固体物理习题详解

其中（1）和（2）式中的r都指KCl晶体中相邻K+和C厂之间的距离。根据体弹性模量的定义有：KVdPv0 —(3)设平衡时晶体内相邻离子间的距离为 r0,则平衡体积3V02Nr0,那么平衡时的体弹性d2U 模里为KV KVdPv0 —(3)设平衡时晶体内相邻离子间的距离为 r0,则平衡体积3V02Nr0,那么平衡时的体弹性d2U 模里为KV 2 。又根据KCl晶体内能表达式（dV2V01）式及平衡条件（理）V。dV00,可/曰A得二r0nBn1r01n1一r0n(1)和（2）式代入（3）式，并利用平衡条件可得d

dr3d

dr3rr0「0181d2drr2r0dr rrnr历18r°dr2nrrr0上式中的前一项由于平衡条件而等于 0,后一项求微商后利用平衡条件化简得18r02A-3~r018r02A-3~r0n(n1)B(n1)An2r。18r04_ 418Kr0由此知A-当使晶体中相邻离子间0.5%时即使相邻离子距变为r1r0(10.5%)0.95r0,此时需施加的外力为A""2r1当使晶体中相邻离子间0.5%时即使相邻离子距变为r1r0(10.5%)0.95r0,此时需施加的外力为A""2r1nBnr10.952r02(0.95n11)218Kr022 (0.952(n1)0.951)查书中表2.2及表2.5可知，n9.0,「03.14101°m,代入上式可得F2.17109N9.由N个原子（离子）所组成的晶体的体积可写成VNvN3r。式中V为每个原子（离子）平均所占据的体积；r为粒子间的最短距离;为与结构有关的常数。试求下列各种结构的值：求：简单立方点阵；面心立方点阵；体心立方点阵；金刚石点阵;NaCl点阵;(2)(3)(5)解：（1）在简单立方点阵中，每个原子平均所占据的体积在面心立方点阵中，每个原子平均所占据的体积在体心立方点阵，每个原子平均所占据的体积在金刚石点阵中，每个原子平均所占据的体积在NaCl点阵中，每个原子平均所占据的体积10.对于由N个惰性气体原子组成的一维单原子链,u(x)Uo求：（1）原子间的平均距离x0;(2)解：（1）在平衡时，有下式成立du(x)

dxxX0由上式可得Xor3,故1;;(2r)34设平均每/ 、12 6L) 2(一)。xx3433r)3—r3,故98(了1(2r)38833工r3,故9r3；故2个原子势为:每个原子的平均晶格能;U01212~13x02667x。（2）设该N个惰性气体原子组成的一维单原子链的总的相互作用势能为U(x)U012(一)

x〔j设X为2个原子间的最短距离,则有x1iU(X)NU0其中（3）式中A112aj(116aj839，1。（3）压缩系数k。(1)U（x）,那么有那么（2）式可化为A1)12 B(761212(1(2)(3)1A)2.00048,31226 36)4.07809。那么每个原子的平均晶格能为U(xU(xo)u0 12 6—2.00048(—) 4.07809(—)6 u02（3）根据压缩系数的定义可知k1dVVdP1dPdV1~~~d-Nx——( )N2dXdX(4)将（3）式代入（4）式得:NXNu02.000481213124.0780967670uo2N2 2X14X811.若NaCl晶体的马德隆常数 M=1.75,晶格常数0a=5.64A,哥指数n=9。晶体拉伸而达到稳定极限时，求：离子间距增加多少？负压强的理论值是多大？解：（1）设该NaCl晶体的含有N个离子，则其相互作用势能为(1)r0,则有上式中的r指r0,则有又设NaCl晶体处于平衡状态时，相邻两离子间的距离为由平衡条件可知dU(r)

drrr0NMqdU(r)

drrr0NMq224°r2nBn1rrr1r0(2)由（2）式可得：B幽一r；1。40n当晶体拉伸而达到稳定极限时，此时相邻离子间的引力达到最大值，即有d2U(r)

dr22Mq2n(n1)Bd2U(r)

dr22Mq2n(n1)Br130r0r1(3)将B 凶一r0n1代入（3）式可得40n因而离子间距增加了r1r r〔 r0因而离子间距增加了r1r r〔 r01

n1r05.64203.45A03.452.820.63A(2)由（1）问可求出晶体拉伸稳定时负压强的理论值为1.91dUdrrri1.7512.已知有NMq24(^2(1.9101r1(2)由（1）问可求出晶体拉伸稳定时负压强的理论值为1.91dUdrrri1.7512.已知有NMq24(^2(1.9101r119)2Mq23.148.8541012(3.451010)2109Pa个离子组成的NaCl晶体，其结合能为:若排斥项rn由ce来代替，且当晶体处于平衡时,1.75(1.91019)2(2.821010)9143.148.8541012(3.451010)91一/、N, e2 、U(r)( n)24°rro这两者对相互作用势能的贡献相同。 试求出n和的关系。解：由平衡条件可知dU(r)

