八上数学评价手册答案解析

.PAGE.初二数学〔八上创新教育实验手册参考答案〔苏科版第一章轴对称图形1.1轴对称与轴对称图形[实践与探索]例1请观察26个大写英文字母,写出其中成轴对称的字母．解：成轴对称的字母有：A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y．注意：字母"N、S、Z"也具有对称的特点,但它们不是轴对称图形．例2国旗是一个国家的象征,观察图中的国旗,说说哪些是轴对称图形,并找出它们的对称轴．〔略[训练与提高]一、选择题：1．A2．D3．B4．A5．A二、填空题：6．〔1〔2〔5〔67．2,3,1,48．10∶21三、解答题：9．如图：10．长方形、正方形、正五边形[拓展与延伸]1．〔3比较独特,有无数条对称轴2．1.2轴对称的性质〔1[实践与探索]B1CBAC1A1图例1已知△ABC和△B1CBAC1A1图图图解：连接AA1,画出AA1的垂直平分线L,直线L就是△ABC和△A1B1C1的对称轴回顾与反思连接轴对称图形的任一组对称点,再画对称点所连接线段的垂直平分线,就得该图形的对称轴．例2如图,用针扎重叠的纸得到关于L对称的两个图案,并从中找出两对对称点、两条对称线段．解：可标注不同的对称点．例如：A与A'是对称点,B与B'是对称点．对称线段有AB与A'B',CD与C'D'等．回顾与反思研究对称点是研究对称图形的基础,一般先研究对称点,再研究对称线段,这能更清楚地了解轴对称的性质．[训练与提高]一、选择题：1．B2．D3．B4．A二、填空题：5．轴对称,3条6．略7．8100768．AB＝CDBE＝DE∠B＝∠D三、解答题：9．2,4,510．略11．不是,不是12．略13．在对称轴上ABCDABCD1D2D3D41．如图：2．如图：1.2轴对称的性质〔2[实践与探索]例1画出图1.2.3中△ABC图图1〔1〔2解：在图〔1和图1.2.3〔2中,先分别画出点A、B、C关于直线L的对称点、和,然后连接、、,则△就是△ABC关于直线L对称的图形．回顾与反思〔1如果图形是由直线、线段或射线组成时,那么在画出它关于某一条直线对称的图形时,只要画出图形中的特殊点〔如线段的端点、角的顶点等的对称点,然后连接对称点,就可以画出关于这条直线的对称图形；〔2对称轴上的点〔如图〔1中的点B,其对称点就是它本身．例2问题1：如图1.2.4,在一条笔直的河两岸各有一个居民点A和B,为方便往来,必须在河上架桥,在河的什么位置架桥,才能使A和B图1．2．4图1．2．5问题2：如图1.2.5,在一条河的同岸有两个居民点A和B,现拟在岸上修建一个码头,问码头修在何处,才能使码头到A图1．2．4图1．2．5问题1和问题2之间有联系吗？能从前一个问题受到启发来解决这个问题吗？探索：对问题1,显然只要连接AB,AB与a的交点就是所要找的点．对问题2,即要在直线a上找一点C,使AC＋BC最小．分析：我们用"翻折"———轴对称的方法．画点C：〔1作点A关于直线a的对称点A'；〔2连结A'B交a于点C,点C就是所求作的点．图理由：如图,如果C'是直线a上异于点C的任意一点,连AC'、BC'、A'C',则由于A、A'关于直线a对称,图．所以＞．这说明,只有C点能使AC＋BC最小．[训练与提高]一、选择题：1．C2．C3．B4．A二、填空题：5．〔1等腰三角形〔2矩形〔3等边三角形〔4正方形〔5五角星〔6圆6．不对称、不对称7．5个三、解答题：8．略9．略①②③①②③④12．画出点A关于直线L的对称点A',连结A'B与直线L的交点即为所求停靠点．[拓展与延伸]1．图略2．图略1.3设计轴对称图形[实践与探索]例1剪纸,千百年来在民间时代流传,给我们的生活带来无限的美丽！动手学一学：图图观察一下,图中最后的展开图是一个轴对称图形吗？它有几条对称轴？例2如图,以直线L为对称轴,画出图形的另一半．图图1.[训练与提高]一、选择题：1．B2．B二、填空题：3．M、P、N、Q三、解答题：4．如图：5．略6．如日本、韩国、等7．略8．图略[拓展与延伸]1．图略2．图略,答案不唯一1.4线段、角的轴对称性<1>[实践与探索]例1如图1.4.1,在△ABC中,已知边AB、<1>你知道点P与△ABC的三顶点有什么关系？图图1<2>当你再作出AC的垂直平分线时,你发现了什么？解：<1>点P与△ABC的三顶点距离相等,即PA＝PB＝PC．<2>如图,AC的垂直平分线也经过P点．即三角形的三条中垂线交于一点．图1.4.２例2如图1.4.2,在△ABC中,已知AB＝AC,D是AB的中点,且DE⊥AB,交AC于E．已知△BCE周长为8,且AB－BC＝2,图1分析：由题意可知,DE垂直平分AB,则有AE＝BE,因此△BCE的周长就转化为AC＋BC,问题即可解决．解：因为D是AB的中点,且DE上AB,所以AE＝BE,则△BCE的周长＝BE＋CE＋BC－AE＋CE＋BC＝AC＋BC＝8．又因为AB－BC＝2,AB＝AC,所以AC－BC＝2.由上可解得AC＝5,BC＝3．回顾与反思<1>本题中利用"E是线段AB的垂直平分线上的点"得到"AE＝BE",从而实现了"线段BE"的转移,这是我们常用的方法；<2>利用"线段的中垂线的性质"可以说明两条线段相等．[训练与提高]一、选择题：1．C2．D3．D4．A二、填空题：5．无数个6．6,27．10,8cm8．9cm三、解答题：9．24010．连结AB,作AB的中垂线交直线L于P,点P即为所求作的点11．24cm12．<1>350〔2550[拓展与延伸]1．图略〔1只要任意找一个以A为顶点的格点正方形,过点Ａ的对角线或其延长线与BＣ的交点就是点Ｐ〔2找与A为顶点的正方形中与A相对的顶点．2．9cm1.4线段、角的轴对称性<2>[实践与探索]例1如图1.4.3,在△ABC中,已知∠ABC∠ACB的角平分线相交于O．请问：图1.4.３<1>你知道点O与图1<2>当你再作出∠A的平分线时,你发现了什么？解：<1>点O到△ABC的三边的距离相等；<2>如图1.4.3,∠A的平分线也经过点D,即三角形的三图1.4.4例2已知：如图1.4.4,AD∥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,且点E是DC的中点．问：AD、图1分析：此题结论不确定,从已知中收集有效信息,并大胆尝试〔包括用刻度尺测量是探索、猜想结论的方法．<1>将"AE平分∠BAD"与"DE⊥AD"结合在一起考虑,可以联想到,若作EF⊥AB于F,就构成角平分线性质定理的基本图形,可得AF＝AD．<2>再结合"点E是DC的中点",可得：ED＝EF＝EC．于是连接BE,可证BF＝BC．这样,AD＋BC＝AF＋BF＝AB．解：AD、BC与AB之间关系：AD＋BC＝AB．证明思路简记如下：作EF⊥AB,连接BE,易证△ADE≌△AFE<AAS>,∴AD＝AF．再由EF＝ED,EF＝EC,可得△BFE≌△BCE<HL>,∴BF＝BC,AD＋BC＝AB．回顾与反思<1>根据例1的结论,我们可以在三角形内找到一点,使它到三角形三边距离都相等；<2>利用角平分线的性质,可以说明两条线段相等,这也是我们常用的办法．[训练与提高]一、选择题：1．A2．B3．A4．C二、填空题：5．线段的垂直平分线、角平分线6．37．900三、解答题：8．略9．过P点分别作垂线10．作图略11．作MN的中垂线,∠AOB的平分线交点即是12．6cm[拓展与延伸]1．6002．略1.5等腰三角形的轴对称性<1>[实践与探索]例1<1>已知等腰三角形的一个角是1000,求它的另外两个内角的度数；<2>已知等腰三角形的一个角是800,求它的另外两个角的度数．分析：<1>由于等腰三角形两底角相等,且三角形的内角和为1800,所以1000的角一定是这个三角形的顶角；<2>等腰三角形的一个角是800,要分底角为800或顶角为800两种情况．解：<1>由于等腰三角形两底角相等,且三角形的内角和等于1800,这个三角形的顶角等于1000,所以这个三角形的另两个内角应为<1800－1000>＝400．<2>①底角为800时,另外两角分别为800和200；②顶角为800时,另外两角分别为500和500．回顾与反思：<1>当不知道已知的角是等腰三角形的顶角还是底角,此时须进行讨论；<2>若把已知角改为α,则这个等腰三角形另外两个角的度数是怎样的呢？例2如图,在△ABC中,AB＝AC,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F．试说明DE＝DF的道理．分析：本题可以根据"角平分线上的点到角的两边的距离相等"图B图BEDCFADE＝DF．也可以利用△ADB和△ACD面积相等来说明DE＝DF,或用全等来说明．[训练与提高]一、选择题：1．A2．C3．C4．C5．A二、填空题：6．5cm7．6cm,2cm,或4cm,4cm8．〔112.5〔2,9．3,3,4或4,4,2三、解答题：10．〔1700、400或550,550〔2300,30011．750,750,30012．33cm13．108014．BD＝CE.理由：∵AB＝AC,∴∠B＝∠C．∵AD＝AE,∴∠ADE＝∠AED．∴∠ADB＝∠AEC．∴ΔABD≌ΔACE．∴BD＝CE[拓展与延伸]1．10002．略1.5等腰三角形的轴对称性<2>[实践与探索]例1如图1.5.2,在△ABC中,已知∠A＝360,∠C＝720,平分∠ABC,问图中共有几个等腰三角形？为什么？解：图中共有3个等腰三角形．∵∠A＝360,∠C＝720,∴∠ABC＝1800一〔∠A＋∠C＝1800－<360＋720>＝720＝∠C,图1．