高考数学精品预测卷05（解析版）

预测卷0517．四边形为圆内接四边形，，．（1）若，求；（2）若，求四边形的面积．【解答】解：（1）在圆内接四边形中，，由余弦定理得，故，再根据，解得．由于四边形为圆内接四边形，故，所以．在中，由余弦定理得，即，所以，．（2）设，在与中，分别由余弦定理得，，又由于，即，解得，即得．故，．18．设数列的前n项和为，且满足(n∈N*).(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前2n项和为，若不等式对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围.【解答】(1)由题意，n=1时，，n≥2时，，所以，即，∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，∴.(2)由（1）,,当n为奇数时，,设数列的前2n项中奇数项的和为，所以,设数列的前2n项中偶数项的和为，所以,,两式相减得：，整理得：，故，∴，∴不等式对一切n∈N*恒成立，即不等式对一切n∈N*恒成立，易知为递增数列，∴当n为偶数时，，当n为奇数时，，故，所以λ的取值范围为.19．如图，四棱柱，底面是平行四边形，，，，，为的中点．（1）求证：；（2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．【解答】（1）证明：在中，，由余弦定理得，，所以，所以，又因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以．（2）解：因为，，，，平面，所以平面，因为，，所以为二面角的平面角，所以，在△中，，所以．取的中点，连接，则，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，取，因为，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．20．安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是、选择餐厅乙就餐的概率为，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是、选择餐厅甲就餐的概率也为，如此往复．假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择甲餐厅就餐的概率为．（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求的分布列，并求；（2）请写出与的递推关系；（3）求数列的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由．【解答】解：（1）第二天选择类套餐的概率，第二天选择类套餐的概率，记3人在第二天的有个人选择套餐，的所有可能取值为0，1，2，3，则，故的分布列为：0123故．（2）依题意，，即．（3）．，当时，可得，数列是首项为公比为的等比数列．，即第30次以后购头套餐的概率约为，负责套餐的8人，负责套餐的12人．21．已知椭圆的右焦点为，点，分别为右顶点和上顶点，点为坐标原点，，的面积为，其中为的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点异于坐标轴的直线与交于，两点，射线，分别与圆交于，两点，记直线和直线的斜率分别为，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1），，，，，联立可得，，椭圆的方程为．（2）设点，，，，，，则点，，由题意得，，在椭圆上，，则，，，设直线的方程为，则直线的方程为，联立，消得，由、在椭圆上，，，，联立，消得，由点，在圆上，，，同理，，，，为定值．22．已知．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围．【解答】解：（1）（1分）①当时，知时，，单调递减；时，．单调递增．的单调递减区间为，单调递增区间为．（3分）②当时，令，得，．（ⅰ），即时，．在上单调递增．（4分）（ⅱ），即时，在，单调递增，在，单调递减，在单调递增．（5分）（ⅲ），即时，在单调递增，在，单调递减，在，单调递增．（6分）（2）．（7分）①当时，，在单调递增，无零点．（8分）