35空间向量与立体几何

新课标高三数学一轮复习学案35空间向量与立体几何考解．理直线的方向量与平面的法向量；．能向量语言表直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直平行关系；．能向量方法证有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理．能向量方法解直线与直线线与平面面与平面的夹角的计算问题到线到平面的距离问题。考分．能运共线向、共面向量、空间向量基本定理及有关结论证明点共线、点共面线共面及线线、线面的平行与垂直问题；．会线线角、线角，点点距、点面距等距离问题，培养用向量法思考、解决问题的能力；．会利空间向的坐标运算、两点间距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关行、垂直、长度、角度、距离等问题。知梳．直的方向向量平面的法向量（1直线的方向向量：如果表示非零向量a有向线段所在直线与直线l平或重合，则称此向量为线l的方向向量。注：在直线上任取两点，这两点确定的向量即直线的方向向量。（2平面的法向量：与平面垂直的任何一个向量都可称为该平面的法向量。注：一个平面的法向量不唯一，平面向量的法向量可利用方程组求解。设、b是面的两个不共线的向量，n为面法向量，则可以依据方程组

nn

来求解法向量。195例点是平面内三个点面的向为8

解向量

。．空位置关系的量表示（1空间两直线

l1

、

l2

的方向向量分别为

n

、

n

，那么

l//l=12

，

lln=012

；（2直线l的方向向量为平面法向量为m，么lm，l=

；（3平面的法向量分别为、n，么

=

，

m

。例若平面

的法向量分别为

、

，m

并且

则x=

；．空角的向量求（1异面直线所成的角：两条异面直线

l1

、

l2

的方向向量分别为

1

、

2

，所成的角为

，

0,

，那么=>=cos；2（）直线和平面所成的角：设直线l的向向量为

，平面的法向量为

，

为直线和平面所成的角，，方向向量与法向量所成的角，2

，那么我们可以得到

或=22

，sin

；

（3）二面角：设二面角l-

的两个半平面

的法向量分别为

n

、

，二面角的平面角为

，两个法向量的夹角为，那么或

=

。例：已知向量

、

分别为直线l的向向量、平

的法向量，若

cn

12

，则直线l与面

所成角的大小为；长方体

-中，AB=111

，AD，E为的点，则异面直线BC与11

所成角的余弦值为；．点平面的距离向量求法求解平面外点P到面的距离的步骤为求面法量

；(2)在平面内任意取一点A确定向量的标；(3)代入公式d=

nn

。例：已知正方体

-1

中，棱长为a求点

1

到平面

D11

的距离。练巩一．解答题．平行、垂直问题在正方体

-11

中，MN分别为

1

、

1

的中点、F分为

1

、

的中点，（1求证：MN平面

1

）面AED

平面

1

。．角、距离问题如图所示，在四棱锥中底面ABCD为矩形，侧棱PA

底面，

=

，

，PA2

，E为中点，（1求直线与PB所角的余弦值；（2在侧面找一点，使得线和AP的距离。

NE平面

，并求出点N到

．如图，四棱锥-ABCD中底面为行四边形，，，PD平面ABCD（1证明⊥；（2若PD，求二面角A的弦值。．如图几何体中，底面为梯形ABCDAB//CDAD=，ABC

，四边形为矩形，平面ACFE⊥ABCD，（1求证：⊥面；（2点M线段EF上动，设平面与面FCB所的二面角为的围。．如所示，直三柱

BC11

中，=