5．2∴△ABC图1．5．2又∵BD平分∠ABC,∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝360,∠BDC＝∠A＋∠ABD＝360＋360＝720,即有∠A＝∠ABD,∠BDC＝∠C．∴△ABD和△BCD都是等腰三角形．∴图1.5.2中共有3图例2如图1.5.3所示,在四边形ABCD中,∠ABC＝∠ADC900．,M、N分别是AC.BD的中点,试说明：<1>DM＝BM；<2>MN⊥BD．解：<1>∵点M是Rt△ABC斜边的中点,∴BM＝AC,同理DM＝AC,∴BM＝BM；<2>∵N是BD的中点,又BM＝DM,∴MN⊥BD．回顾与反思<1>"等边对等角"和"等角对等边"是证明角相等或边相等的又一手段,要能够将这两条定理结合在一起灵活运用,要分清区别和联系；<2>看见直角三角形斜边的中点时,要联想"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半",这是我们常用的思维方式之一．[训练与提高]一、选择题：1．D2．B3．D4．C二、填空题：5．等腰6．87．350,8．〔1ΔBDE或ΔADE〔2ΔBCE〔3ΔAGF三、解答题：9．等腰三角形10．ΔABC,ΔAEF,ΔEBO,ΔFCO,ΔOBCBE＝CF＝EF11．平行12．10cm[拓展与延伸]1．延长AE交BC延长线于F2．略1.5等腰三角形的轴对称性<3>[实践与探索]图例1如图1.5.4,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC图1200,点D、E在BC上,且BD＝AD,CE＝AE．判断△ADE的形状,并说明理由．解：△ADE是等边三角形．理由：∵AB＝AC,∠BAC＝120．,∴∠B＝∠C＝300．∵BD＝AD,AE＝CE,∴∠B＝∠BAD＝300,∠C＝∠CAE＝300,∴∠ADE＝∠DAE＝∠AED＝600.∴△ADE是等边三角形．例2等腰三角形的底边长为5cm,一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分之差为3cm,则腰长为<>A．2cmB．8cmC．2cm或8cmD．以上都不对分析可以先画出草图,题中所给条件实质是腰长与底边长之差的绝对值为3cm．因为底边长为5cm,所以腰长可能为8cm或2cm,但由于2cm＋2cm＜5cm,故腰长不能为2cm,只能为8cm．解：选B．回顾与反思涉及求等腰三角形边或角时,常会出现"两解"的情况．这样的"解"需要检验它是否满足三角形的三边或三角之间的关系．[训练与提高]一、选择题：1．D2．D3．C4．A5．C二、填空题：6．等边、等边7．1508．1200三、解答题：9．10、略11．〔1EC＝BD〔2添加条件：AB＝AC,是轴对称图形,此时,∠BOC＝1200,12．过D点作AC平行线[拓展与延伸]1．添辅助线,通过ΔACD≌ΔBCE来说明2．略1.6等腰梯形的轴对称性<1>图1.6.1图1.6.1例1如图1.6.1,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝CD点E在BC上,DE∥AB且平分∠ADC,△CDE是什么三角形？请说明理由．解：△CDE是等边三角形．因为AD∥BC,AB＝CD,所以∠B＝∠C．理由："等腰梯形在同一底上的两个角相等"又因为AD∥BC,所以∠ADE＝∠CED．由DE平分∠ADC,可得∠ADE＝∠CDE,于是∠CED＝∠CDE.又因为AB∥DE,所以∠B＝∠CED,从而有∠C＝∠CED＝∠CDE,所以△CDE是等边三角形．回顾与反思等腰梯形与等腰三角形有着紧密的联系．在研究等腰梯形时,要联想到等腰三角形中的知识．例2如图1.6.2,在梯形纸片ABCD中,AD∥BC图1.6.2∠B＝600,AB＝2,BC＝图1.恰好重合,折痕为AE,求AE和CE的长．解∵点B与点D沿折痕AE折叠后重合,∴△ABE≌△ADE,∴∠1＝∠B＝600,∠3＝∠4.∵AD∥BC,∴∠1＝∠2＝600.而∠2＋∠3＋∠4＝1800,∴∠3＋∠4＝1200,∴∠3＝∠4＝600,而∠B＝600,∴∠5＝600,因此,△ABE是等边三角形．∴AE－BE＝AB＝2,∴CE＝BC－BE＝4.回顾与反思解题过程中要把等腰梯形和一般梯形的特征区分开,不可误用．[训练与提高]一、选择题：1．B2．C3．B二、填空题：4．1080,1080,7205．276．①②③④7．1cm8．15三、解答题：9．∠A＝∠E10．720、720、1080、1080,11．成立[拓展与延伸]CE＝〔AB＋BC过点C作CF∥DB,交AB的延长线于点F,先证：ΔDCB≌ΔFBC,则CF＝DB,又四边形ABCD是等腰梯形,则AC＝DB,故AC＝CF,易证：∠AOB＝∠ACF,所以ΔACF为等腰直角三角形．又因为CE⊥AB,易证：CE＝AE＝EF＝．2．4,61.6等腰梯形的轴对称性〔2[实践与探索]BCFADE例1如图,△ABC中,∠ACB＝900,D是AB的中点,DE∥AC,且DE＝,点F在AC延长线上,且CF＝,请说明四边形AFEDBCFADE图略证：先说明四边形CFED是平行四边形．图由CD∥EF,∠F＝∠ACD,且CD是RT△ABC斜边上的中线得∠A＝∠F,证得四边形AFED是等腰梯形回顾与反思要证明梯形是等腰梯形时,只要证明同一底上的两个角相等．例2阅读下面的分析过程,并按要求回答问题．已知在四边形ABCD中,AB＝CD,AC＝BD,AD≠BC.则四边形ABCD是等腰梯形．你能说明理由吗？分析：要证明四边形ABCD是等腰梯形,因为AB＝DC,所以只需证四边形ABCD是梯形即可；又因为AD≠BC,故只需证AD∥BC．现有如图所示的几种添辅助线的方法,可以任意选择其中一种图形,对原题进行证明．<1><1><2><3><4>图1.6.友情提示：充分利用全等三角形与等腰三角形来完成．回顾与反思在研究等腰梯形时,常常通过辅助线,使等腰梯形与等腰三角形、平行四边形联系起来．[训练与提高]一、选择题：1．C2．C3．B4．B5．C二、填空题：6．247．500、500、1300、1300,8．是9．800、800、1000,等腰三、解答题：10．略11．ΔABC≌ΔDCB12．是,理由：∵∠E＝∠ACE,∴AE＝AC∵AD∥BC,∴∠DAC＝∠ACE∴∠E＝∠DAC∵AD＝BE,∴ΔABE≌ΔCDA∴AB＝CD∴梯形ABCD是等腰梯形．13．∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠ACB．∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠BEC＝∠CDB＝900,BC＝BC∴ΔBEC≌ΔCDB．∴BE＝CD∴AE＝AD．∴AED＝∠ADE＝．∵∠ABC＝∠ACB＝,∴∠AED＝∠ABC.∴ED∥BC.∵BE与CD相交于点A,∴BE与CD不平行．∴四边形BCDE是梯形．∵∠EBC＝∠DCB,∴梯形BCDE是等腰梯形．MNFDMNFDCBAE1．26,322．解：设经过x秒后梯形MBND是等腰梯形,∵作ME⊥BC于点E,DF⊥BC于点F．∴BE＝FN＝AM＝x．∴EF＝MD＝21－x,CN＝2x,BN＝24－2x．∴BN＝2AM＋MD．即24－2x＝2x＋21－x,∴x＝1．第一章复习题A组：1．A2．C3．B4．D5．C6．、18或21,227．350、350；400、1000或700、7008．3cm或7cm9．7,10或8.510．〔1300,〔21911．100012．〔1400,〔2350,〔336013．4501350等腰14．等腰梯形15．3B组：16．略17．略18．2730019．提示：先证：ΔADE≌ΔADC,则DE＝DC,所以∠DEC＝∠DCE,又EF∥BC,所以∠DCE＝∠FEC,则∠FEC＝∠DEC20．21．略22．提示：连结CR、BP,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．第二章勾股定理与平方根答案2.1平方根⑴例1解：⑴∵<±10>2＝100,∴100的平方根是±10,即；⑵∵<±1.3>2＝1.69,∴1.69的平方根是±1.3,即；⑶∵,<±>2＝,∴的平方根是±,即；⑷∵02＝0,∴0的平方根是0,即.回顾与反思：⑴正数的平方根有两个,它们互为相反数,要防止出现100的平方根是10的错误；⑵当被开方数是带分数时.应先将它化成假分数后再求平方根；⑶0的平方根只有一个,就是0,负数没有平方根.例2解：⑴∵－64＜0,∴－64没有平方根；⑵∵<－4>2＝16＞0；∴<－4>2有两个平方根,即；⑶∵－52＝－25＜0,∴－52没有平方根；⑷∵表示81的正的平方根是9,∵9＞0,∴的平方根有两个是±3.回顾与反思：象<－4>2、这样的数求平方根时,应先将这些数化简,再求化简后的数的平方根.例3解：⑴∵,∴x是196的平方根,即；⑵∵,∴,x是2的平方根,即；⑶∵,∴,∴是的平方根,即；∴,[训练与提高]1.B；2D；3B.4.3；5.±17；±4；6.±15；；7.－1；；8.9；81；9.0.10．⑴－8；⑵±1.3；⑶；⑷－9；11.⑴±5；⑵±9；⑶；⑷3,－1；12.25；13．±4.[拓展与延伸]1.±9；2.±3.2.1平方根⑵例1分析：表示10000的_________根；表示的算术平方根的相反数；表示的__________根.解⑴；

