力学第七章 刚体力学

Mechanics

力学12Chap.7MechanicsofRigidBodies刚体力学3

刚体是不可形变的物体

(或物体内任意两点间的间距不变)。

质点系的理想模型

刚体可以看作是大量的质点(质元)构成，

每个质元具有各自的速度和加速度。

4§7.1刚体运动的描述i.刚体的平动1.定义：在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行。

2.性质：

②每个质点具有相同速度和加速度。①每个质点具有相同轨迹。5ii.刚体绕固定轴的转动1.定义：每个质点做圆周运动，圆心在固定转轴上。2.性质：①刚体中始终保持不动的直线就是转轴。②刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直，圆心在轴上。③和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。主要问题:“忘掉不重要的or非本质的……”

某一时刻描述刚体的状态量需要几个?6角坐标：如图示：建立O-xyz系，z轴与转轴重合，O点任意选取除O点外，再选一个A点，此图形的位置可由矢量来确定，而矢量的大小是不变的，方向只需由矢量与x轴的夹角θ来确定，此θ角称为：绕定轴转动刚体的角坐标

。θ角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和z轴成右手螺旋时，θ角为正，否则θ角为负。3.定轴转动的描述7①运动学方程：，即：角坐标随时间的变化规律。②描述刚体整体运动的物理量——角量，包括：角位移，角速度，角加速度。角位移：定轴转动刚体在时间内角坐标的增量。任意质元的角位移是相同的——是一整体运动的量。面对z

轴观察：逆时针转动，；反之，。8即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。面对z轴观察逆时针转动时：；反之，。角速度ω：在这一过程中，9角加速度α：

即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。加速转动，α与ω同号；，反之，。10③线量：描述定轴转动刚体上任一质元运动的物理量：线位移，线速度，线加速度。yxOAθr线位移：

线速度：

线加速度：Note:ds的物理意义11由定轴转动刚体角量和线量关系可知：角量：描述刚体整体运动的物理量；角量充分描述了刚体的定轴转动状态线量:：描述刚体任一质元运动的物理量，由角量可得线量物理量单位量纲物理量单位量纲角位移

rad1线位移

mM角速度rad/sT-1线速度m/sMT-1角加速度rad/s2T-2线加速度m/s2MT-212求导积分求导积分α(t)ω(t)θ(t)求导积分求导积分a(t)v(t)x(t)初始条件:t=0时,θ=θ0

ω=ω0

初始条件:t=0时,x=x0,v=v0

匀变速转动(α=C)和匀变速直线运动(a=C)相对应：速度公式位移公式速度位移关系13iii.角速度方向规定右手螺旋法则：四指的方向和转动方向一致，大拇指的指向就是的方向，沿转轴，如图示：必须满足平行四边形法则：(1)定义(2)角加速度14刚体的平面运动(1)定义刚体上各点均在平面内运动，且这些平面与一固定平面平行。(2)性质刚体上垂直于固定平面的任意直线上各点具有完全相同的运动状况。15通常选择此平面内刚体上某点B的位置坐标和绕过该点轴旋转的角度θ来描述刚体的位置A。

或(3)平面运动的描述刚体的状态量

vs.质点不同体系的区别？16B点是任意选取的，称作基点。即：反映任意选定基点的运动，反映刚体绕过基点轴的转动。因此：平面运动可分解为随基点的平动和绕过基点轴的转动。17

平面运动刚体上任一点的速度如图：以B点为基点，建立如图示的坐标系则：因此，而A点相对于基点B的速度矢量：（为刚体绕过基点轴的角速度）即：平面运动刚体上任一点的速度A等于随基点B的平动速度与绕过基点B轴转动的速度的矢量和。回忆转动和非转动坐标系间的坐标变换关系18此即为纯滚动的条件。CABDEω例题：如图所示，半径为r的圆柱体做无滑滚动，画出A、B、D点的速度矢量图，并讨论圆柱体只滚不滑的条件解：选圆柱的几何中心C为基点，则圆柱边缘上任一点的速度：考虑与地面接触点E的速度：如果圆柱体只滚不滑，应满足：两边对时间求导：19§7.2刚体的动量质心运动定理i.刚体的质心刚体的质心的计算，同质点系的质心的计算方法完全一样