dr「02e4 0r02n、八-nr) 0rO(1)由（1）式可求得4°n2)r。又由题意有ce(3)将（解：由平衡条件可知dU(r)

dr「02e4 0r02n、八-nr) 0rO(1)由（1）式可求得4°n2)r。又由题意有ce(3)将（2）式代入（3）式可得:“InInCnInr014 °n2-

en। 40nInInC In 彳n1 e213.假定在某个离子晶体中，某离子间的空间能够被一种介电常数为的均匀流体渗满而不至于影响离子间的排斥作用，但库仑相互作用减少为原来的1/。计算这种情况下NaCl的点阵常数和结合能。解：由题意可知，当NaCl晶体被介电常数为 的均匀流体渗满时,其相互作用势能为:由平衡条件可知有2NMq2U(r)(q-240(1)dU(r)

drr。Mq2

40r02旭)n1frO(2)由（2）式可求得NaCl晶体处于平衡状态时，相邻两个离子间的距离为4°nB

Mq21n-^那么NaCl的点阵常数为：a2r0结合能为4°nB

Mq21n-^那么NaCl的点阵常数为：a2r0结合能为EbU(r。)NMq5(12n一尸(nB)02n1Mq)Q4 02(nB)c14.考察一条直线，其上载有q交错的2N个离子，最近邻之间的排斥能为（1）试证明在平衡时,_ 2 _（1）试证明在平衡时,_ 2 _u(R。)2N^4 0R0(11)

n（2）令晶体被压缩，使Ro（2）令晶体被压缩，使RoR0(1）。试证明在晶体被压缩过程中，外力做功的主项对每离子平均为(n1)q2每离子平均为(n1)q2ln20R0解：（1）线型离子晶体的结合能为U(R)oR1一)a解：（1）线型离子晶体的结合能为U(R)oR1一)ajAnajMq2N(-

40RA'Rn)(1)其中（1）式中的其中（1）式中的1、（一），即为线型离子晶体的马德隆常数，等于aj21n2；当晶体处于平衡时,有平衡条件：dU(R)

dRR）nA'、八当晶体处于平衡时,有平衡条件：dU(R)

dRR）nA'、八RT）0(2)由（2）式可得将（3）式代入（1）,并将将（3）式代入（1）,并将MA'应40nRn1(3)21n2也代入（1）可得:U(Ro)2U(Ro)22Nq21n2/d1、(1一)4 0Rn⑵使R° R0(1 )，当很小时，在RRo附近把U（R）展开为泰勒级数为U[R0(1 )]U(%)dU(R)

dR上式中根据平衡条件有dU(R)dRRRod2U(R) U[R0(1 )]U(%)dU(R)

dR上式中根据平衡条件有dU(R)dRRRod2U(R) _d_NMq2dR2RRdR4°R2RoR0,另有nA'R2 _dU(R)dR2(RoRRo)2MqN(n1)4R3oo(4)离子晶体被压缩l2NRo,外力所作的功的主项(略去二级以上微量)得1)(Ro)1)(Ro)2FlU[Ro(1)]U(RoFlU[Ro(1TOC\o"1-5"\h\z2 4oRo2 2. q—n-2(n1)21C'2上式中，C'—q—n-2(n1)2 4oRo 2 4oRo压缩量l2NR压缩量l2NRo是属于2N个离子所共有的，即2N个长度为Ro的线段的总压缩量为l。因此，外力对一个离子所做的功 W平均为2N1C'222N1c2上式中，C222N1)。第三章晶格振动与晶体的热学性质.什么是简谐近似？解：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。.试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线， 并简要说明其意义。解：由一维单原子链的色散关系的相速度为sinqa

2,可求得一维单原子链中振动格波vp解：由一维单原子链的色散关系的相速度为sinqa

2,可求得一维单原子链中振动格波vp「sin%(1)而其群速度为vgddq(2)vgddq(2)由（1）式和（2）式可做出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线如下图3.1所示：图3.1图3.1.qa

