2022高考数学（文）一轮通用版讲义：1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

PAGE8第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

一、基础知识批注——理解深一点1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题eq\一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可2．四种命题及其相互关系

3．充分条件、必要条件与充要条件1如果≤1，则2－2＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是A．①② B．②③C．④ D．①②③[解析]①原命题的逆命题为“若，y互为倒数，则y＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．[答案]D[解题技法]1．由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．

2．判断命题真假的2种方法直接判断判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可间接判断根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假[提醒]1对于不是“若，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则eq\fπ,2<θ<π，则cosθ<0，则m·n<0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|<0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件．\a\vs4\al[等价转化法]“y≠1”是“≠1或y≠1”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A设≤≤1＋m}．若∈的取值范围是________．[解析]由2－8－20≤0，得－2≤≤10，所以≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，所以0≤m≤3所以当0≤m≤3时，∈的取值范围是[0,3]．[答案][0,3]

[变透练清]\a\vs4\al[变结论]若本例条件不变，问是否存在实数m，使∈＝－2，1＋m＝10，解得eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1m＝3，m＝9，即不存在实数m，使∈的取值范围．解：由例题知,1＋m]．∴eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co11－m≤－2，,1＋m>10或eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co11－m<－2，,1＋m≥10∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞．

[解题技法]根据充分、必要条件求参数范围的方法1解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式组求解．2求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．eq\a\vs4\al[课时跟踪检测]

1．已知命题>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是A．m>eq\f1,4 B．0<m<1C．m>0 D．m>1解析：选C若不等式2－＋m>0在R上恒成立，则Δ＝－12－4m<0，解得m>eq\f1,4，因此当不等式2－＋m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>09．在△ABC中，“A＝B”是“tanA＝tanB”的________条件．解析：由A＝B，得tanA＝tanB，反之，若tanA＝tanB，则A＝B＋π，∈Z∵0＜A＜π，0<B<π，∴A＝B，故“A＝B”是“tanA＝tanB”的充要条件．答案：充要10．在命题“若m＞－n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则－32>－22，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3答案：311．已知>0，若的取值范围为________．解析：因为≤0，解得m≥3又>0，解得m<8故实数m的取值范围为[3,8．答案：[3,812．2022·齐鲁名校调研给出下列说法：①“若＋y＝eq\fπ,2，则sin＝cosy”的逆命题是假命题；②“在△ABC中，sinB>sinC是B>C的充要条件”是真命题；③“a＝1”是“直线－ay＝0与直线＋ay＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若<－1，则2－2－3>0”的否命题为“若≥－1，则2－2－3≤0”．以上说法正确的是________填序号．解析：对于①，“若＋y＝eq\fπ,2，则sin＝cosy”的逆命题是“若sin＝cosy，则＋y＝eq\fπ,2”，当＝0，y＝eq\f3π,2时，有sin＝cosy成立，但＋y＝eq\f3π,2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sinB>sinC⇔b>c⇔B>C，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线－ay＝0与直线＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④13．写出命题“已知a，b∈R，若关于的不等式2＋a＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：1逆命题：已知a，b∈