《命题及其关系、充分条件与必要条件》导学案

PAGE7命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标：1能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系2理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．

自主梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系1四种命题一般地，用∈A”是“m∈B”的________条件．答案充分不必要解析∵A＝eq\b\lc\{\rc\}\a\vs4\al\co1|\f,－1<0＝{|0<<1}，B＝{|0<<3}，∴A≠B当m∈A时，必有m∈B；而当m∈B时，m∈A不一定成立．∴“m∈A”是“m∈B”的充分而不必要条件．2．下列选项中，>1，则m2－2m＋1＋m＋3>0的解集为R”的逆命题．其中真命题是________．把你认为正确命题的序号都填在横线上答案②③⑤解析原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式m2－2m＋1＋m＋3>0的解集为R，由eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1m>0,Δ＝4m＋12－4mm＋3<0⇒eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1m>0,m>1⇒m>1故⑤正确．

探究点一四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．1实数的平方是非负数；2等底等高的两个三角形是全等三角形；3弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．解1逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．2逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．3逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．变式迁移1有下列四个命题：①“若＋y＝0，则，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则2＋2＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案①③解析①的逆命题是“若，y互为相反数，则＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以2＋2＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．探究点二充要条件的判断例2给出下列命题，试分别指出<－2；q：方程2－－m＝0无实根．4<－2⇒方程2－－m＝0无实根；方程2－－m＝0无实根m<－2∴<－2或m>6；q：y＝2＋m＋m＋3有两个不同的零点；②＋m＋3有两个不同的零点⇔q：Δ＝m2－4m＋3>0⇔q：m<－2或m>6⇔2－4＋4＝0和2－4m＋4m2－4m－5＝0，且m∈Z求两方程的根都是整数的充要条件．【答题模板】解∵m2－4＋4＝0是一元二次方程，∴m≠0[2分]另一方程为2－4m＋4m2－∴eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1Δ1＝161－m≥0，,Δ2＝16m2－44m2－4m－5≥0，解得m∈[－eq\f5,4，1]．[6分]∵两根为整数，故和与积也为整数，∴eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1\f4,m∈Z,4m∈Z,4m2－4m－5∈Z，[10分]∴m为4的约数，∴m＝－1或1，当m＝－1时，第一个方程2＋4－4＝0的根为非整数，而当m＝1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m＝1[14分]【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着m≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．

1．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题