⑵；⑶.回顾与反思：表示10000的算术平方根,要防止出现＝±100的错误.探索：⑴发现：当时,.⑵发现：当时,,当时,；当时,.即.例2解：⑴＝3；⑵＝3；⑶当x＞0时,；

⑷当时,,.回顾与反思：等式和,是算术平方根的两个重要性质.以后经常会用到它们.[训练与提高]1.B；2.A；3.B4.D；5.D；6.C.7.⑴±15,15；⑵,；⑶±0.1,0.1；⑷.⑸±2,2；8.；9.,2；10.；11.－1；12.－3,互为相反数.13.⑴1；⑵；⑶；⑷0.17；⑸.5；⑹.－0.3；⑺.⑻.[拓展与延伸]1.±5,±1；12.5.2.2立方根例1分析因为立方与开方互为逆运算,因此我们可以用立方运算来求一个数的立方根,也可以通过立方运算来验证一个数是否为另一个数的立方根.例1解⑴∵,∴；

⑵∵,∴；

⑶、⑷、⑸略.例2解⑴；⑵.⑶略.回顾与反思：⑴当被开方数带"－"号时,可把"－"提取到根号外后再计算；

⑵当被开方数是带分数时,应先化成假分数；⑶当被开方数没化简时,应先化简后再求值.例3解⑴；⑵略回顾与反思：平方根与立方根的区别如下：⑴表示的意义不同；⑵与中的被开方数a的取值范围不同,中的a应满足a≥0,中的a可为任何数；⑶一个数的平方根与立方根的个数也不同,一个数的平方根最多有两个,也可能是一个或者不存在,而它的立方根总有且只有一个；⑷负数没有平方根,但负数有立方根.[训练与提高]1.B；2.C；3.D；4.B；5.±8,4,8；6.－1,5,,.7.100；±8；8．7,－3；9.⑴－10；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹3.⑺0.3；⑻6.10.⑴.⑵8；⑶－16；⑷－4.11.⑴5；⑵；⑶－4；⑷－2.[拓展与延伸]1.；2.37.5㎝2.2.3实数⑴例1如图将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开,得到四个等腰直角三角形,即可拼成一个大正方形,容易知道,这个大正方形的面积是2,所以大正方形的边长是.图图这就是说,边长为1的正方形的对角线长是,利用这个事实,我们容易在数轴上画出表示的点,如图所示.OO1x例2分析无理数有两个特征：一是无限小数,二是不循环.因此,要判定一个数是不是无理数,应从它的定义去判断,而不是从表面上去判断.如带根号的数不一定是无理数,而我们熟悉的圆周率就是无理数.解有理数有－3.1415926,,,.无理数有,,,0.1010010001….回顾与反思：有理数与无理数的区别是：前者是有限小数或无限循环小数,而后者一定是无限不循环小数.例3解⑴不正确.如是无限小数,但它不是无理数；