质量分立分布：

质量连续分布：20ii.计算质心的方法⑴对称法：根据刚体质心的定义式可知，刚体的质心必定在刚体的对称中心、对称轴、对称平面上⑵分割法：根据刚体的形状，把刚体分成几部分，转化成求几个质点的质心⑶积分法：选取合适的质元、坐标，通过做积分求出质心21例1：求半径为a的均质半圆球的质心。解：常用的方法是对称法，质点在对称面，对称轴，对称中心等上。如图建立坐标系o-xyz，则C在z轴上，取质量元为如图示的薄圆板，厚度为dz，由于则：多重积分不用怕，一重一重来vs.多次求导22例2：如图所示，在半径为R的匀质圆板上钻一个半径为R/2的圆孔，求钻孔圆板的质心.解：补上被钻掉的小圆板,整个大圆板可看作由小圆板mA和月牙板mB组成。据质心计算公式：ABomBmAx由对称性分析可知：大圆板的质心在o点，小圆板的质心在A点，要求的月牙板的质心在x

轴上的某一点，设为B23⒉刚体的动量守恒定律若刚体所受外力矢量和为零，则刚体的动量保持不变。

质点系的有关概念和规律都适用于刚体⒈刚体的动量：⒊刚体的质心运动定理：iii.

刚体的动量质心运动定理

=恒矢量如果基点选为质心时………刚体的运动方程部分24例3:求偏心飞轮对轴承的压力：已知匀质飞轮质量m=5.0kg，半径r=0.15m，转速n=400r/min，质心C距转轴O距离d=0.001m，飞轮所受重力忽略不计COd解:以飞轮为研究对象，设轴对其压力为据质心运动定理：据牛顿第三定律，飞轮对轴的压力：

转轴偏离质心会产生较大附加压力，使机座产生有害振动或使轴承变形，因此要尽量使质心位于转轴上25§7.3刚体定轴转动的角动量转动惯量i.

刚体定轴转动对轴上一点的角动量zωO大小:若方向:沿z轴正方向(a)r:到轴的距离26zOω(b)不沿z轴方向讨论：刚体定轴转动时，角动量矢量与角速度方向不一定相同。根据数学定义举简单例子来判断,

而不是靠单纯想象2728ii.

刚体对一定转轴的转动惯量

1、转动惯量定义：

说明：转动惯量与刚体的质量分布和转轴的位置有关。其中：表示质点对转轴的距离。2、转动惯量的计算：①质量不连续分布情况：②质量连续分布的情况：取定坐标系后的内部属性why转动惯量?......最终目标:运动方程29例：证明空心圆盘对过质心与端面垂直的轴的转动惯量：rR2R1dr证明：在坐标r处取宽度为dr的细圆环，转动惯量为：令，即得细圆环的转动惯量：令，即得圆盘的转动惯量：30例：证明球体对任意直径的转动惯量为：证明：如图所示，在坐标z处取高为dz的小圆柱作为质元，dzzRro31几种常见刚体的转动惯量323、平行轴定理

若两轴平行，距离为d

，其中一轴过质心，刚体对它的转动惯量为Ic,则刚体对一轴转动惯量为：ycxcyiyyi'y'xixi'xx'midCO证明：如右图示，刚体的二轴分别为z和z’轴，

由此可知：刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小。334、垂直轴定理（仅适用于厚度无穷小的薄板，厚度）

即：无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯量，等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和。

证明：如图所示，有：因此，注意：本定理对有限厚度板不成立。34iii、刚体定轴转动的角动量定理转动定理刚体对转轴（假定为z轴）的角动量：应用质点系对z轴的角动量定理，可得定轴转动刚体的角动量定理：其中为外力对z