sin2Aa,B pqmqa上图中'm,a。曲线1代表 2 ,曲线2代表vgvg上acosqadq.m2由（由（1）式及结合上图3.1中可以看出，由于原子的不连续性，相速度不再是常数。但vpa.-当q0时， Vm为一常数。这是因为当波长很长时，一个波长范围含有若干个原子，相邻原子的位相差很小，原子的不连续效应很小，格波接近与连续媒质中的弹性波。由(2)式及结合上图3.1中可以看出，格波的群速度也不等于相速度。但当q0vgvvgvpam,体现出弹性波的特征，当q处于第一布区边界上,q v0即a时，vg02avp—,—而 m,这表明波矢位于第一布里渊区边界上的格波不能在晶体中传播，实际上它是一种驻波。.周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q的取值将会怎样？解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。 考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。 其具体含义是设想在一长为Na的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j个原子和第tNj个原子的运动情况一样，其中t=1,2,3…。引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢 q只能取一些分立的不同值。如果晶体是无限大，波矢q的取值将趋于连续。.什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色一爱因斯坦统计，即具有能量为 wj(q)的声子平均数为n.(n) 1nj(q)Wj(q)/(kBT).e 1对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。.试比较格波的量子声子与黑体辐射的量子光子； “声子气体”与真实理想气体有何相同之处和不同之处？解：格波的量子声子与黑体辐射的量子光子都是能量量子，都具有一定的能量和动量，但是声子在与其它粒子相互作用时， 总能量守恒，但总动量却不一定守恒； 而光子与其它粒子相互作用时，总能量和总动量却都是守恒的。 “声子气体”与真实理想气体的相同之处是粒子之间都无相互作用，而不同之处是“声子气体”的粒子数目不守恒，但真实理想气体的粒子数目却是守恒的。.晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设？各取得了什么成就？各有

什么局限性？为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果？解：我们知道晶体比热容的一般公式为S 幅 mk( )2e/(kBT)()dS (T)V 0kB(kBT)(e/(kBT)1)2由上式可以看出，在用量子理论求晶体比热容时，问题的关键在于如何求角频率的分布函数()。但是对于具体的晶体来讲， ()的计算非常复杂。为此，在爱因斯坦模型中，假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动， 而在德拜模型中，则以连续介质的弹性波来代表格波以求出 ()的表达式。爱因斯坦模型取得的最大成就在于给出了当温度趋近于零时，比热容 cV亦趋近于零的结果，这是经典理论所不能得到的结果。其局限性在于模型给出的是比热容 cV以指数形式. .. ... _3 … . .. ..趋近于零，快于实验给出的以T趋近于零的结果。德拜模型取得的最大成就在于它给出了-3在极低温度下，比热和温度T成比例，与实验结果相吻合。其局限性在于模型给出的德拜温度D应视为恒定值，适用于全部温度区间，但实际上在不同温度下，德拜温度 D是不同的。在极低温度下，并不是所有的格波都能被激发，而只有长声学波被激发，对比热容产生影响。而对于长声学波，晶格可以视为连续介质，长声学波具有弹性波的性质， 因而德拜的模型的假设基本符合事实，所以能得出精确结果。.声子碰撞时的准动量守恒为什么不同于普通粒子碰撞时的动量守恒？ U过程物理图像是什么？它违背了普遍的动量守恒定律吗？解：声子碰撞时，其前后的总动量不一定守恒，而是满足以下的关系式qiq2 q3 Gnq+qq〃qqq+qq〃qq+q+G量。对于Gn0的情况即有 qq1 q2q3,在碰撞过程中声子的q+q+G动量没有发生变化，这种情况称为正规过 ■程，或N过程，N过程只是改变了动量的分布，而不影响热流的方向，它对热阻是没有贡献的。对于Gn0的情况，称为翻转过程或U过程，其物理图像可由下图3.2来描述：

图3.2U过程物理示意图在上图3.2中，qiq2是向“右”的，碰撞后q3是向“左”的，从而破坏了热流的方向，所以U过程对热阻是有贡献的。U过程没有违背普遍的动量守恒定律，因为声子不是实物量子，所以其满足的是准动量守恒关系。.简要说明简谐近似下晶体不会发生热膨胀的物理原因；势能的非简谐项起了哪些作用？解：由于在简谐近似下，原子间相互作用能在平衡位置附近是对称的，随着温度升高，原子的总能量增高，但原子间的距离的平均值不会增大， 因此，简谐近似不能解释热膨胀现象。势能的非简谐项在晶体的热传导和热膨胀中起了至关重要的作用。.已知由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为2N2(2N2(m2)式中m是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等于解：由题意可知该晶格的振动模总数为N()d01m2N(m 2)5d2N——arcsin——m2NN()d01m2N(m 2)5d2N——arcsin——m2N——(-0)N210.若格波的色散关系为解：根据状态密度的定义式可知2cq和0cq2,试导出它们的状态密度表达式。1)其中n表不在间隔内晶格振动模式的数目。如果在q空间中，根据（q）c0nst作出等频率面，那么在等频率面间的振动模式的数目就是n。由于晶格振动模在q空间分布是均匀的，密度为V/（2)3(V为晶体体积），因此有Vn 3(2)3（频率为和+的等频率面间的体积）dSdq(2)将（2）式代入（1）式可得到状态密度的一般表达式为