⑵不正确.如是有理数,但它是无限小数；

⑶正确.因为无理数是无限不循环小数,当然是无限小数；

⑷不正确.如是有理数.[训练与提高]1.B；2.C；3.C.4.实数；5.,,0,252252225,；5.121121121…,,,.6．；7.±.[拓展与延伸]1.C；2.8.2.3实数⑵例1分析在实数范围内,相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同.所以我们可以用在有理数范围内的同样方法来求一个实数的相反数、绝对值.解⑴∵,∴的相反数是4,绝对值是4；的相反数是,∵＜0,∴.⑵∵,,∴这个数是±解由图可知,∴.∵,∴,∴∵,∴,∴回顾与反思：⑴根据实数在数轴上的位置可以确定各数的符号以及这些数的大小关系；⑵在求一个数的绝对值时,首先要确定这个数的符号,然后根据"正数和零的绝对值是本身,负数和零的绝对值是它的相反数"来求出它的绝对值.⑶每个有理数都可以用数轴上的点来,但数轴上的点并不都表示有理数,数轴上的点与实数是一一对应的,即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来数轴上的每一个点都表示一个实数.例3解：〔1∵,,又,∴.〔2∵,∴,∴回顾与反思：比较两个无理数的大小,通常可以用计算器求它们的近似值再进行比较.估算一个无理数的大小,还可以用与它相近的有理数逐步逼近的方法来实现.[训练与提高]1.D；2.B；3.⑴2,2；⑵,；⑶－3,3；⑷,.4．＜,＜,＜；5.－1,0,1；6.；7.⑴2.02；⑵－10.95；⑶－0.98；⑷1.29；8.⑴－5；⑵－4；⑶；⑷－9.9.b－2a－2c.10＜；＜；＜；＞.[拓展与延伸]1.2a－b.2.4－.2.3近似数与有效数字例1分析生活中形形色色的数,哪些是近似数？哪些是准确数?需要我们仔细去辨别.脱离了现实背景的数,有时则无法区分.解略.例2解⑴43.8精确到十分位<即精确到0.1>,有3个有效数字,分别为4、3、8.⑵0.03086精确到十万分位,有4个有效数字,分别为3、0、8、6.⑶2.40万精确到百位,有3个有效数字,分别为2、4、0.回顾与反思：由于2.40万的单位是万,所以不能看成精确到百分位,另外2.4万和2.40万作为近似数,它们是不一样的.例3解⑴3.4802≈3.48；⑵3.4802≈3.480；⑶3.1415926≈3.14；⑷26802≈2.7×104.回顾与反思：〔1本题⑴、⑵小题,由于精确度要求不同,同一个数的近似结果是不一样的,所以第⑵题中3.480后面的0不能省略不写；反之同一个近似结果所对应的原数也不一定相同,你能举例说明吗?〔2第⑷小题中若把结果写成27000,就看不出哪些是保留的有效数字,所以此时要用科学计数法,把结果写成2.7×104.[训练与提高]1.D；2.C；3.A；4.略；5.⑴百分位,4个；⑵个位,2个；⑶千分位,3个；⑷个位,5个；⑸万分位,3个；⑹万位,3个；⑺百分位,3个；⑻百万位,3个.[拓展与延伸]⑴1×102；⑵－0.54；⑶－3.64×103；；⑷3.5.2.4勾股定理〔1例1解：⑴在Rt△ABC中,∠C＝90°,∴a2＋b2＝c2,∵a＝6,c＝10,

∴b2＝c2－a2＝64,∴b＝8.<b＝－8舍去>⑵在Rt△ABC中,∠C＝90°,∴a2＋b2＝c2,∵a＝40,b＝9,

∴c2＝a2＋b2＝1681,∴c＝41..<c＝－41舍去>⑶在Rt△ABC中,∠C＝90°,∴a2＋b2＝c2,∵b＝15,c＝25,

∴a2＝c2－b2＝400,,∴a＝20..<a＝－20舍去>⑷在Rt△ABC中,∠C＝90°,∴a2＋b2＝c2,∵3a＝4b,∴a︰b＝4︰3∴设a＝4k,b＝3k,则c＝5k.∵c＝2.5,∴k＝0.5,∴a＝2,,b＝1.5.回顾与反思：勾股定理反映直角三角形中三边的关系,运用勾股定理在直角三角形的三边中已知任意两边就可以求出第三边.例2解①∵△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝1,∴AB＝,②∵△ABC中,∠ACB＝90°,BC＝1,AB＝2,∴AC＝回顾与反思：运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形．若已知条件中没有直角三角形时,应构造直角三角形后方可运用勾股定理．[训练与提高]1.D；2.A；3.13,60；4.225,39,225；5.5,6.5；7.49；8.13；9.[拓展与延伸]4.2.4勾股定理〔2例1略例2解：由题意得∠AOB＝90°,AO＝30,BO＝40.<海里>答：1小时后两舰相距50海里例3分析此题首先要解决△ABC的面积,为此,可考虑作AD⊥BC于D.解过A作AD⊥BC于D,则AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2.设BD＝x,则CD＝14－x,∴132―x2＝152―<14－x>2,∴x＝5即BD＝5,∴AD2＝144.∴AD＝12,S△ABC＝BC·AD＝84m2∴费用84×50＝4200元.回顾与反思：〔1勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的关系,已知直角三角形中任意两边就可以依据勾股定理求出第三边.在实际问题中若存在现成的直角三角形,就可以直接运用勾股定理解决问题.〔2涉及面积计算往往需要添加辅助线<高>来构造直角三角形,从而运用勾股定理求得相应的线段,进而求出所需面积.[训练与提高]1.D．2．D.3．4,6,2.4.7,1.8；5.3㎝；6.略.[拓展与延伸]1.图略；2.图略.2.5神秘的数组〔例1解⑴∵.根据直角三角形的判定条件知,由a、b、c为三边组成的三角形是直角三角形,且∠C＝90°.

⑵∵.根据直角三角形的判定条件知,由a、b、c为三边组成的三角形是直角三角形,且∠A＝90°.

⑶∵c＞a,c＞b,,而,∴,根据直角三角形的判定条件知,由a、b、c为三边组成的三角形不是直角三角形.回顾与反思：要判定一个三角形是否为直角三角形,只要计算两条较短边的平方和,以及最长边的平方,然后看它们是否相等即可.例2解∵在△ABD中,AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2,∴△ABD是直角三角形,∠A是直角.∵在△BCD中,BD2＋BC2＝25＋144＝169＝CD2,∴△BCD是直角三角形,∠DBC是直角.∴这个零件符合要求.回顾与反思：像<3,4,5>、<6,8,10>、<5,12,13>等满足a2＋b2＝c2的一组正整数,通常称为勾股数．利用勾股数可以构造直角三角形.例3解∵.

根据直角三角形的判定条件,得∠C＝90°.[训练与提高]1.B；2.B；3.C；4.C；5.C；6.直角三角,B；7.12,13,5；直角三角形；8.直角三角形,略9.∵AB⊥BC,∴∠B＝90°,∴AC2＝AB2＋BC2＝5,又∵AC2＋CD2＝5＋4＝9＝AD2.∴∠ACD＝90°,∴AC⊥CD.10.是,略；11.连接AC,∵∠ADC＝90°,AD＝4,CD＝3,∴AC2＝AD2＋CD2＝25,∴AC＝5,∵AB＝13,BC＝12,∴AC2＋BC2＝25＋144＝169＝AB2,∠ACB＝90°,S＝30－6＝24.[拓展与延伸]1.连结EC,∵D是BC的中点,DE⊥BC于D,交AB于E,∴BE＝CE∵BE2－EA2＝AC2,∴CE2－EA2＝AC2,∴CE2＝EA2＋AC2∴∠A＝90°.2.略2.6勾股定理的应用〔1例1分析⑴根据勾股定理,直角三角形中若两直角边长分别为1个单位和3个单位,则斜边长为个单位,因此,以原点为圆心,个单位长为半径画圆与数轴的交点表示的数即分别为±.①01-1②01-1①01-1②01-1图⑵如图图②ADECB图例2分析：几何应用问题重在将实际问题转化为数学问题,此题若设AE＝xkm,由△DAE、△EBCADECB图解：设AE＝xkm,则BE＝<25－x>km.∵CE＝DE,∴CE2＝DE2 .