轴的力矩；为刚体的角加速度在z

轴上的投影，可正可负。

刚体平面转动:3个自由度要求

3个独立运动方程,now……x’’,y’’,theta’’35注意:定轴转动中轴方向没变,非定轴转动的运动方程?......还是平面运动么?.....36刚体转动定律:作用于刚体上的外力对转轴的力矩之和，等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积若为恒量若作用于刚体的外力对某轴的力矩为零，则刚体对该轴的角动量守恒。刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体转动定律质心运动定理m是物体平动时惯性大小的量度，I是物体转动时惯性大小的量度，因此称为转动惯量讨论37例：图示为放水用的弧形闸门，半径为R，质量为m，重心C距转轴o的距离为，对o轴的转动惯量为

,开始提升闸门时,弧形部分加速度，求此时的拉力T和支撑力N（不计摩擦）yNo(z)mgCxTa38解：研究对象：弧形闸门和钢架由转动定理：由质心运动定理：yNo(z)mgCxTa建立坐标系：z轴垂直纸面指向读者刚启动瞬间，闸门质心速度为零，向心加速度为零得到基点选……初始状态:位置+角速度etc3940例、杂技演员M、N的质量均为m。均匀细跷板长l，质量为m′,支撑于中点o,若M从高h自由下落与板作完全非弹性碰撞，求N可弹的高度。解：取演员M、N

和跷板为系统，以通过o点轴为转轴，演员M与跷板碰撞的过程，系统角动量守恒（为什么？）41碰撞前碰撞后式中为碰撞后演员和跷板c的角速度，u

为碰撞后演员M、N

的线速度，由角动量守恒解得所以演员达到高度碰撞后初始速度离开跷板?42i、力矩的功

下面我们来研究定轴转动刚体在外力作用下转动情况下,对刚体所做的功。

分解为：§7.4刚体定轴转动的动能定理

力矩的功:刚体定轴转动，力所做的功等于该力对转轴的力矩对角坐标的积分。对z

轴的力矩xoy43由质点系动能定理知：ii.刚体定轴转动的动能定理应用于定轴转动刚体：而因此，刚体绕定轴转动时，转动动能的增量等于刚体所受外力矩做功的代数和刚体定轴转动的动能定理注意：刚体内一切内力做功之和等于零，无论刚体作何运动，都成立。无形变……内部势能没变化44iii.

刚体的重力势能刚体的重力势能：刚体与地球共有的重力势能，等于各质元重力势能之和：由上式知：刚体重力势能决定于刚体重心距势能零点的高度，与刚体的方位无关，与刚体运动形式无关。xyoCyC45例：如图所示，滑轮为匀质圆柱，质量为m1，半径为R;质量为m2的重物由静止下落h，求重物下落

h

后的速度m1,Rm2haαTTm2gR解法1：隔离滑轮和重物，受力、运动情况如图,α=a/R.据转动定理：据牛二定律：46①+②，可求得设重物落下h后的速度为v

解法2：把滑轮、重物视为一个系统，滑轮角速度ω=v/R在下落过程中只有重力做功，由质点系动能定理：47例：长为L、质量为m的匀质细杆从水平位置开始释放，求杆到铅直位置时端点的速度及杆对光滑支点的作用力

NoCaCvm,Lmg解：设在铅直位置时端点的速度为v杆的角速度ω=v/L，由平行轴定理可求得杆的转动惯量：由机械能守恒：

的方向向左48在铅直位置，外力矩为零，因而角加速度为零据质心定理：由牛三定律，杆对光滑支点的作用力N‘=-N，方向竖直向下。支撑力N的方向向上还是角度/位置关系给出49§7.5刚体平面运动的动力学xyox'y'Ci、刚体平面运动的基本动力学方程

运动学中，刚体平面运动视作随任意选定基点的平动和绕基点轴的转动.

动力学中，基点常选取在质心上，方便使用质心运动定理和对质心轴的角动量定理.

50动力学方程：

(1)O系中运用质心运动定理：

（1）分量：

（2）(2)在C系中应用刚体对z’

轴的角动量定理：

作用于刚体各力对质心轴的合外力矩和等于刚体对该轴的转动惯量与刚体角加速度的乘积刚体对质心的转动定理:刚体平面运动的基本动力学方程（1）+（2）51ii、作用于刚体上的力

FACFBa.

