2021年江西省萍乡市金航道英语学校高三数学理联考试题含解析

2021年江西省萍乡市金航道英语学校高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在复平面内，复数（是虚数单位）所对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a5+a7=15，则S9=（）A．18 B．36 C．45 D．60参考答案：C【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的性质化简已知的等式，得到a5的值，然后利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质把所求的式子化简后，把a5的值代入即可求出值．【解答】解：由a3+a5+a7=3a5=15，解得a5=5，则S9==9a5=45．故选C3.已知tanα=2，则=(

)A．﹣ B．﹣2 C． D．2参考答案：A【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．【解答】解：∵tanα=2，则==﹣=﹣，故选：A．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．4.对任意，函数不存在极值点的充要条件是（

） A、 B、

C、或 D、或参考答案：A5.圆具有优美的对称性，以圆为主体元素构造的优美图案在工艺美术、陶瓷、剪纸等上有着广泛的应用，如图1，图2，图3，图4，其中图4中的3个阴影三角形的边长均为圆的半径，记图4中的阴影部分区域为M，现随机往图4的圆内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B阴影三角形边长等于半径点落在区域内的概率为故选

6.已知函数，若，则函数的零点个数是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4参考答案：D略7.函数的定义域是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：B解析：函数有定义必须且，所以，选B8.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.设集合，集合，则M∪N=（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】求解出集合，根据并集的定义求得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.10.若存在正数使成立，则的取值范围是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D因为，所以由得，在坐标系中，作出函数的图象，当时，，所以如果存在，使，则有，即，所以选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在数列中{an}，它的前n项和Sn=1﹣nan（n∈N+），则数列{an}的通项公式为．参考答案：略12.已知函数f（x）=﹣log2x的零点在区间（n，n+1）（n∈N）内，则n的值为

．参考答案：【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由函数的解析式判断单调性，求出f（2），f（3）的值，可得f（2）?f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数f（x）=﹣log2x的零点所在的区间【解答】解：∵函数f（x）=﹣log2x，∴可判断函数单调递减∵f（2）==＞0，f（3）=＜0，∴f（2）?f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得：函数f（x）=﹣log2x的零点所在的区间是（2，3），n的值为：2．故答案为：2．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．13.函数f(x)=的最大值为．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】先求出真数的最大值为，进而可得函数的最大值为．【解答】解：==sinx+cosx=sin（x+），故真数的最大值为，故函数的最大值为=，故答案为：．14.已知实数x，y满足线性约束条件，若x﹣2y≥m恒成立，则实数m的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣6]【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的意义，转化求解目标函数的最小值，求出m的范围即可．【解答】解：实数x，y满足线性约束条件的可行域如图：若x﹣2y≥m恒成立，则m小于等于x﹣2y的最小值．平移直线x﹣2y=0可知：直线经过可行域的B时，目标函数取得最小值，由可得B（2，4），则x﹣2y的最小值为：2﹣8=﹣6，可得m≤﹣6．给答案为：（﹣∞，﹣6]．15.定义在正整数集上的函数满足（1）；（2），则有

参考答案：【知识点】抽象函数及其应用．B10【答案解析】;解析：注意到和，易求得；因为，所以故有【思路点拨】由于f（f（n））=4n+3，f（125）=m，则f（m）=f（f（125）），令n=125，即可得到f（m）；由于f（f（n））=4n+3，将n换成f（n），得到f（f（f（n）））=f（4n+3）=4f（n）+3，由于2015=4×503+3，503=4×125+3，代入上式，即可得到f（2015）．16.椭圆的焦点坐标为__，__________.参考答案：，17.已知（x2＋）n的展开式的各系数和为32，则展开式中x的系数为＿＿＿＿参考答案：10令=1,得展开式的各项系数和为=,令三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）已知（I）如果函数的单调递减区间为，求函数的解析式；（II）在(Ⅰ)的条件下,求函数的图像在点处的切线方程；（III）若不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：解:(1)

由题意的解集是即的两根分别是.将或代入方程得..

…k*s5u……3分

(2)由(Ⅰ)知：，，点处的切线斜率，

函数y=的图像在点处的切线方程为：，即.

…………5分(3)，即：对上恒成立

可得对上恒成立设,

则

令,得(舍)当时,;当时,

当时,取得最大值,=-2

.的取值范围是.

…………10分19.（本小题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：（1）；（2）AB2=BE?BD-AE?AC.参考答案：（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BD?BE=BA?BF，再利用三角形△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE?BD-AE?AC．(1)连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠EFA=90°则A、D、E、F四点共圆，∴∠DEA=∠DFA….5分(2)由(1)知，BD?BE=BA?BF又△ABC∽△AEF∴即：AB?AF=AE?AC∴BE?BD-AE?AC=BA?BF-AB?AF=AB(BF-AF)=AB2….10分20.已知抛物线的焦点为，定点与点在抛物线的两侧，抛物线上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为.（1）求抛物线的方程；（2）设直线与圆和抛物线交于四个不同点，从左到右依次为，且是与抛物线的交点，若直线的倾斜角互补，求的值.参考答案：(1)；(2).试题分析：(1)借助题设条件建立方程组求解；(2)借助题设运用直线与抛物线的位置关系建立方程探求.试题解析：（1）过作于，则，当共线时，取最小值.解得或.当时，抛物线的方程为，此时，点与点在抛物线同侧，这与已知不符.∴，抛物线的方程为.（2），设，由，得，所以，，且由得.因为直线的倾斜角互补，所以，∵，∴，即，，，，由，得，所以，.考点：抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题重在考查圆锥曲线中的代表曲线抛物线与直线的位置关系等有关知识的综合运用问题.求解时要充分利用题设中所提供的信息,先运用题设中的条件建立方程求出抛物线的方程为.第二问再借助直线与抛物线的位置关系的弦长公式分别求出,进而求出其值为,从而使得使问题获解.21.选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的圆心极坐标.参考答案：略22.为了了解某校毕业班数学考试情况，抽取了若干名学生的数学成绩，将所得的数据经过整理后，画出频率分布直方图（如图所示）。已知从左到右第一组的频率是0.03，第二组的频率是0.06，第四组的频率是0.12，第五组的频率是0.10，第六组的频率是0.27，且第四组的频数是12，则

（1）所抽取的学生人数是多少？

（2）那些组出现的学生人数一样多？出现人数最多的组有多少人？

（3）若分数在85分以上（含85分）的为优秀，试估计数学成绩的优秀率是多少？参考答案：解：（1）因为第四组的频数为12，频率为0.12，则，即抽取的学生共有100人

-------3分（2）从左到右看频率分布直方图，第一组与第九组