由勾股定理得152＋x2＝<25－x>2＋102解得x＝10.答：E站应建在距A站10km处.回顾与反思：〔1运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形．若已知条件中没有直角三角形时,应构造直角三角形后方可运用勾股定理．〔2勾股定理是直角三角形中三边数量之间的一个关系式,也常被用作列方程的等量关系；[训练与提高]1.B.2.C；3.34；4.5,13；5.24,4.8.6..7.能,略8.能,略；9.略；10.10；11.4；12.25.[拓展与延伸]1.19.5m；2.作AD⊥BC于D,设BD＝x,由题意10―x2＝172―<x＋9>2,解得x＝6.由勾股定理得AD2.6勾股定理的应用⑵例1分析：设EC＝x,则DE＝8－x,由于折叠长方形的边AD,且D落在点F处,故△AFE和△ADE全等,则EF＝8－x,AF＝AD＝10,在Rt△EFC中,运用勾股定理得到关于x的方程,可以求出x的值.AFECDB解：设EC＝xcm,则DE＝AFECDB∵D、F关于AE对称∴△AFE≌△ADE,∴AF＝AD＝BC＝10,EF＝DE＝8－x.在Rt△ABF中,图∴FC＝BC－BF＝4.图在Rt△EFC中,由勾股定理得：,解得x＝3.答：EC长为3cm..回顾与反思：〔1折叠问题和轴对称密切相关,要注意翻折图形的特征；〔2从应用勾股定理解决实际问题中,我们进一步认识到把直角三角形中三边关系"a2＋b2＝c2”,看成一个方程,只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程,例DABCE图2分析求证的结论中出现平方的形式,我们常可联想勾股定理.要运用勾股定理,DABCE图解作AE⊥BC于E,则在△ADE中,AD2＝DE2＋AE2；又∵∠BAC＝90°,AB＝AC,∴AE＝BE＝CE.∵BD2＋CD2＝<BE－DE>2＋<CE＋DE>2＝BE2＋CE2＋2DE2＝2AE2＋2DE2＝2AD2,∴BD2＋CD2＝2AD2.回顾与反思：〔1在三角形中若要说明某个角是直角,常常想到勾股定理的逆定理.〔2说明含某些线段的平方形式的问题,常通过作垂线构造直角三角形,运用勾股定理来解决.[训练与提高]1.1.5.2．直角三角形；2.5.3．不一定,也可能只是a＝b；4.略；5⑴3,⑵设CD＝x,由题意62＋x2＝<8－x>2,解得x＝∴CD＝.[拓展与延伸]1.2a2；第二章复习题1.±8；8；4；±5.2．.3．－1,0,1.4.＜,＞.5.,.6.±4.7.±1,±2.8.12.9.2,3.10..11..任何实数.12.⑴.⑵,⑶10,24.13..14.30.15.B．16.C.17.B.18.B.19.C.20.C.21.⑴.⑵－3.⑶3,－1；22.直角三角形.23.5㎝.24.43.4.25.±1.26.2.27.2010.28.x＝6.29.2,.30.3.31.132.32.,,,,.33.12.34.,.35..36.6<提示：设CD＝x,由勾股定理得x2＋92＋x2＋42＝132>.37..38.＜,＞.第三章中心对称图形〔一参考答案3．1图形的旋转例1如图3．1．1,△ABC是等边三角形,D是BC上的一点,△ABD经过旋转后达到△ACE的位置．⑴旋转中心是哪一点？⑵旋转了多少度？⑶如果M是AB的中点,那么经过上述旋转后点M转到了什么位置？⑷图中相等的线段有哪些？相等的角有哪些？图3．1图3．1．1MEDCBA解⑴旋转中心是点A；⑵旋转了60°；⑶点M转到了AC的中点位置上；⑷相等的线段有：AB=BC=AC,AD=AE,BD=CE；相等的角有：∠B=∠BCA=∠CAB=∠DAE=60°,∠BAD=∠CAE,∠BDA=∠CEA．回顾与反思：本题应用了旋转的定义及特征,知道旋转图形哪些变,哪些不变．本题的难点在于旋转角度,注意图中∠DAC不是旋转角度．另外,注意到对应线段AB、AC所在直线的夹角是60°〔旋转角度,那么对应线段BD、CE所在直线的夹角呢？由此你想到什么？图3．1．2GFEDCBA例2已知,如图3．1．2,△ABC中,∠BAC=120°,⑴以点A为旋转中心,将△BAC逆时针旋转60°得△ADE,画出△ADE；⑵设题⑴中AD、图3．1．2GFEDCBA解⑴△ADE如图所示〔画法略；⑵△ABF能与△ADG重合,理由如下：∵∠BAC=120°,∠BAD=60°,∴∠DAG=60°=∠BAF；又由旋转知∠B=∠D,BA=DA,∴△ABF≌△ADG〔ASA．回顾与反思：观察一下△AFC与△AGE是否也具备这样的关系？本题中△ABF与△ADG能够重合是由∠BAC及旋转角的特殊性导致的,如果,将△ADE再绕点A逆时针旋转过1°,则∠BAD=59°,∠DAG=61°,结论就不成立．[训练与提高]1．D2．点A,逆时针旋转45°3．⑴点A,⑵△AEF是等腰直角三角形,⑶略4．⑴110°或290°,⑵180°5．以A为中心逆时针旋转120°得△AEF,以C为中心顺时针旋转120°得△CED,以AC中点为中心旋转180°得△ACE6．7．图略8．图略,用SAS证△EAC≌△BAD,再证BD⊥EC[拓展与延伸]1．图略．△A′′B′′C′′可由△ABC绕点P旋转2∠P得到2．图略3．2中心对称与中心对称图形⑴例1如图3．2．1,已知△ABC和点O,试画出△DEF,使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．图3．2．1EDCBAOF解①连接AO并延长AO到D,使OD图3．2．1EDCBAOF②同样方法画出点B、C的对称点E、F；③顺次连接DE、EF、FD．所以,△DEF即为所求的三角形．回顾与反思：画出一个别图形关于某一点成中心对称图形,关键在于分别作出每一点关于该点的对称点,对所画出的对应点必须按顺序连接相应的线段．把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能和另一个图形重合,则这两个图形成中心对称图形,这个点为对称中心．其中一个图形上的点的对应点在另一个图形上,中心对称是旋转角度为180°的特殊的旋转,因此具有图形旋转的一切性质．RPQC’’A’’B’’C’B’A’CBA图3．2．2例2如图3．2．2,已知∠QPR为直角,画出△ABC关于PQRPQC’’A’’B’’C’B’A’CBA图3．2．2解作图如图所示：△A′′B′′C′′可看作是△ABC关于点P成中心对称的图形．回顾与反思：成中心对称与成轴对称有什么区别和联系？题中改变△ABC的形状和位置,所得到的△A′′B′′C′′与△ABC是否总是成中心对称的？为什么？[训练与提高]1．⑴√⑵×⑶√⑷√2．⑴点A、B、C的对应点分别是A、D、E；⑵点C、A、E在一直线上；⑶AB=AD,AC=AE,BC=DE,∠BAC=∠DAE,∠B=∠D,∠C=∠E．3．略4．略5．略6．略7．略[拓展与延伸]1．图略,△ABC、△A′′B′′C′′关于点O成中心对称2．观察,分别连结两对对应顶点,其交点就是对称中心；理由：成中心对称的两个图形,其对应顶点的连线都经过对称中心3．2中心对称与中心对称图形⑵例1在图3．2．12的四个图案中,哪些图形既是中心对称图形又是轴对称图形？图3．2．12图3．2．12DCBA解A与B是中心对称图形但不是轴对称图形,C与D既是中心对称图形又是轴对称图形．回顾与反思：从轴对称图形、中心对称图形等图形及实例中,我们不难看出：轴对称图形不一定是中心对称图形；中心对称图形不一定是轴对称图形．那么,如果一个图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,它将具备怎样的特征？图3．2．13图3．2．13⑴图⑵图⑵图⑵图⑶图⑶图⑶图⑷图⑷图⑷图例2用四块如图3．2．13中的⑴图的瓷砖拼成一个正方形,使拼成的图形满足下列要求；⑵图是轴对称图形又是中心对称图形；⑶图是轴对称图形而不是中心对称图形；⑷图是中心对称图形而不是轴对称图形．请你按要求涂上阴影．解如上图涂好,特别要当心⑷图是中心对称图形而不是轴对称图形,要熟悉常见的中心对称图形而非轴对称图形,如平行四边形、X形〔或Z形,这样可给我们解题带来很多方便．