4.1 三角函数的概念与基本公式microsoft word 文档doc-高中数学

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第四章三角函数

知识结构网络

4.1三角函数的概念与基本公式

——三角函数阐述了自然界中奇妙有趣的数量关系，是非常有用，而且益智的数学知识

一、明确复习目标

1.熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式;

2.掌握任意角的三角函数概念、符号、同角三角函数公式和诱导公式;

二．建构知识网络

角的定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。

2.角在直角坐标系中的表示：角的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上.

(1)象限角:角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

(2)象间角:角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象间角。

与角终边相同的角的集合：{β|β=k360°+α,k∈Z}

终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。

(4)正确理解：“间的角”“第一象限的角”，“锐角”，“小于的角”，这四种角的集合分别表示为：

，

，。

3．弧度制:规定

(1)等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角,作为弧度制的单位;

(2)任一已知角的弧度数的绝对值。

正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。

这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。

比值l/r与所取圆的半径大小无关，而仅与角的大小有关。

4．弧度与角度的换算：1800=π（弧度），1弧度=（180/π）0≈57018＇。

5．弧长公式:;扇形的面积公式：。

6.任意角三角函数的定义:在角α的终边上任意一点P（x，y）与原点的距离是r（r=＞0），则sinα=，cosα=，tanα=.

三角函数两件事:一是符号,二是比值,且比值与P上在终边上的位置无关.

7.同角三角函数关系式:

sin2α+cos2α=1（平方关系）；=tanα（商数关系）；tanαcotα=1（倒数关系）.

8.诱导公式

α+2kπ（k∈Z）、－α、π±α、2π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.——函数名不变，符号看象限。

另外：sin（－α）=cosα，cos（－α）=sinα.——函数名改变。

三、双基题目练练手

1.已知sin=，cos=－，那么α的终边在（）

A.第一象限 B.第三或第四象限

C.第三象限 D.第四象限

2.(2005全国Ⅲ)设,且,则（）

A.B.C.D.

3.角α的终边过点P（－8m，－6cos60°）且cosα=－，则m的值是（）

A. B.－ C.－ D.

4.已知cosα=，且－＜α＜0，则=_________.

5.已知sinβ=，sin（α+β）=1，则sin（2α+β）=_________.

6.已知sinθ=，cosθ=，若θ是第二象限角，则实数a=______

简答:1-3.DCA;4.;5.;6..

1.结合三角函数线知

α在第四象限.答案：D

法2:sinα=－＜0，cosα=＞0，∴α终边在第四象限.

3.cosα==－.∴m=或m=－（舍去）答案：A

4.从cosα=中可推知sinα、cotα的值，再用诱导公式即可求之.

5.∵sin（α+β）=1，∴α+β=2kπ+.

∴sin（2α+β）=sin［2（α+β）－β］=sinβ=.

6.依题意得解得a=或a=1（舍去）.

四、经典例题做一做

【例1】已知α是第二象限的角

指出α／2所在的象限，并用图象表示其变化范围；

若α还满足条件|α+2|≤4，求α的取值区间;

若,求α－β的范围.

解：依题意，2kπ+π/2＜α＜2kπ+π（k∈Z）

所以kπ+π/4＜α/2＜kπ+π/2（k∈Z），若k为偶数，则α/2是第一象限的角；若k为奇数，则α/2是第三象限的角；其变化范围如图中的阴影部分所示（不含边界）

因为|α+2|≤4，所以－6≤α≤2，

即α∈（2kπ+π/2，2kπ+π）∩[－6，2]，

结合数轴可知，α∈（－3π/2，－π）∪（π/2，2。

(3)

又

◆提炼方法:理解象限角、终边相同的角、区间角的概念，掌握α角的取值范围与2α、α/2角的取值范围间的相互关系。

【例2】化简（1）（）

（2）;

(3)若sinα·cosα＜0，sinα·tanα＜0，化简+.

解：（1）当k为偶数时，原式==－1；当k为奇数时同理可得，原式=－1，故当时，原式=-1。

（2）原式==3

(3)由所给条件知α是第二象限角，则是第一或第三象限角.

原式==

=

◆关键点注:（1）分清k的奇偶，决定函数值符号是关键；

（2）平方式降次是化简的重要手段之一。

【例3】（1）确定lg（cos6－sin6）的符号；

（2）若+=0，判断cos（sinα）•sin（cosα）的符号。

解：（1）∵6是第四象限的角，∴cos6＞0，sin6＜0，故cos6－sin6＞0；

∵（cos6－sin6）2=1-2sin6cos6＞1，∴cos6－sin6＞1，∴lg（cos6－sin6）＞0

（2）由题意可得=0，∴sinα•cosα＜0，故α在第二或第四象限。

若α在第二象限，则0＜sinα＜1，-1＜cosα＜0，∴cos（sinα）＞0，

sin（cosα）＜0；∴原式＜0。

若α在第四象限，则-1＜sinα＜0，0＜cosα＜1，∴cos（sinα）＞0，

sin（cosα）＞0；∴原式＞0。

◆思路方法:判断角所在的象限是解决此类问题的关键。对于用弧度制表示的角不好判定所在象限时，可转化成角度来表示。

【例4】时钟上自7点整到分针与时针第一次重合,求分针转过的弧度数.如果分针长11cm,求分针转过扇形的面积.