（）工dS(3)（）（2）3|q（q）|(3)（3）式中 q（q）表示沿法线方向频率的改变率。2当cq时，将之代入（3）式可得dSV1 3 4q

dSV1 3 4q

(2)32cq”V1(2)2评1/220cq,将之代入（3）式可得V120cq,将之代入（3）式可得V1cV12V1 3- 1dS 3——4q 2F

(2)3q(q) (2)32cq(2)2/1/211.试求质量为m,原子间距为a/2,力常数交错为1, 2的一维原子链振动的色散关系。q当2101时，求在q0和a处的（q）,并粗略画出色散关系。解：下图3.3给出了该一维原子链的示意图X2n+3X2n-2 X2n+3X2n-2 X2n+1 X2n X2n+1 X2n+2在最近邻近似和简谐近似下，第图3.32n和第（2n+1）个原子的运动方程为d2X2ndt2d%1d2X2ndt2d%1dt22(X2n1 X2n)1(X2n X2n1)1(X2nX2n1)2(X2nX2n)(1)当当2 101时，上述方程组（1）可变为dQndt2d2XdQndt2d2XdX2n1dt2101(X2n11(X2n2X2n)1(X2nX2n1)X2n1)101(X2n1 X2n)(2)为求格波解，令

为求格波解，令将（3）式代入X2nX2n1i[(2n)”t]Ae2qai[(2n1)2Be2t](3)2）将（3）式代入X2nX2n1i[(2n)”t]Ae2qai[(2n1)2Be2t](3)2）式，可导出线性方程组为TOC\o"1-5"\h\zm m\o"CurrentDocument"—(eiqa/2 10eiqa/2)A(山 2)B0m m \o"CurrentDocument"1 20令m，从A,B有非零解的系数行列式等于零的条件可得(112 2)2 4(100m/2 eiqa/2)(eiqa/2 10eiqa/2) 0(5)2由（5）式可解出2(11,20cosqa101)当q0(5)2由（5）式可解出2(11,20cosqa101)当q0时cosqa220a时，cosqa其色散关系曲线如下图 3.4所示:其色散关系曲线如下图 3.4所示:图3.4原子间的力常数不相等的双原子链的晶格振动色散关系曲线12.如有一维布喇菲格子，第 2n个原子与第2n1个原子之间的力常数为 ；而第2n个原子与第2n1个原子的力常数为

写出这个格子振动的动力学方程；说明这种情况也有声学波和光学波；求q0时，声学波和光学波的频率；,q求2a(a为晶格常数)时，声学波和光学波的频率。解：(1)此题与(11)题基本相似，在最近邻近似和简谐近似下，同样可以写出第 2n和第2n1个原子的动力学方程为dX2nm-hdt2d2X2n1m 2-dt2(X2n1 X2n)dX2nm-hdt2d2X2n1m 2-dt2(X2n1 X2n)'(x2n2X2n(2)为求出方程组(1)'(X2n X2n1)1) (X2n1 X2n)X2n的格波解，可令Aei[(2n)qat]X2ni[(2n1)qat]1Be于是将(2)式代入(1)式，可导出线性方程组为(——

m•.iqa(—e

m2)A(mei>iqa -emiqa)B0iqa)A22)B0从A、B有非零解的系数行列式等于零的条件可2)22)224 2122cos2qa)0(4)(5)由此可知,的取值也有之分，即存在声学波和光学波(3)由(5)式可知当q0(5)由此可知,的取值也有之分，即存在声学波和光学波(3)由(5)式可知当q0时,cos2qa1有声学波频率o(12o(12；)由(4)式可解出4 2122cos2qa(4)同样由(5)式可知q当2a时，cos2qa1,有声学波频率,光学波频率13.在一维双原子链中，如M/m1(1)求证： -Msinqa2(1m1m2 、2cosqa)2M⑵画出与q的关系图（设M/m10)。解：（1）在一维双原子链中，其第2n个原子与第2n1个原子的运动方程为d2X2n

m z—dt2Md^2^dt2(X2n1X2n12x2n)为解方程组（1）可令(X2nX2n22x2n1)X2nX2nAe'[(2n)qat]Bei[(2n1)qat](1)(2)将（2）式代入（1）式可得出从A、B有非零解，方程组（42(M可解出得(M当（4）式中取号时,M/m(MmM(2m2)A2(——cosqa)B0mcosqa)A(2 2)B0M3）的系数行列式等于零的条件出发，可得—)24——sin2qa0mMm(M(1(3)（5）式中有24———sin