例3如图3．2．14,BD、AC交于O,且BO=DO,∠B=∠D,AE⊥BO于E,CF⊥DO于F,试说明图3．2．14是中心对称图形的理由．OFEDCBA图3．2．1412解∵∠B=∠D,BO=DO,∠1=∠2,根据ASA,可以得到△ABO≌△CDO．∴AO=CO,又∵AE⊥BO,CF⊥DO,∴∠AEO=∠CFO=90°,且∠1=∠2,根据AAS,可以得到△AOE≌△COF,∴OEOFEDCBA图3．2．1412回顾与反思：说明一个图形是中心对称图形,首先要确定对称中心,接着说明图形的每一对关键的对应点都关于这个中心对称．另外,△ABO 与△CDO也可看作是关于点O成中心对称的图形．成中心对称,是指两个图形之间的对称关系．中心对称图形,是指一个图形具有的对称特征．成中心对称的两个图形,其中一个图形上的点关于对称中心的对称点都在另一个图形上,而中心对称图形上关于对称中心的对称点都在图形本身上．[训练与提高]1．B2．①17个,②1个,③8个3．图⑴⑵⑷⑹⑺是轴对称图形,图⑵⑷⑻是中心对称图形4．略5．图略6．图略[拓展与延伸]1．连结AD交BE于点O,通过△ABO≌△DEO说明OA=OC,OB=OE；再说明OC=OF,从而得图3．2．18是中心对称图形,对称中心为O2．略3．3设计中心对称图案1．观察、欣赏如图3．3．1的一些图案,谈一谈你的感受,和同学相互交流,找一找图案中的基本元素,想一想图案是怎样生成的．由此你联想到还可以怎样设计？图3．3．1图3．3．12．探索将一个圆周六等分、三等分的方法,并利用该方法来设计如下六叶花瓣等图案．图3．3．2图3．3．2通过对六叶花瓣图案的探索,试着画一画三叶、四叶花瓣等图案．回顾与反思：六叶花瓣图案是一个很基本的图案,它的作图思想及其技巧是学习设计其他图案可以借鉴的．由六叶花瓣图案联想到把一个圆六等分、三等分的作图方法是创造性思维,是从特殊到一般的过程．通过对图案生成过程的探索,试着用类似的方法去分析设计其它的图案．[训练与提高]1．略2．略3．图略,S阴=eq\f<1,2>S外圆4．略5．略6．略7．略[拓展与延伸]1．略2．如图3．3．4,观察下面部分图案设计的例子,它们的构思创意都用到了图形变换的思想．〔注：想一想这些图案中分别用到了哪些图形变换的方法,你还发现其中有哪些创意？图3．3．4图3．3．4说明：平移变换、轴对称变换、旋转变换是常见的图形变换,以后还要学习相似变换,这些变换再加上丰富的色彩变化,在图案设计领域有着极为广泛的应用,美丽的图形设计构成了美的世界,已经成为人类生活中不可或缺的一部分．3．4平行四边形⑴例1如图3．4．1,在□ABCD中,⑴已知∠A=40°,求其他各内角；⑵已知AD=5,周长等于22,求其余三边的长．CBAD图3．4．1解⑴∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=40°,∴∠C=∠A=40°．∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠BCBAD图3．4．1=180°40°=140°．∴∠D=∠B=140°,∠C=40°．⑵∵平行四边形对边相等,∴BC=AD=5,AB=CD=×225=6．回顾与反思：由平行四边形的性质可知：平行四边形的对角相等,邻角互补；平行四边形的两组对边分别平行且相等；周长等于两邻边和的两倍．FEDCBA图3．4．2例2如图3．4．2,在□ABCD中,BC=3cm,∠C与∠D的平分线分别交AB于E、F,EF=1cm,⑴求DC的长；⑵上题中,改变AB的长度,使点FEDCBA图3．4．2解∵DF平分∠ADC,CE平分∠BCD,∴∠ADF=∠CDF,∠BCE=∠DCE．∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,DC∥AB．∠AFD=∠CDF=∠ADF,∠DCE=∠CEB=∠BCE,∴AD=AF,BC=BE．根据平行四边形对边相等,得DC=AB,AD=BC=3cm,∴AF=BE=3cm,⑴由上结论得到AB=AF+BEEF=5cm,∴DC=5cm；⑵AB=AF+FE+EB=7cm,∴DC=7cm．回顾与反思：⑴首先要紧扣：平行四边形的两组对边分别平行且相等；⑵由平行条件与内角平分线条件的结合要联想到等腰三角形；⑶请根据题中的条件思考：DF与CE的位置关系如何？[训练与提高]1．D2．C3．D4⑴108,72；⑵6、8；⑶595．30°、60°、30°6．1＜AB＜77．可证△ABE≌△CDF〔SAS,得AE=FC8．AB=2,AD=89．证BE=ED=FC图3．4．33图3．4．33142FEDCBA1．502⑴∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO〔平行四边形的对角线互相平分．AB∥CD,AB=DC〔平行四边形的对边平行且相等．∴∠1=∠2,∠3=∠4．∴△AOF≌△COE〔AAS,∴OE=OF．⑵四边形AFED与四边形BCEF的面积相等．⑶a+b+2m3．4平行四边形⑵图3．4．10FEDCBA例1如图3．4．10,已知四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D．⑴你能说明四边形是平行四边形吗？图3．4．10FEDCBA点E、F,,,试说明四边形BEDF也是平行四边形．解⑴∵∠A=∠C,∠B=∠D,又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∴2∠A+2∠B=360°,∴∠A+∠B=180°,∴AD∥BC；用∠C代换∠A得：∠C+∠B=180°,∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形〔两组对边分别平行的四边形是平行四边形．⑵∵□ABCD中,ABEQ\o\ac<∥,\s\do5<=>>CD,又∵,,∴,,∴BEEQ\o\ac<∥,\s\do5<=>>DF,∴四边形BEDF也是平行四边形〔一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．回顾与反思：平行四边形的定义是识别平行四边形的最基本的方法．图3．4．11OFEDCBA例2如图3．4．11,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知点E、F图3．4．11OFEDCBA分析：由于四边形ABCD是平行四边形,所以对角线互相平分,即AO=OC,OB=OD．因此要说明四边形BFDE是平行四边形,根据条件只要知道OE=OF就可根据"对角线互相平分的四边形是平行四边形"而得．解∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OB,OB=OD〔平行四边形的对角线互相平分．又∵E、F分别为AO、CO的中点,∴OE=OF．∴四边形BFDE是平行四边形〔对角线互相平分的四边形是平行四边形．回顾与反思：当题中出现两条线段互相平分时,要联想到"对角线互相平分的四边形是平行四边形"这一平行四边形的识别方法．[训练与提高]1．B2．D3．分别证□BDEN、□BDMF,得EN=BD=FM4．证BEEQ\o\ac<∥,\s\do5<=>>DF,得□BEDF,从而得DE=BF5．OE=OF成立,可证△OEB≌△OFD〔AAS来得到6．连结BD交EF于O,证BO=DO,EO=FO7．是,证DEEQ\o\ac<∥,\s\do5<=>>BF即可8．是,通过全等证EH=FG,EF=HG,从而得□EFGH[拓展与延伸]1．B2．延长AD至E,使DE=AD,连结BE=CE,得□ABEC,从而CE=AB=5,△ACE中,54＜AE＜5+4,∴eq\f<1,2>＜AD＜3．2秒后3．4平行四边形⑶NMDCBA图3．4．18例1如图3．4．18,AC是□ABCD的一条对角线,BM⊥AC,DN⊥ACNMDCBA图3．4．18分析：要说明四边形BMDN是平行四边形,我们应联想到平行四边形的各种识别方法．可借助三角形全等的知识来寻找使四边形BMDN是平行四边形所必须具备的条件．