作用在刚体上的力是滑移矢量作用在刚体上的力可产生两种效果：一是使刚体产生随质心的平动加速度，二是使刚体产生绕质心的角加速度。在示意图中，将力沿着力的作用线由A点滑移到B点，并不改变力对刚体的两种作用效果。

作用在刚体上的力可以沿力的作用线任意滑动52因此：对于刚体，力的三要素：大小，方向，作用线。

b．力偶和力偶矩

力偶：大小相等方向相反彼此平行的一对力。力偶作用效果：力偶不改变质心的运动状态，只改变刚体的转动状态。力偶矩:力偶对任一点o

的力矩表示的方向垂直纸面向外；d

表示力偶之间的距离。

F-Fr1r2r21o531.5N1.5N0.2m3N3N0.1m

特点：⑴

力偶矩方向与力偶作用面垂直，二力与力偶矩方向构成右手螺旋系；大小等于两力间距离与力的乘积⑵

力偶矩的大小、方向与参考点o无关

⑶凡是力偶矩相等的力偶，对刚体作用效果完全相同54c．力的平移定理

考虑到作用在刚体上的力的两种效果和力偶矩的概念，我们可以把作用在刚体上的力平移到质心再附加一力偶矩FCCF55例：如图所示，圆柱体的质量为m，半径为R，在倾角为α的斜面上作无滑滚动，求质心加速度和静摩擦力

acfNαCαmg解：圆柱体受力及运动情况如图所示由于只滚不滑，所以由质心定理：对质心轴应用转动定理：由①②解得：56例：如图示，已知汽车质量为m，前后轮距离为L，质心距前轮距离为l，高为h，轮子与地之间的滑动摩擦系数为μ，求汽车刹车时，前后轮对地面的压力是多少？aclhmgf1f2N1N2CL解：刹车时，轮子不再转动，整个汽车做二维平动，车受力如图所示。应用质心定理：57建立质心参考系，以质心为轴，应用转动定理：由①③求得：⑴对前轮或后轮支点，是否可应用转动定理？

⑵若车静止，则据牛三定律，前后轮对地的压力大小分别为N1,N2，方向向下。讨论：58iii.

刚体平面运动的动能克尼希定理刚体平面运动的动能=刚体随质心的平动动能

+刚体绕质心的转动动能对于刚体平面运动，动能定理表现为：

59例：质量为m，半径为R的圆柱在高为h的斜面顶端由静止开始无滑滚下，求滚到斜面底端时质心的速率

解：在无滑滚动条件下，只有重力做功，因此可以应用动能定理或机械能守恒定律求解：hNfmg60§7.6刚体的平衡i.刚体的平衡方程(a)刚体在平面力系作用下平衡的充分必要条件：

z

轴是过任一点O垂直于刚体平面的转轴。

确定刚体平面运动的位置只需3个独立变量61

(b)刚体平衡方程的等价形式：

（1）(连线不与x轴垂直)xoo'Foo'与x轴不正交,若正交,如图示,力虽然满足3个方程，但刚体并不平衡（2）(三点不共线)oo'Fo"o,o',o"不共线。若共线，如图示,力虽然满足3个方程，但刚体并不平衡62ii.杆的受力特点

铰链连接：杆套在一个被称为铰销的圆柱体上，杆可绕圆柱体转动。铰销对杆的作用力可简化为过铰销中心（节点）的一个力和对节点的摩擦力矩。代表外界施加给杆的负荷，为杆的自重。QWABFAFBMAMB63则杆仅受到过节点的两个力的作用，在平衡状态下，这两个力等大、反向、作用在两节点连线上如果满足下面2个条件：①铰销光滑（）②没有外界负荷或负荷过节点,且杆的自重可忽略或过节点FAFBQWABFAFBMAMB64例题：如图示，A、B、C

处均为光滑铰链连接，两个杆的质量可忽略,外界负荷F=100N,其余条件如图示,求直角弯杆在B点和C点受的力，ACD

杆在A点受的力ABCFBFCFC'Fxy0.5m0.5m0.5mDFA解：设杆A点受力为FA,方向待求，作用在直角弯杆上的两个力FB