合问题【典例1】为响应绿色出行，某市在推出共享单车后，又推出新能源分时租赁汽车．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过40分钟时按0.12元/分计费，超过40分钟时，超出部分按0.20元/分计费．已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t(单位：分)是一个随机变量．现统计了张先生50次路上开车花费的时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示.时间t/分(20,30](30,40](40,50](50,60]频数2182010将频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间．(1)写出张先生一次租车费用y(单位：元)与用车时间t(单位：分)的函数关系式；(2)若张先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列和期望；(3)若公司每月给1000元的交通补助，请估计张先生每月(按22天计算)的交通补助是否足够让张先生上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．(同一时段的时间用该区间的中点值代表)[解](1)当20<t≤40时，y＝0.12t＋15；当40<t≤60时，y＝0.12×40＋0.20(t－40)＋15＝0.2t＋11.8.所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.12t＋15，20<t≤40，,0.2t＋11.8，40<t≤60.))(2)张先生租用一次新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的概率P＝eq\f(2＋18,50)＝eq\f(2,5)，法一：ξ可取0,1,2,3.P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(27,125)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝eq\f(54,125)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))1＝eq\f(36,125)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))0＝eq\f(8,125)，ξ的分布列为ξ0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)E(ξ)＝0×eq\f(27,125)＋1×eq\f(54,125)＋2×eq\f(36,125)＋3×eq\f(8,125)＝1.2.法二：易知ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，所以E(ξ)＝3×eq\f(2,5)＝1.2.(3)张先生每月的交通补助足够让他上、下班租用新能源分时租赁汽车．理由如下．法一：张先生租用一次新能源分时租赁汽车的平均用车时间t＝25×eq\f(2,50)＋35×eq\f(18,50)＋45×eq\f(20,50)＋55×eq\f(10,50)＝42.6(分钟)，每次租用新能源分时租赁汽车的平均费用为0.2×42.6＋11.8＝20.32(元)，张先生一个月上、下班租车费用约为20.32×22×2＝894.08(元)，因为894.08<1000，故张先生每月的交通补助足够让他上、下班租用新能源分时租赁汽车．法二：张先生租用一次新能源分时租赁汽车的平均租车费用为(15＋0.12×25)×eq\f(2,50)＋(15＋0.12×35)×eq\f(18,50)＋(11.8＋0.2×45)×eq\f(20,50)＋(11.8＋0.2×55)×eq\f(10,50)＝20.512(元)，张先生一个月上、下班租车费用约为20.512×22×2＝902.528(元)，因为902.528<1000，故张先生每月的交通补助足够让他上、下班租用新能源分时租赁汽车．【解题技法】巧用特殊分布，速破分段函数与期望相交汇题破解此类频数分布表、分段函数、二项分布及期望相交汇的创新题的关键：一是会利用分类讨论法，求函数的解析式；二是活用二项分布的概率与期望公式，如本题第(2)小问的方法二，利用ξ～B（3，25），可快速得到E(ξ[提醒]此类题的易错点是审题不认真，对题眼不敏感，如本题第(1)小问，对题眼“超过40分钟”的“超过”不敏感，求出的函数解析式就会出错；再如本题第(3)小问，容易忽视题眼“每月按22天计算”，想当然地按一月30天去计算．因此，要提升对题眼的敏感度．【典例2】(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．[解](1)X的所有可能取值为－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列为X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)(2)①证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．②由①可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝eq\f(48－1,3)p1.由于p8＝1，故p1＝eq\f(3,48－1)，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝eq\f(44－1,3)p1＝eq\f(1,257).p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝eq\f(1,257)≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．【解题策略】(1)本题以试验新药疗效为背景，命制了一个概率与数列