解四边形BMDN是平行四边形．理由：略．回顾与反思：本题识别方法有多种,例如可证得"BM与DN平行且相等"或"DM与BN平行且相等"或"BM=DN,DM=BN"或"连接BD,证得BD与MN互相平分"等．对面临的问题若能多角度地观察、探索,这对提高思维能力是有很大帮助的．例2如图3．4．19,D是等边三角形ABCD的边BC上一点,以AD为一边作等边三角形ADE,过点E作EF∥BC交AC于F,分别连接BF、CE．请猜想DE与BF的关系,并说明理由．FEDCBA图3．4．19分析：观察图形可猜想出DE与BF的位置关系是平行；数量关系是相等．要说明"FEDCBA图3．4．19解猜想DE与BF的关系是平行且相等．理由：∵△ABC、△ADE都是等边三角形,∴AB=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAD=∠CAE=60°,∴△ACE≌△ABD,∴∠ACE=∠ABC=60°,CE=BD．又∵EF∥BC,∵∠EFC=∠ACB=60°．∴△CEF为等边三角形,∴EF=EC=BD．∴EF∥BD．∴四边形BDEF是平行四边形．∴DE与BF平行且相等．回顾与反思：本题具有较强的综合性．在分析时要明确解题的目标和方向,并且要注意说理的条理性．[训练与提高]1．C2．B3．B4．有□ABB′A、□ABB′′A′′、□A′B′B′′A′′5．与△CDF面积相等的三角形有△ABF、△DBF、△AED、△BED、△BCE6．先证AO=CO,再证△OCF≌△OAE7．证□AMCN得AN∥CM,同理得BN∥DM,从而得□PMQN,即可证PQ、MN互相平分8．证△AED≌△ACB,得ED=CB,而CB=CF,从而ED=CF；同理EC=DF,所以有□CFDE9．还有□AMCN、□AECF10．32[拓展与延伸]1．经过秒或秒2．张雨说得对．过F作FI∥BE交AB于I,可证△AIF≌△HGC,得AI=HG,再证□BEFI,得BI=EF；从而AB=AI+BI=EF+GH=16m3．5矩形、菱形、正方形⑴例1如图3．5．1,矩形ABCD的两条对角线交于点O,且∠AOD=120°,∠ACB的度数是多少？你能说明AC=2AB吗？图3．5．1OCBDA解∵四边形ABCD是矩形,∴AC=图3．5．1OCBDA〔矩形的对角线互相平分且相等,∴OA=OB．∵∠AOD=120°,∴∠AOB=60°,又∵OA=OB,∴∠BAC=∠ABD=60°,∴．∴∠ACB=30°,AC=2AB．回顾与反思：由于矩形的对角线互相平分且相等,所以矩形两对角线相交后能得到等腰三角形．同学们要善于利用这一特性来解题．由矩形的这一性质想一想：直角三角形斜边上的中线和斜边有何数量关系．例2如图3．5．2,在矩形ABCD中,E是AB上的一点,EF⊥CE交AD于点F,若BE=2,矩形的周长为16,EF=CE,求BC的长．EFDCBA图3．5．2分析：由题设EF⊥CE及四边形ABCD是矩形,EF=CE,可证明△AEF与EFDCBA图3．5．2解∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠B=90°,AB=CD,AD=BC．∵矩形周长为16,∴AB+BC=8．又∵BE=2,∴AE+BC=6．∵CE⊥EF,∴∠CEF=90°．∵∠AEF+∠AFE=90°,∠AEF+∠BEC=90°,∴∠AFE=∠BEC,又∵EF=CE,∴△AEF≌△BCE〔AAS,∴BC=AE=3．回顾与反思：涉及矫形的问题,要充分利用"矩形的四个角都是直角,它的两组对边分别平行且相等"的性质,为解决问题提供条件．[训练与提高]1．D2．互相平分且相等,轴,中心3．104．90,455．22.5,22.56．先证□BDCE,得CE=BD,而BD=AC,所以AC=CE7．60°,75°8．56[拓展与延伸]1．C2．<ac><bc>3．5矩形、菱形、正方形⑵图3．5．11BDAC例1如图3．5．11,工人师傅砌门时,要想检验门框AB-CD是否符合设计要求〔即门框是否为矩形,在确保两组对边分别平行的前提下,只要测量出对角线AC、BD的长度,然后看它们是否相等就可判断．⑴当图3．5．11BDAC解⑴等于；⑵对角线相等的平行四边形是矩形．我们通过△ABC≌△DCB〔SSS证得∠ABC=∠DCB=90°．利用矩形的定义来证明结论．回顾与反思：矩形具有平行四边形的所有性质,可以在平行四边形的基础上增加条件来判断．想一想,矩形ABCD中和△ABC全等的三角形有哪几个？而□ABCD中又如何呢？例2如图3．5．12,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F．⑴求证：OE=OF；⑵当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形？证明你的结论．图3．5．12DFOENMCBA证明⑴∵MN∥BC,∴∠OEC=∠BCE．又∵∠OCE=∠BCE,∴∠OEC=∠OCE图3．5．12DFOENMCBA⑵∵CE、CF分别是∠ACB的内、外角平分线,∴∠OCE+∠OCF=<∠ACB+∠ACD>=×180°=90°,即∠ECF=90°．又∵OE=OF,∴当O点运动到AC的中点时,OA=OC．∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠ECF=90°,∴四边形AECF是矩形．回顾与反思：这是一道结论存在型探索题,综合性较强,易证∠ECF=90°,故若四边形AECF为平行四边形,则问题得到解决,由⑴OE=OF,考虑对角线,证O点是运动到AC中点即可．[训练与提高]1．D2．D3．C4．1505．先证OF=OH,得□EFGH,再证∠EFG=90°6．连接OE,先证D是AC中点,AC=2OE；同理可证,Rt△BDE中,BD=2OE；从而AC=BD,可得□ABCD是矩形．7．先证AD平分∠BAC,再证∠DAE=90°,得AE∥BC,于是有□ABDE；进一步证得□ADCE,所以□ADCE是矩形8．设AD=x,可得Rt△ABF中,82+〔x42=x2,解得x=10[拓展与延伸]1．D2．⑴先证∠BAP+∠ABP=eq\f<1,2>,〔∠BAD+∠ABC=90°,得∠APB=90°,∴∠NPQ=90°；同理可得∠N=∠Q=90°,∴四边形PQMN是矩形；⑵当BC=2AB时,点N、Q正好分别在AD、BC上,理由略3．5矩形、菱形、正方形⑶例1如图3．5．19,在菱形ABCD中,∠B:∠BAD=1:2,周长为20cm,试求菱形ABCD对角线AC的长．图3．5．19DCBA分析由∠B:∠BAD=1:2,AD∥BC,可求得∠B=60°,再由BA=BC可得△图3．5．19DCBA解∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD=5cm,AD∥BC,∴∠B+∠BAD=180°〔两直线平行,同旁内角互补．又∵∠B:∠BAD=1:2,∴∠B=60°,∴∠BAC+∠BCA=120°．又∵AB=BC,∴∠BAC=∠BCA=∠B=60°．∴AC=BC=AB=5cm．回顾与反思：本题运用了菱形的"四边相等"这一特征以及等腰三角形的等边对等角、等角对等边．试探究一下,像这种含有60°内角的特殊菱形还具有什么性质呢？例2如图3．5．20,在菱形ABCD中,E、F分别为BC、CD上的点,且∠B=∠EAF=60°,∠BAE=20°,你能说明△AEF是等边三角形吗？∠CEF的度数是多少？图3．5．20FEDCBA分析连接AC,由菱形的特征与已知条件可得△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACD=60°,由∠EAF=60°,可得∠BAE=∠CAF,从而AE=AF,得△图3．5．20FEDCBA解连接AC,在菱形ABCD中,AB=BC,∠ACB=∠ACD．∵∠B=60°,∴∠BAC=∠ACB=60°．∴△ABC是等边三角形．∴∠ABC=∠ACD=60°,AB=AC．∵∠EAF=60°,∴∠BAE=∠CAF．∴△ACF≌△ABE〔ASA．∴AE=AF．∴△AEF是等边三角形,∴∠AEF=60°．∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠B+∠BAE,∴∠CEF=∠BAE=20°．回顾与反思：菱形是特殊的平行四边形,除具有平行四边形的性质外,还具有自己独特的性质：①菱形的四条边相等；②菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角．[训练与提高]1．D2．轴,中心,23．124．⑴6,8,40；⑵60°5．110°,110°,70°,70°6．60°7．∠CBD=∠ABD=∠BDC,∴BC=DC,得□ABCD是菱形8．连对角线,连对边中点,〔答案不唯一9．证△ABE≌△ADF[拓展与延伸]1．略3．5矩形、菱形、正方形⑷A图3．5．27321FEDCB例1如图3．5．27,在△ABC中,AD是△ABC的角平分线．DE∥AC交AB于E,DFA图3．5．27321FEDCB分析：由DE∥AC、DF∥AB可以确定四边形AEDF是平行四边形,角平分线AD与DE∥AC的同时出现让我们联想到DE=AE,从而就可应用菱形的定义来说明．解四边形AEDF是菱形．理由是：∵DE∥AC,DF∥AB,∴四边形AEDF为平行四边形,∠2=∠3．∵AD是△ABC的角平分线,∴∠1=∠2．∴∠1=∠3．∴DE=AE．∴□AEDF为菱形〔有一组邻边相等的平行四边形是菱形．回顾与反思：识别菱形最基本、最重要的方法是菱形的定义,除此以外,我们还常用到的识别方法有：①四边都相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．探索如果将例1中的"AD是△ABC的角平分线"改为"AD是△ABC的高",那么四边形AEDF还是菱形吗？如果不是,△ABC还应满足什么条件,能使四边形AEDF是菱形？例2如图3．5．28,已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．AP∥BD,DP∥AC,AP、DP相交于点P．请你说明四边形AODP是菱形的理由．BA图3．5．28OCDP分析：由"AP∥BD,DP∥AC"可先确定四边形AODP是平行四边形,再利用矩形ABCD的对角线AC、BA图3．5．28OCDP证明∵AP∥BD,DP∥AC,∴四边形AODP是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形,图3．5．29OECBDA∴AC=BD,OA=OC=AC,图3．5．29OECBDA∴OA=OD,∴四边形AODP是菱形．探索如图3．5．29,已知O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD．你能说明四边形OCED是矩形吗？[训练与提高]1．B2．有一个角是直角,有一组邻边相等3．8,55°4．5．先证□ABFE,再证AB=AE6．先证□ABCD是菱形,连接BD．证BD、EF互相垂直平分得菱形EBFD7．⑴证MP=AQ,MQ=QB；⑵M在BC中点时,四边形AQMP是菱形,理由略8．⑴是菱形,可证AC、EF互相垂直平分；⑵[拓展与延伸]1．通过全等证CE平分∠DCN,同理DF平分∠CDM,从而得∠CDF+∠DCE=90°,∴CE⊥DF．又解：先证DMEQ\o\ac<∥,\s\do5<=>>CN,连接MN,可证菱形DMNC,从而CE⊥DF2．⑴先证□ABCD,利用等宽证AD=CD,得菱形ABCD；⑵周长最大值为17,最小值为83．5矩形、菱形、正方形⑸例1如图3．5．37,已知四边形ABCD是平行四边形,在以下4个条件中再选哪2个条件,能使□ABCD成为正方形？有几种方法？⑴AB=BC；⑵AC⊥BD；⑶∠ABC=90°；⑷AC=BD．图3．5．37ODCBA分析要使□ABCD成为正方形,须先说明它是菱形可是矩形,在4个条件中由⑴或⑵可得□ABCD是菱形；由⑶或⑷可得图3．5．37ODCBA解再选取⑴与⑶、⑴与⑷、⑵与⑶、⑵与⑷共有4种方法．回顾与反思：说明一个平行四边形是正方形主是有2种方法：①先说明它是矩形,再说明其中有一组邻边或对角线互相垂直；②先说明它是菱形,再说明其中有一个角是直角或对角线相等．例2如图3．5．38,在△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥AC,DF⊥BC,E、F是垂足,试说明四边形DECF是正方形．图3．5．38FEDCBA分析由∠ABC=90°,DE⊥AC,DF⊥BC,可知四边形DECF是矩形,所以要使四边形DECF是正方形,只要说明DE=DF即可．由∠ACB的角平分线交图3．5．38FEDCBA解∵DE⊥AC,DF⊥BC,CD平分∠ACB,∴DE=DF．又∠ACB=90°,DE⊥AC,DF⊥BC,∴∠ACB=∠CED=∠CFD=90°．∴四边形DECF是矩形．又DE=DF,∴四边形DECF是正方形．回顾与反思：本题若说明四边形DECF是菱形,再说明它是正方形,应怎样叙述？[训练与提高]1．A2．D3．⑴相等,直角；⑵互相垂直平分,相等,一组对角4．112.5°5．70°6．⑴图略,四边形EFGH是平行四边形；⑵当AC=BD时,□EFGH是菱形；当AC⊥BD时,□EFGH是矩形；当AC、BD相等且互相垂直时,□EFGH是正方形7．是正方形．由FE∥BD,FB∥ED得□BDEF；再证∠CDE=90°=∠BDE,得矩形；由BD=CD=DE得正方形BDEF8．是正方形,作DG⊥AB于G,证ED=DG=DF,再证四边形CEDF是矩形[拓展与延伸]1．边长cm．2．四边形EFGH是正方形,通过全等证EFGH是菱形,再证∠BFE+∠CFG=90°=∠EFG3．6三角形、梯形的中位线⑴图3．6．1OEFDCBA例1如图3．6．1,D、E、F分别是△ABC各边的中点,DE和AF图3．6．1OEFDCBA分析要说明四边形ADFE的对角线DE与AF互相平分,只需证明四边形ADFE是平行四边形．证明∵D、E、F分别是△ABC各边上的中点,∴DF∥AC,EF∥AB．〔三角形的中位线平行于第三边．∴四边形ADFE是平行四边形．∴DE与AF互相平分．回顾与反思：三角形中位线的性质为证明平行关系和一条线段是另一条线段的2倍或一半提供了一个新的途径．图3．6．2MFEDCBA例2如图3．6．2,E、F分别是AC、BD的中点,CD＞AB图3．6．2MFEDCBA分析本题结论中有线段间的倍分关系,应由此联想到构造中位线,因而取AD边的中点M,连接EM、FM．从而得出,,再根据三角形的三边关系证得．证明取AD边的中点M,连接EM、FM．∵E、F分别为AC、BD的中点,∴,．〔三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半在△MEF中,EF＞EMFM,〔三角形的任意两边之差小于第三边．∴,即．回顾与反思：当有三角形而无中位线时,要利用已有的中点构造中位线,将已知条件和结论集中在一起,"已知中点再找中点,构成中位线"是几何常用的添加辅助线的方法．[训练与提高]1．12,62．⑴3,60；⑵11；⑶5,13．菱形、矩形4．40m5．20m6．先证四边形ADFE是平行四边形,再证AD=AE7．证CD=eq\f<1,2>AB=MN8．EFEQ\o\ac<∥,\s\do5<=>>MN,理由：EFEQ\o\ac<∥,\s\do5<=>>eq\f<1,2>BCEQ\o\ac<∥,\s\do5<=>>MN[拓展与延伸]1．eq\f<1,2>m,s；m,s；m,s2．连接AM并延长交BC于E,先证BE=AD,AM=ME,再证MNEQ\o\ac<∥,\s\do5<=>>eq\f<1,2>EC3．6三角形、梯形的中位线⑵例1一个等腰梯形的周长是80cm,且它的中位线长与腰长相等,它的高长12cm图3．6．11FEDCBA分析如图3．6．11,EF是中位线．由于梯形的中位线等于两底和的一半,所以两底和AD+BC=2EF,而图3．6．11FEDCBA解∵EF是等腰梯形ABCD的中位线．∴,即AD+BC=2EF,〔梯形的中位线等于两底和的一半；又∵EF=AB=CD,等腰梯形ABCD的周长是80cm,∴EF=20cm．∴．回顾与反思