Mm4Mm(Mm)2qa(4)1,2 2sinqa)2(5)(Mm)MmM_Mmm4Mm(Mm)2.2sinqa4Mm,2 丁sinqaM24m.2_一sinqaM那么（5）式可简化为(14m1. 2 \2sinqa)2(114msin2qa)一•一2 _sinqa(6)当(4)式中取“十”号时，有M/m(Mm)Mm4Mm(Mm)2那么Mm2cosqa(Mm)Mm(6)式中有4MmM2(6)式可简化为m(14m——cosMqa)2一(1m(2)当M/m(MMm4Mm(Mm)22cosqa(MMmm)Mm2cosqa—cosM10时,则1qa)24mm(12cosqa4m——cos(4)式可化为此时， 与q的关系图，即色散关系图如下图2qa)—(1

mcos2qa)1110m产Jqa,100m25m23.5所示:14.在一维复式格子中，如果m51.671024g,M/m4,1.5N/m。求:(1)光学波频率的最大值、最小值及声学波频率的最大值;(2)相应的声子能量是多少eV?(4)(3)这3种声子在300K时各有多少个？(4)如果用电磁波激发光频振动， 要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长在什么波段?解：(1)由于光学波频率的最大值和最小值的计算公式分别为：上式中min所以有:maxminmaxmMm/M12451.671024 … 6.681/411024g上式中min所以有:maxminmaxmMm/M12451.671024 … 6.681/411024g为约化质量21.5,6.681024103132.1210Hz21.551.671024103131.9010Hz而声学波频率的最大值的计算公式为:max所以有:max21.524 3max21.524 3451.6710 109.501210Hz(2)相应的声子能量为:maxmaxminminmaxmax346.6251023.146.625103423.146.625103423.142.121.909.501013131012102.2362.0041.0021021J21.10J21.10J1.40102eV_ 21.2510eV 20.62510eV则有则有(3)由于声子属于玻色子，服从玻色一爱因斯坦统计,nmaxmax/%)e2.2361021/(1.381023300)e-1.401nmin1emin/(kBT) 12.0041021/(1.381023300)e-1.6121nmaxmax/(kBT)1.0021021/(1.381023300)e-3.6541（4）如用电磁波来激发光频振动，则要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长应满足如下关系式：23.142.998108max2.1210138.881015.在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界q2a处，声学支格波中所有轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子M静止。画出这时原子振动的图像。解：设第2n个原子为轻原子,其质量为m,第2n1个原子为重原子，其质量为M,则它们的运动方程为dqnm 2-dt(x2n1x2n12X2n)为解方程组（1）将（2）式代入（可令d%dt21Mnx2n2 2x2n1)(1)x2n Aei[(2n)qat]x2n1 Bei[(2n1）式可得出(2m(2M2)A1)qat](—m2cosqa)B0cosqa)A(-M22)B0(2)(3)从A、B有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得可解出得42(Mm)2 24—一sinqa0Mm(M(——)2 4———sin2qaMmMm(4)q-令2a,则可求得声学支格波频率为M，光学支格波频率为m由方程组(3)可知，在声学支中，轻原子m与重原子M的振幅之比为A2cosqa/m0B2/m2/M由此可知，声学支格波中所有轻原子 m静止。而在光学支中，重原子M与轻原子m的振幅之比为B2cosqa/M0A2/M2/m由此可知，光学支格波中所有重原子 M静止。此时原子振动的图像如下图 3.6所示： 3口(a) ⑸* 轻原子.-I 重原子图3.6(a)声学支格波原子振动图；(b)光学支格波原子振动图16.从一维双原子晶格色散关系出发，当 m逐渐接近M和mM时，在第一布里渊区中,晶格振动的色散关系如何变化？试与一维单原子链的色散关系比较，并对结果进行讨论。2(Mm)Tm2(Mm)Tm24—一sinqaMm由此可做出如下图3.7的一维双原子链振动的色散关系曲线图由此可做出如下图3.7的一维双原子链振动的色散关系曲线图图3.7一维双原子链振动的色散关系曲线q一由上图可以看出，当m逐渐接近M时，在第一布里渊区边界，即 2a处，声学波的频率开始增大，而光学波的频率则开始减小，而当mM波的频率开始增大，而光学波的频率则开始减小，而当mM时，则声学波的频率和光学q— 2波的频率在2a处相等，都等于MM。而在一维单原子链中，其色散关系为4 .而在一维单原子链中，其色散关系为4 .2qa——sin-2,由此可见，在一维单原子链中只存在一支格波，其色散关系曲线与一维双原子链中的声学波的色散关系曲线基本相似,q在其布里渊区边界，即a处，其格波频率为21,M是双原子链的格波在布里渊边界的频率值的2倍。17.设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的状态密度为9N2q在其布里渊区边界，即a处，其格波频率为21,M是双原子链的格波在布里渊边界的频率值的2倍。17.设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的状态密度为9N2()黑m。式中m为格波的截止频率。解：在德拜模型中，假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波,即有色散关系vpqi）那么格波的状态密度为V(T71ddq3vp(2))d3N)d3N又根据将（2）式代入（又根据将（2）式代入（3）式得(3)。22。22-d3N3vp(4)由（4）式可得3vpvm_ 2由（4）式可得3vpvm_ 218N5)把（5）式代入（2）式即可得9N2) 3m18.设晶体中每个振子白零点振动能是 2 ,试用德拜模型求一维、二维和三维晶体的总零点振动能。设原子总数为N,一维晶格长度为 L,二维晶格的面积为 S,三维晶格的体积点振动能。设原子总数为为V。解：(1)一维晶体的总零点振动能为:N i NEo (n(qj) )(qj)n(qj) (qj)qj 2 qjN(jieN(jie1j/(kBT)Nj j/(kBT)j1e设()d设()d表小角频率在d之间的格波数，而且m()dNm0 e~/(kBT)1()dm0 e~/(kBT)1()dTOC\o"1-5"\h\zlm, 1 1、 ，、,E0 0(~~/(面)1 R ("e । j()d(2)考虑到一维晶体中，其状态密度为:由于德拜模型考虑的是长声学波的影响，而长声学波可以看成连续媒质弹性波。对于弹性波，一个波矢对应一个状态，则有：2q/q2qqL2/L2q/q2qqL2/LxdZL故dq (4)dVp对于弹性波， Vpq,则 dq (5)将(4)和将(4)和(5)式代入(2)式，得:LVp(6)将(6)将(6)式代入(1)式，可得:Nvpm~T~将(6)式代入(2)式，可得一维晶体的总零点振动能:EonvEonvp

