(新高考)高考数学二轮精品复习专题09《数列求和方法之裂项相消法》(解析版)

专题09数列求和方法之裂项相消法一、单选题1．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前10项的和为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】首先根据SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，再利用裂项求和即可得到答案.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.检验SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：C2．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.则下列埃及分数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0的和是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据裂项相消法即可求和.【详解】因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：B3．设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【分析】由SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，进而求得SKIPIF1<0，结合题意，即可求解.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值为1.故选：A.【点睛】若把一个数列的通项拆成两项之差，在去和时中间的一些项可以相互抵消，从而取得前SKIPIF1<0和，其中常见裂项的技巧：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0.4．定义SKIPIF1<0为SKIPIF1<0个正数SKIPIF1<0的“均倒数”，若已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的“均倒数”为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n项和，然后利用前n项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果.【详解】设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，据此可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，据此有：SKIPIF1<0故选：D5．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用倒数法求出数列SKIPIF1<0的通项公式，进而利用裂项相消法可求得SKIPIF1<0.【详解】已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在等式SKIPIF1<0两边同时取倒数得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0是等差数列，且首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B.【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．二、解答题6．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【分析】（1）当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，两式相减，然后再利用累积法求解.（2）由（1）得SKIPIF1<0，然后利用裂项相消法求解.【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足上式，故SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，SKIPIF1<0②等比数列的前n项和公式SKIPIF1<0；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．7．数列SKIPIF1<0各项都为正数，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）当SKIPIF1<0时，结合条件可得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），经验证可得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），从而数列SKIPIF1<0是首项为2公差为3的等差数列，可得出答案.

（2）SKIPIF1<0用裂项相消可得答案.【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0各项都为正数，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），所以数列SKIPIF1<0是首项为2公差为3的等差数列，故SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.8．等差数列SKIPIF1<0各项都为正数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，再结合SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0是等差数列，进而求得SKIPIF1<0的通项公式；（2）利用裂项求和即可，SKIPIF1<0.【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0各项都为正数，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为2，公差为3的等差数列，所以SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前SKIPIF1<0项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前SKIPIF1<0项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前SKIPIF1<0项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如SKIPIF1<0类型，可采用两项合并求解.9．已知数列SKIPIF1<0是等差数列，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若数列SKIPIF1<0为正项等差数列，设SKIPIF1<0，求证：数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）证明见解析．【分析】（1）SKIPIF1<0是等差数列，设公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，列方程解出公差，进而得出数列SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，与原式作差得数列SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，利用裂项相消法计算出放缩后的数列和，即可证得不等式成立．【详解】（1）∵数列SKIPIF1<0是等差数列，设公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，与原式作差得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，验证得SKIPIF1<0满足通项，故SKIPIF1<0．（2）因为数列SKIPIF1<0为正项等差数列，由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不等式得证．【点睛】方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的放缩与求和，考查了学生计算能力，数列求和的方法有：1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．10．设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等差数列，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求使SKIPIF1<0成立的最大正整数SKIPIF1<0的值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）8．【分析】（1）本题首先可根据SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等差数列得出SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0，然后两式相减，得出SKIPIF1<0，最后根据SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0的通项公式；（2）本题可根据题意得出SKIPIF1<0并将其转化为SKIPIF1<0，然后通过裂项相消法求和得出SKIPIF1<0，最后根据SKIPIF1<0得出SKIPIF1<0，通过计算即可得出结果.【详解】（1）因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等差数列，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，两式相减，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由题意易知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是公比为2的等比数列，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0成立的最大正整数SKIPIF1<0的值为8.【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查等差中项以及等比数列前SKIPIF1<0项和公式的应用，常见的裂项有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0等，考查计算能力，是中档题.11．等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为整数，且SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【分析】（1）根据条件，可得数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0为整数，且SKIPIF1<0，利用等差数列通项公式，可得SKIPIF1<0的关系，即可求得d的值，代入公式即可得答案；（2）由知：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的表达式，利用裂项相消法求和即可得答案.【详解】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为整数知，等差数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0为整数，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为整数，所以SKIPIF1<0，所以等差数列SKIPIF1<0的通项公式为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由（1）知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【点睛】本题考查数列求通项，裂项相消法求前n项和，常见的裂项技巧：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；裂项时，容易出现多项或丢项的问题，需注意，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.12．给出下列三个条件：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列；②SKIPIF1<0；.③对于SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0均在函数SKIPIF1<0的图像上，其中SKIPIF1<0为常数.请从这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并求解.设SKIPIF1<0是一个公比为SKIPIF1<0的等比数列，且它的首项SKIPIF1<0，（填所选条件序号）.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）令SKIPIF1<0，设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0【答案】选择见解析；（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）若选①：解得SKIPIF1<0，即得数列的通项；若选②：解SKIPIF1<0得公比，即得数列的通项；若选③：求出SKIPIF1<0，即得数列的通项；（2）求得SKIPIF1<0，再利用裂项相消求出数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.【详解】（1）若选①：因为SKIPIF1<0成等差数列，所以SKIPIF1<0.