国家开放大学2021年（202101-202107）《1079高等代数专题研究》期末考试真题及答案完整版（共2套）

试卷代号：1079国家开放大学2020年秋季学期期末统一考试高等代数专题研究试题2021年1月一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1.下列结论正确的是(). A.可约一定有根 B.不可约一定无根 C.有根一定可约 D.无根未必不可约2.若向量组α1，α A.α1 C.α13.如果线性空间V的线性变换A在V的基ε1，εAA那么A在基ε1，ε A.abc C.ac4.实对称矩阵的特征值都是(). A.实数 B.零或纯虚数 C.非零实数 D.模为1的复数5.线性空间V上的双线性函数f(α,β)在不同基下的度量矩阵(). A.相似 B.相合 C.正交相似 D.相等二、填空题（本题共20分.每小题4分） 6.当a=___________时，x 7.从基η1，η2 8.n阶方阵A称为可对角化，如果存在可逆矩阵T，使得T-1AT为______________ 9.欧几里得平面上的正交变换一定是__________________或镜射. 10.实对称矩阵A是正定的充分必要条件是A的顺序主子式_____________.三、计算题（本题共45分，每小题15分） 11.已知β1=(1，1，1 12.求A= 13.已知α1=1，1四、证明题（本题15分） 14.如果A，B都是正定实对称矩阵，证明：A+B也是正定实对称矩阵.试卷代号：1079国家开放大学2021年春季学期期末统一考试高等代数专题研究试题2021年7月一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1.下列运算中，（）是有理数域Q上的代数运算. A.a。b=ab B.a。b=b C.a。b=ab D.a。b=2a2.按通常数的加法与乘法，复数域C可以看成实数域R上的线性空间，则它的维教是（）. A.0 B.1 C.2 D.无限3.矩阵A与B相似的充分必要条件是（）. A.A与B的特征多项式相等 B.A与B的行列式相等 C.A与B的秩相等 D.存在可逆矩阵T，使T-1AT=B4.设A是正交矩阵，则下列选项中错误的是（）. A.A2=E B.AT=A-1 C.A的每一行的元素的平方和等于1 D.A的不同行的对应元素乘积之和等于O5.设A是n阶实对称矩阵，则A是正定的充分必要条件是（）.A.A的行列式大于零B.存在矩阵C，使得A=CTCC.A的特征值全为正D.存在n维非零向量X，使得XTAX>O二、填空题（本题共20分，每小题4分）6.实数域上的不可约多项式的次数是次的.7.向量组a=(0，O，1)，β=（0，1，2)，γ=(a，3，5)线性相关，则a=.8.设A是线性空间V的线性变换，则A的属于不同特征值的特征向量线性_________________________.9.设σ是欧氏空间V的对称变换，则σ在V的标准正交基下的矩阵是.10.线性空间V上的双线性函数f(α，β)在不同基下的度量矩阵.三、计算题（本题共45分，每小题15分）11.设R3的线性变换σ定义如下：σ(x1，x2，x3)=(2x1-x2，x2-x3，x2+x3)，求σ在基ε1=(1，O，O)，ε2=(0，1,0)，ε3=(0，O，1)下的矩阵.12.设A=2-20-21-20-20，求一个正交矩阵T，使T-1AT13.求λ取何值时，下面的实二次型是正定的f(x1，x2,x3)=x12+4x22+4x32+2λx1x3四、证明题（本题15分）14.设，f(x)，g(x)是数域P上的一元多项式，且f(x)，g(x)=1，证明：(f(x)·f(x)+g(x))=1.试卷代号:1079国家开放大学2020年秋季学期期末统一考试高等代数专题研究试题答案及评分标准(供参考)2021年1月一、单项选择题(本题共20分,每小题4分) 1.D 2.C 3.C 4.A 5.B二、填空题(本题共20分,每小题4分) 6.2 7.0 8.对角阵 9.旋转 10.全大于零三、计算题(本题共45分,每小题15分) 11.已知β1=(1,1,1,1),β2=(1,0,1,-1),β3=(1,3,0,-4),求W=L(β1,β2,β3)的基与维数. 解:把β1,β2,β3写成列向量组成矩阵A,对A进行初等行变换,化成简化的行阶梯形矩阵:A=111……(10分) 由此知β1,β2,β3是W的一组基,dimW=3.……(15分) 12.求A=122 解:A的特征多项式χA(λ)=λE-A=λ-1-2-2-2λ-1-2-2-2 所以A的特征值是-1和5.……(7分) 当λ=-1时,解齐次线性方程组(-E-A)X=0,得基础解系ξ1=10-1,ξ2= 因此属于-1的全部特征向量为k1ξ1+k2ξ2,k1,k2为P中不全为零的全部数对.……(11分) 当λ=5时,解齐次线性方程组(5E-A)X=0,得基础解系ξ3=111.因此属于5的全部特征向量为kξ3,k∈P,k……(15分) 13.已知α1=(1,1,0),α2=(1,0,1),α3=(1,0,0)是R3的一组基,求R3的一组标准正交基. 解:用施密特正交化方法可得 β1=α1=(1,1,0)……(3分) β2=α2-(α2,β1)(……(6分) β3=α3-(α3,β1)=(1,0,0)-12(1,1,0)=1……(9分) 单位化可得一组标准正交基为 γ1=2……(11分) γ2=6……(13分) γ3=3……(15分)四、证明题(本题15分) 14.如果A,B都是正定实对称矩阵,证明:A+B也是正定实对称矩阵. 证明:(A+B)T=AT+BT=A+B,故A+B是实对称矩阵,……(5分) 对任一n维列向量X≠0,都有XT(A+B)X=XTAX+XTBX>0. 因此,A+B为正定实对称矩阵.……(15分)试卷代号：1079国家开放大学2021年春季学期期末统一考试高等代数专题研究试题答案及评分标准（供参考）2021年7月一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1．B2．C3．D4．A5．C二、填空题（本题共20分，每小题4分）6.1或27.08．无关9．对称矩阵10.相合三、计算题（本题共45分，每小题15分）11．解：σεσσε……（7分）因此，σ在基ε1=(1，0，0)，ε2=(0，1，0)，ε3=(0，A=2……（15分）12.解：A的特征多项式|λAE-AI=(λ+2)(λ-1)(λ-4)，故A的特征值为-2，1，4．……（5分）A是实对称矩阵，可对角化．分别求得A的属于每个特征值的特征向量当λ1=-2时，(-2E-A)X=0的基础解系为α1T=（1，2…（7分）当λ2=1时，(E-A)X=0的基础解系为α2T=（2，…（9分）当扎一4时，(4E-A)X=O的基础解系为a}一(2，-2，1).……（11分）α1，α2，α3已正交．单位化得η1T=13令T=13则T是正交阵，且T-1AT=TTAT=-21……（15分）1A-113.解：二次型的系数阵A=1λ-1……（5分）利用A是正定实对称矩阵的充分必要条件是它的各阶顺序主子式都大于零，可得1解得-2＜λ＜1．……（15分）四、证明题（本题15分）14．证明：因为(f(x)，g(x))=1，则有u1(x)，v1(x