―10 2—d-vPvp 4L(2)对于二维晶体来说，计算其总零点振动能基本方法与一维晶体的方法相似，只是对于(1)式要改为：0 ()d2N而对于二维晶体，其状态密度函数为:S2VP(8)将(8)式代入(7)式可得:14Nvp万mS而对于二维晶体，其状态密度函数为:S2VP(8)将(8)式代入(7)式可得:14Nvp万mS将(8)式代入(2)式可得二维晶体的总零点振动能为:Eo1Nvp21S- 10 2SvP4N对于三维晶体来说，计算其总零点振动能基本方法与一维晶体的方法也基本相似,只是对于(1)式要改为:m0 ()d3N(9)而对于三维晶体，其状态密度函数为:23V223Vp(10)6N2vp

m ..将(10)式代入(9)式可得:将(10)式代入(2)式可得三维晶体的总零点振动能为:123 76NVp3,Ek10 0 2V2123 76NVp3,Ek10 0 2V2d22vpd3Vvp16246N23V19.应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的状态密度、德拜温度、晶格比热容。解：在德拜模型中，假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波,即有色散关系vpq1)_L12dvp(1)在一维情况下，晶格振动的状态密度为dq(2)上式中，L表示一维晶格的总长度。)d又由关系式(3)将式（3）代入式（2）上式中，L表示一维晶格的总长度。)d又由关系式(3)将式（3）代入式（2）可得—dVpNVpL于是德拜温度mkBNVpkBL晶体的比热容为m0y)kBm0y)kB।/(kBT)(e/(kBT) 1)2Vp.2 m/(kB.2 m/(kBT)kBTLvp 02xxe」/x八2dx(e1)x（其中kBT)（2）在二维情况下，晶体振动的格波有2支，即一支纵波和一支横波，在德拜模型中,假设纵波和横波的波速相等，都等于Vp假设纵波和横波的波速相等，都等于Vp,即纵波和横波都有如下的色散关系先考率纵波，其状态密度为vpqi先考率纵波，其状态密度为vpqi()1ddqST22Vp类似地可以写出横波的状态密度为（）加起来总的状态密度为i(（）加起来总的状态密度为i(S-2vp(4)(5)mS2将（4）式代入（5）(5)mS2将（4）式代入（5）式得0vp2N,由此可得12二4Nvp2 mD于是得德拜温度为 kBkB14NvP2S)d2N)d又由关系式c而晶体的比热容为m一一 90B(k^T)(e/(kBT)/(kBT)1)20.已知金刚石的弹性模量为k3c而晶体的比热容为m一一 90B(k^T)(e/(kBT)/(kBT)1)20.已知金刚石的弹性模量为k3T2Sm/(kBT)3xxe“

