高考数学专题立体几何初步《棱柱、棱锥和棱台》突破解析

第13章立体几何初步13.1基本立体图形13.1.1棱柱、棱锥和棱台必备知识基础练1.下列关于棱柱的说法中,错误的是()A.三棱柱的底面为三角形B.一个棱柱至少有五个面C.若棱柱的底面边长相等,则它的各个侧面全等D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面,侧面为平行四边形答案C解析显然选项A正确;底面边数最少的棱柱是三棱柱,它有五个面,故B正确;若棱柱的底面边长相等,它的各个侧面为平行四边形,即边长相等,但夹角不一定相等,故C错误;D正确.2.如图所示,截去正方体一角得到的新多面体的面数是()A.8 B.7 C.6 D.5答案B解析截去正方体一角得到的新多面体多了一个面,故面数为7.3.(2020山东青岛检测)设集合M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},则这四个集合之间的关系是()A.P⊆N⊆M⊆Q B.Q⊆M⊆N⊆PC.P⊆M⊆N⊆Q D.Q⊆N⊆M⊆P答案B解析根据定义知,正方体是特殊的正四棱柱,正四棱柱是特殊的长方体,长方体是特殊的直四棱柱,所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直四棱柱},故选B.4.一个棱台至少有个面,面数最少的棱台有个顶点,有条棱.

答案5695.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位是.

答案北6.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,若AB⊥AD且AB=3,AD=4,AA1=5,则AC1的长为.

答案52解析依题意该直四棱柱为长方体,∴AC12=AB2+AD2+AA12=32+42+52=50,∴AC17.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问:(1)折起后形成的空间图形是什么空间图形?(2)若正方形边长为2a,则每个面的三角形面积为多少?解(1)如图折起后的空间图形是三棱锥.(2)S△PEF=12a2,S△DPF=S△DPE=12×2a×a=a2,S△DEF=4a2-12a2-2a2=3关键能力提升练8.如图都是正方体的平面展开图,还原成正方体后,其中两个完全一样的是()A.(1)(2) B.(2)(3)C.(3)(4) D.(1)(4)答案B解析图(1)还原后,①⑤对面,②④对面,③⑥对面;图(2)还原后,①④对面,②⑤对面,③⑥对面;图(3)还原后,①④对面,②⑤对面,③⑥对面;图(4)还原后,①⑥对面,②⑤对面,③④对面.综上,可得还原成正方体后,其中两个完全一样的是(2)(3).9.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截得的棱台上、下底面积之比为1∶4,截去的棱锥的顶点到底面的距离为3,则棱台的上、下底面的距离为()A.12 B.9 C.6 D.3答案D解析设原棱锥的高为h,由题意得3h2=14,则h=6,因而棱台的高为3,故选D.10.如图,能推断这个几何体可能是三棱台的选项是()A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1答案C解析选项A中,A1B1AB≠B1C1BC,故A不符合题意;选项B中,B1C1BC≠A1C1AC,11.(多选)下列说法不正确的是()A.棱台的两个底面相似B.棱台的侧棱长都相等C.棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台D.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形答案BCD解析由棱台的定义知A正确,B,C不正确;棱柱的侧棱都相等且互相平行,且侧面都是平行四边形,但侧面并不一定全等,D不正确.12.(多选)下面图形中是正方体平面展开图的是()答案AC解析由正方体平面展开图的性质知,A,C是正方体的平面展开图;B不能折成正方体;D折叠后有一个面重合,另外还少一个面,故不能折成正方体.13.一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2,3,6,答案6解析设长方体长、宽、高分别为x,y,z,则yz=2,xz=3,yx=6,三式相乘得x2y2z2=6,即xyz=6,解得x=3,y=2,z=1,所以x214.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间图形,作出图形并且用适当的符号表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥;(2)四个面都是等边三角形的三棱锥;(3)三棱柱.解(1)如图①所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).(2)如图②所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).(3)如图③所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).15.如图,在一个长方体的容器中装有少量水,现将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中:(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?(3)如果倾斜时不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对?解(1)不对.水面的形状就是用一个与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,因而可以是矩形,但不可能是非矩形的平行四边形.(2)不对.水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后剩余部分的空间图形,此空间图形是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱或五棱柱,但不可能是棱台或棱锥.(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形,因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形,水的形状可以是棱锥、棱柱,但不可能是棱台,故此时(1)对,(2)不对.学科素养创新练16.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=4,A1A=5,现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物,试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值.解把长方体的部分面展开,如图,有三种情况.对甲、乙、丙三种展开