解:设分针转过的弧度数的绝对值为x,则时针转过的角的弧度数的绝对值为,由分针、时针转过的时间相等得：（分钟）。

分针转过扇形的面积

答：分针转过，转过扇形的面积为77πcm2.

【研讨.欣赏】证明：(1)

(2)若sinα=msinβ,tanα=ntanβ,且α,β为锐角,则

证明(1)法一：右边=

左边

法二：要证等式即证

只需证即证

即显然成立,所以原等式成立。

(2)(注意结论,应消去β)

由①

由sinα=msinβ②

得,代入①得ncosα=mcosβ与②平方相加得(n2-1)cos2α=m2-1.

∵α是锐角,∴

◆思维点拨：１．证等式常用方法：从一边推另一边；化繁为简；左右归一；变形论证；综合法；比较法等.

２．常用变形技巧：切割化弦，化异为同，凑分母，“１”的代换．

五．提炼总结以为师

1.任意角、弧度制、与角度制的互化，弧长、扇形面积公式；任意角的三角函数概念.

2.在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限正确确定三角函数值的符号,求出相应的值.

3.弦切互化、三角代换、消元是三角变换的重要方法，要注意公式的变形使用，要尽量减少开方运算，慎重确定符号.,并注意“1”的灵活代换:

如1=sin2α+cos2α=sec2α－tan2α=csc2α－cot2α=tanα·cotα.

4.应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀.

5.，，三个式子中，已知其中一个式子的值，求出其余两个式子的值。

同步练习4.1三角函数的概念与基本公式

【选择题】

1.（2004.辽宁卷）若的终边所在象限是()

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2.（2005山东）函数，若，则的所有可能值为（）

（A）1（B）（C）（D）

3.设α、β是第二象限的角，且sinα＜sinβ，则下列不等式能成立的是()

A.cosα＜cosβ B.tanα＜tanβ

C.cotα＞cotβ D.secα＜secβ

【填空题】

4.化简=_________.

5.已知sinα+cosα=，那么角α是第_______象限的角.

6.已知扇形的周长为20，当扇形的半径r=_____时，扇形的面积最大，面积的最大值等于________；

练习简答：1-3.DBA;

3.A与D互斥，B与C等价，则只要判断A与D对错即可.利用单位圆或特殊值法，易知选A.

4.==|sin4－cos4|=sin4－cos4.

5.两边平方得1+2sinαcosα=，∴sinαcosα=－＜0.∴α是第二或第四象限角.

6.当时面积最大，最大值为25

【解答题】

7.已知，，求的范围。

解：设2α-β=A（α+β）+B（α-β），（A，B为待定系数），则2α-β=（A+B）α+（A-B）β。比较两边的系数得A=，B=；∴2α-β=（α+β）+（α-β），从而可求得－π＜2α－β＜π／6。

思维点拨:解决此类问题要用待定系数法，千万不能先由条件得出α、β的范围，再求2α－β的范围比实际范围要大。

8.已知，求

（1）的值；

（2）的值。

解：（1）法一：由已知sinα=2cosα，∴原式=；

法二：∵，∴cosα≠0，∴原式==。

（2）==

=

提炼方法：关于的齐次式的一般处理方法。

９.(1)已知，求的值。

（2）

解：(1)由已知得，所以是方程

的两根，

而

思维点拨：常用关系，则在解题中的作用。

(2)原式=

当n为奇数时，设，

则原式=

=。

当n为偶数时，设，同理可得原式=0。

1０.求证：

证明：左边=

右边=

所以原等式成立

１１．（1）已知，求的值。

（2）已知θ∈(0,π),且sinθ,cosθ是关于x的方程5x2-x+m=0的根,求sin3θ+cos3θ和tanθ的值.

解：（1）条件中的表示10条不同终边的角，这10条终边分成5组，每组互为反向延长线，余弦值的和为零.

∴f（1）+f（2）+…+f（2004）

=f（1）+f（2）+…+f（4）+f(5)+f(6)+…f(2004)

=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)

（2）由韦达定理得:①

由(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ得

∴,

Sin3θ+xos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)

=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)

=

又0<θ<π,sinθcosθ<0,

∴sinθ>0,cosθ<0

sinθ-cosθ=

.

【探索题】是否存在α、β，α∈（－，），β∈（0，π）使等式sin（3π－α）=cos（－β），cos（－α）=－c