- 2dx(ex1)2x (其中 kBT)1X1012N/m2密度为3.5g/cm3。试计算金刚石的德拜温度 D。解：假设金刚石的原子振动的格波为一连续介质的弹性波,其波速为vp 12K1103.51031.69104m/sn而又金刚石的原子密度为No33.510121036.0223 2910 1.7561029个/m3由此可知金刚石的德拜温度为上(6n2)1/3kB上(6n2)1/3kB1.0553410 1.691041.381102329 2.1/3(61.75610 3.14)2817K21.具有简单立方布喇菲格子的晶体，原子间距为21.具有简单立方布喇菲格子的晶体，原子间距为2x10-10m,由于非线性相互作用，一个1^[100]方向传播，波矢大小为q1.31010m-1的声子同另一个波矢大小相等当沿 [110]方向传播的声子相互作用，合成为第 3个声子，试求合成后的声子波矢。解：易知简单立方格子的倒格子仍是简单立方格子，其倒格基矢b1、b2解：易知简单立方格子的倒格子仍是简单立方格子，其倒格基矢b1、b2和b3互相2 23.1410垂直，长度为a2103.14io10m-1,第一布里渊区就是原点和六个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体。又因为ioq〔qioq〔q2 1.310i(1.31010i1.3——10j)22.22io.102.22io.10i0.921010j由此可知q由此可知q1 q2落在第一布里渊区之外,即可知题所述两声子的碰撞过程是一个翻转过程或U过程，此时两声子的碰撞产生第三声子满足准动量守恒，即有q1q2q3Gn（其中Gn表示一倒格矢）io.为使q3落在第一布里渊区里，取Gn3.1410i,则有q3q1q2Gn2.221010i0.921010j3.141010i其大小为q30.92100.921010i10i0.921010j0.92101oj1.310其大小为q30.92100.921010i10i0.921010j0.92101oj1.31010m-122.设某离子晶体离子间的相互作用势能为u(r)2

e40「近邻原子间距。求该晶体的线膨胀系数。已知近邻原子的平均距离为。式中B为待定常数；r为3X10-10m。解：由平衡条件du(r)

dr可得e22Be22B2 2 -3~4 0「0 「02e「0由此可得于是可求得21/du(r)、2!21/du(r)、2!(dr2 r02

e8 0「031d3u(r)3!(dr3)「02

e4 0「04那么线膨胀系数为r。dT3gkr。dT3gkB124C2r00kB「0-2e123.148.85412 23 10123.148.85410121.381102331010Z Z~19~2(1.610)25.4105K-1

第四章金属自由电子理论.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谓方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米-狄拉克统计。 根据这个理论，不仅导出了魏德曼—佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。.金属自由电子论在k空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关?解：金属自由电子论在k空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。.驰豫时间的物理意义是什么？它与哪些因素有关？解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。 驰豫时间的大小与温度、 电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差？解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。.已知一维金属晶体共含有N个电子，晶体的长度为L，设T0K。试求:（1）电子的状态密度；（2）电子的费米能级；（3）晶体电子的平均能量。解：（1）该一维金属晶体的电子状态密度为:(E)dZdZdkdEdkdE(1)(E)dZdZdkdEdkdE(1)考虑在k空间中，在半径为k和kdk的两线段之间所含的状态数为:又由于所以dZ2dkL一dk2k22m又由于所以dZ2dkL一dk2k22mdE2kdkm将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳 2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为：(E)2Lm•；2E(4)(2)由于电子是费米子，服从费米一狄拉克统计，即在平衡时，能量为子占据的几率为：E的能级被电一一、1f(E)—e-eF (5)eKBT1于是，系统中的电子总数可表示为：f(E)(E)dE由于T0K,所以当EE(E)2Lm•；2E(4)(2)由于电子是费米子，服从费米一狄拉克统计，即在平衡时，能量为子占据的几率为：E的能级被电一一、1f(E)—e-eF (5)eKBT1于是，系统中的电子总数可表示为：f(E)(E)dE由于T0K,所以当EEF,有f(E)0,而当EE0,有f(E)1,故(6)式可简化为:E0N(E)dE0eO02Lm「4LmE0-d—dE=——d ,2E v2由此可得:eON2228mL2(3)在T0K时，晶体电子的平均能量为:— 1 .Eo-Ef(E)

No1(E)dE=—NeOEo2L.mdE12E2L3N3、2m(E；)，dZL22kdkrkdk(1)TOC\o"1-5"\h\z2 22N 1o2 EF24mL2 3.限制在边长为L的正方形中的N个自由电子，电子的能量为2EK%)茄(kx2k2)。试求：(1)能量E〜EdE之间的状态数；(2)此二维系统在绝对零度的费米能量；(3)电子的平均能量。解：(1)K空间中，在半径为k和kdk的两圆面之间所含的状态数为

这也就是能量在E〜EdE之间的状态数，由电子的能量表达式可得TOC\o"1-5"\h\z…2mE2m1 —m广\o"CurrentDocument"kdk，^2~\'F2；yEdEFdE （2）将（2）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，这样可得能量吗dE2 mL 吗dE2在E〜EdE之间的状态数为dZ2〃LydE22（2）由（1）问可知，该系统的自由电子的状态密度为(E)dZmL2(E)dZmL2dE在绝对零度下，由下式e°N0(E)dEe°N0(E)dE0EFI2mL2mL2 0dE2Ef由此可得此二维系统在绝对零度的费米能量为eFeFN2