又因为数列SKIPIF1<0是等比数列，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）又SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0若选②：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）所以数列SKIPIF1<0是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0若选③：点SKIPIF1<0均在函数SKIPIF1<0的图像上，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以数列SKIPIF1<0是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0（2）证明：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）分组求和法；（4）裂项相消法；（5）倒序相加法.要根据数列通项的特征，灵活选用，认真计算.13．已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，根据已知条件可得出关于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）求得SKIPIF1<0，利用裂项相消法可求得SKIPIF1<0.【详解】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于SKIPIF1<0型数列，其中SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于SKIPIF1<0型数列，利用分组求和法；（4）对于SKIPIF1<0型数列，其中SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，利用裂项相消法.14．已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）证明见解析.【分析】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，首项为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可求解；（2）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，利用裂项相消求和求出SKIPIF1<0，再利用不等式的性质和数列的单调性即可求证.【详解】解：（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，首项为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0单调递增．所以SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0．【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如an=(−1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.15．已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0为等比数列，公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值及数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0为等差数列，且SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；（2）证明见解析.【分析】（1）先由题设求得SKIPIF1<0，从而求得SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，然后求得SKIPIF1<0，再利用叠加法求得SKIPIF1<0即可；（2）先由题设求得等差数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，然后求得SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，再利用累乘法求得SKIPIF1<0，最后利用裂项相消法求得SKIPIF1<0，即可证明结论.【详解】（1）解：由题设知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将以上式子相加可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0也适合，SKIPIF1<0；（2）证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将以上式子相乘可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0也适合上式，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：该题主要考查数列的问题，方法如下：（1）利用叠加法求通项公式；（2）累乘法求通项公式；（3）裂项相消法求和.16．已知数列SKIPIF1<0为正项等比数列，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）先求出SKIPIF1<0，再得到SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0；（2）由题得SKIPIF1<0，利用裂项相消求出SKIPIF1<0，再利用单调性求解.【详解】（1）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，②由①-②得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时也成立，所以SKIPIF1<0，（2）由（1）可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0随着SKIPIF1<0的增大而增大，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：数列求和的方法常用的有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列通项的特征，灵活选择方法求和.17．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析.【分析】（1）根据SKIPIF1<0得SKIPIF1<0两式作差，得出SKIPIF1<0，再由等比数列的通项公式，即可求出结果；（2）先由（1）得到SKIPIF1<0，由裂项相消的方法求出SKIPIF1<0，进而可得结论成立.【详解】（1）∵SKIPIF1<0①∴SKIPIF1<0②，①-②得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；∴数列SKIPIF1<0是首项和公比都为SKIPIF1<0的等比数列，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.又易知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，且SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列；（2）无理型SKIPIF1<0；（3）指数型SKIPIF1<0；（4）对数型SKIPIF1<0.18．数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求证：数列SKIPIF1<0是等比数列，并求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.求证：SKIPIF1<0.【答案】（1）证明见解析，SKIPIF1<0；（2）证明见解析.【分析】（1）由SKIPIF1<0，化简得到SKIPIF1<0，根据等比数列的定义，得到数列SKIPIF1<0为等比数列，进而求得SKIPIF1<0.（2）由（1）求得SKIPIF1<0，结合裂项法，求得数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，即可作出证明.【详解】（1）由题意，数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以2为首项2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【点睛】关于裂项法求和的基本策略：1、基本步骤：裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；累加：将数列裂项后的各项相加；消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前SKIPIF1<0项和.2、消项的规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.19．已知等比数列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）根据题干已知条件可列出关于首项SKIPIF1<0与公比SKIPIF1<0的方程组，解出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的值，即可计算出数列SKIPIF1<0的通项公式，再根据公式SKIPIF1<0进行计算可得数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）先分SKIPIF1<0为奇数和SKIPIF1<0为偶数分别计算出数列SKIPIF1<0的通项公式，在求前SKIPIF1<0项和时，对奇数项运用裂项相消法求和，对偶数项运用错位相减法求和，最后相加进行计算即可得到前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【详解】（1）依题意，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于数列SKIPIF1<0：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0也满足上式，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由题意及（1），可知：当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【点睛】关键点点睛：第二问中当SKIPIF1<0为奇数时，求出SKIPIF1<0，并对SKIPIF1<0进行裂项为SKIPIF1<0是解题关键，本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及数列求和问题.考查了方程思想，分类讨论思想，转化与化归能力，整体思想，裂项相消法和错位相减法求和，以及逻辑推理能力和数学运算能力.本题属中档偏难题.20．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＝1且S1，S3，S10－1成等比数列.（1）求{an}的通项公式；（2）设bn＝SKIPIF1<0，数列{bn}的前n项和为Tn，求使得Tn>SKIPIF1<0成立的n的最小值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）6.【分析】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，得SKIPIF1<0，再利用首项和等差数列的通项公式可得答案；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，再利用裂项相消法求出SKIPIF1<0，然后解不等式可求出SKIPIF1<0的最大值.【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，SKIPIF1<0，设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，故要使得SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的最小值为6.【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，考查等比中项的应用，数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.21．等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为整数，当且仅当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取得最大值.（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）根据条件列出关于SKIPIF1<0的不等式，再根据SKIPIF1<0为整数确定出SKIPIF1<0的值，从而SKIPIF1<0的通项公式可求；（2）先计算出SKIPIF1<0的通项公式，然后采用裂项相消的方法求解出SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【详解】（1）由题意可知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为整数，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【点睛】结论点睛：常见的数列中可进行裂项相消的形式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0.22．已知正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）根据SKIPIF1<0写出SKIPIF1<0，通过作差以及化简说明SKIPIF1<0为等差数列，并求解出通项公式；（2）将SKIPIF1<0的通项公式变形为SKIPIF1<0，采用裂项相消法求解出SKIPIF1<0的结果.【详解】(1)由SKIPIF1<0又有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0因此数列SKIPIF1<0是等差数列，首项SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0