mL2（3）电子的平均能量为EoE(E)dEoEoE(E)dEo0EF2mL2EdEmL21N2mL28.金属锂是体心立方晶格，晶格常数为3.5108.金属锂是体心立方晶格，晶格常数为3.51010m。试计算绝对零度时电子气的费米0〜一—能量EF（以0〜一—能量EF（以eV表木）解：由题意可求得金属锂的电子浓度为2 2na3 （3.51010）3故绝对零度时金属锂的电子气的费米能量为2 20 2oEf丁（3n ）32m4.661028/m3(1.0551034)12(34.6610283.142)：29.111031_197.5710J4.72eV9.在低温下金属钾的比摩尔热容的实验结果可写成9.在低温下金属钾的比摩尔热容的实验结果可写成3、Cv (2.08T2.57T)mJ/(molK)23若1mol的钾有N610个电子，试求钾的费米温度Tf和德拜温度 D。解：根据金属自由电子气模型,低温下金属的总比摩尔热容为:解：根据金属自由电子气模型,低温下金属的总比摩尔热容为:上式中,No故:E0又由10.试比较CvcVeTbT3N。2kB2E。2k22EF2.0810N。2k222.08kBTF。 Ef0Tf02.70812上式中,No故:E0又由10.试比较CvcVeTbT3N。2kB2E。2k22EF2.0810N。2k222.08kBTF。 Ef0Tf02.708124NokB5D610231031019__ _231.3810231.962124NokB2.571033.142(1.38炉3)2 2.7081019J4.16103104K3123.144610231.38102352.5710390.9K1mol金属钠在30K和0.3K时的德拜比热容,并与电子比热容比较。已知钠的德拜温度D150K,钠的费米能级EF 3.*解：在30K时，1mol金属钠的德拜比热容为cVc124T3-NkB(—)3D123.142 6.0223 23 30310 1.3810 ( )150而其电子比热容为1.57J/K2CVe —NkB(e2E。一-2 ，一一23一3^-6.0210231.381023(1.3810——309)2 3.231.610190.0328J/K所以德拜比热容与电子比热容之比为1.57——47.9

0.0328124在0.3K时1mol124T3NkB(——)

D2 .—2 .—6.0210231.3810230.3150)3而其电子比热容为1.57106J/K2而其电子比热容为1.57106J/K2Cv—NkB(

e2e03.14223 23 1.3810230.36.0210231.381023( ^)3.231.6103.28103.28104J/K所以德拜比热容与电子比热容之比为1.571063.281044.7910311.有一鸨丝，长0.05m,横截面积的直径为1X10-4m。试求2000K时鸨丝的热电子发射电流。已知鸨的电子逸出功为 4.5eV。解：由里查孙一杜师曼定律可知鸨丝的热电子发射电流密度为2W/(kBT)ATe_ _ _ _19 _ _23 4 2 4.51.61019/(1.3810 2000) 27510 2000e ) 14.05A/m2故热电子发射电流为IjS4 2110414.053.14 1.103107A12.室温下利用光电效应已测得银及葩的光电效应阀值分别为4.8eV和1.8eV。求:采用里查孙-杜师曼公式分别估算银及艳在室温下的热电子发射电流密度;若温度上升至800K时，其热电子发射电流密度为多少？若把银与葩两种金属接触在一起，求出室温下它们的接触电势差。解：（1）在室温下银的热电子发射电流密度为j AAgT2eWAg/(kBT)6 2 4.81.210 298e_ _19 _ _231.61019/(1.381023298)8.361071A/m2在室温下葩的热电子发射电流密度为2cWcs/(kBT)

j AcsTe1.61062981.61062982e1.8_ _19 _ _231.61019/(1.381023298)5.471020A/m2(2)在800K时银的热电子发射电流密度为2 WAg/(kBT)j AAgTeg6 2 4.81.210 800e__19 6 2 4.81.210 800e__19 __231.61019/(1.381023800)4.721019A/m2在室温下葩的热电子发射电流密度为j ACsT2eWCs/(kBT)1.61068001.61068002e1.8__19 __231.61019/(1.381023800)4.80A/m2(3)若把银与葩两种金属接触在一起，它们的接触电势差为1Vd -(WAgWcs) 3Ve13.利用电子漂移速度v的方程dvvm(——-)edt,证明在频率下的电导率为：()(0)[其中⑼2ne/mOo解：设电场为°eit,则有it0it0edvdt0的通解为0的通解为齐次方程dvdtce设非齐次方程的特解为vAe.it1.itAeAe从上式可求出特解的待定系数故非齐次方程的通解为eo_

m(1tcem(1i)上式中的第一项随时间的增大迅速衰减,表示电子在电场作用下的驰豫过程， 对电流没nn个电荷为e的有贡献，对电流有贡献是第二项，如果在电场的作用下，单位体积内含有电子，则其电流密度j()n(e)v2 -itne oem(1i22nem(1i)(0)f其中(0)2nem第五章固体的能带理论.布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？解：布洛赫电子论作了 3条基本假设，即①绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处理； ②单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动； ③周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。布洛赫电子论相比于金属自由电子论， 考虑了