配套理论力学

1章汇交力系

1篇静力学2章平面力系 （2（33章空间力系2篇运动学4章5章6章7章3篇动力学8章动量定理9章10章动能定理 第11章用牛顿定律推导动力学主要定理12章131系等3章内容。1章汇交力系1.1-1aFN1.1-1bFA、FBxFCy等竖直向上的约束力FN。1.1-1b中，杆和A点处的棱角不FCy1.1-2所示，CD板固定不动，其内刻有光滑导槽，ABB端焊接的光滑销钉插在导槽内。ABAF作用，B端销钉受到导槽约束力FN作用，约束力FN垂直于导槽内壁，指向销钉。 对物体的约束力沿绳索直线而背离物体。在图1.1-3a中，三根细绳吊起重物，细绳节点C受力如图b所示。在图1.1-4中，皮带对大、小带轮的约束力都是沿轮缘切线方向的拉力。图1.1-4 常见的轴承有滑动轴承（1.1-5a：滑动轴承及支座）和滚动轴承（1.1-5b、c：滚因素A处光滑接触时（1.1-6a，由于都是刚体，A点为两个内切O。不论是滑动轴承还是滚动轴承（这里指圆柱滚子轴承、球轴承等x、y轴上的两个未知分力表示（1.1-6b：滑动轴承、滚动轴承等对轴的约束力简化画法。 1.1-7a/b所示（ab：装配图简化画法12、铰链销钉、支座等组成。A、B两个铰链固定整个系统，称为固定A1.1-7c所示。铰链约束等同于滑动轴承约束：只限制构件沿铰11.1-7dFCx的正方向也可以假定为水平向左（如果用后续章节的理论求出FCx为负数，说明实际方向与图示假设方向相反。同理，FCy、FAx、FAy等未 1.1-8aA就是滑动铰支座，它是在固定铰支座与光滑支持面之间安装了一排滚轮，所以也叫滚动铰支座，实物模型如图1.1-8b所示。滑动铰支座可沿支持面左右而不至于产生伸缩受阻内力，所以这里的滑动铰支座A不能用固定铰支座替代。滑动铰支 1.1-9a中，A端为固定铰支座（1.1-9c所示，1铰销；3：AB杆）BAB杆的作用力FNB垂直于支持面（斜面），ABE（EAB杆的一部分ECD杆导槽内，属于光滑导槽约束，导槽对销钉E的作用力FE⊥CD杆轴线。11.1-9bABECD杆上，那么AB杆的受力情况是否会改变？ 的约束力经过球壳的球心点，但方向不定，是一个空间力，可用FBx、FBy和FBz三个正交分/c及约束力如图1.1-11c所示。 1.1-21.1-12aOABBF作用（B点B点在xoy平面内的投影。试画出构件OAB受到的力。O端受止推轴承约束（1.1-12b，O端所受未知力有三个分量；构件在FAy的正方向先随便假设：可以沿坐标轴的正方向，也可以沿坐标轴负方向（如果用后续章节的理论求出FAx、FAy等为负数，说明实际方向与图示假定方向相反。BDCCEC处的销钉孔后内插C销钉。C铰放大1.1-13b所示，1C铰销钉，2CE杆，3BD杆，C铰是圆柱铰链。BDD1.1-13c所示，1DA杆，2D铰销钉，3DB杆，D铰也是圆柱铰链；BD杆B端为滑动铰支座，受力竖直向上。 动力。（12.4节）1作用力与反作用力定律（定律等同于公理。该公理由牛顿首先提出，也叫牛顿1.2-11.2-1am1gm2g1、2 公理2力的遵守平行四边形矢量法则。作用在物体上同一点处[1]的两个力，1.2-1n个力（n≥2n个力的作用线是否在同 FOAFOBFOC（OA是平行四边形OBAC的对角线 FOBFODFOE（OB是平行四边ODBE的对角线 FOAFODFOEFOCFFxiFyjFzkRtOADODOAcosFxFcosFyFcosFzFcos[1]注解，当物体之间产生相互作用力时，其接触部位是一个或大或小的接触面，不可能是一个几何点。如ODOBcosOAcoscosFxFxycosFcosFyFcossinFzFsinF1F1xij， F2F2xiF2yjF2z FnFnxiFnyj n nFRFiFix)iFiyjFiz)k 次等于各力在y轴上的分量和、z轴上的分量和。图1.2-2 3二力平衡条件：作用效果相互抵消。如果一个物体在两个力作用下处于平衡状、2C铰处的相互作用力是作用力与反作用力关系：等大、反向、共线，分别作用在两个不同的物体上，由此得到拱2的受力图1.2-3c。1.2-3a11.2-4a中，BCD曲杆也是二力构件（杆重不计。重量图1.2-4a/b中，BCD杆受力依次如图1.2-4c/d所示。倍、1000倍等，这时完全可以忽略构件自重这一次要因素；如果他们之间差距不大，就不能忽略构件自重 1.2-5a中，BD杆、CE1.2-5a中，BD杆、CE同理，CEAB杆的作用力和它对DH杆的作用力也用同一个力学符号FCE表示。方向 1.2-5bAB、CEBCDD处受到圆柱铰链约束，BCD及HD杆受力依次如图1.2-5e/f所示，其中力FAB方向 4加减平衡力系原理。在已知力系上增加或减去任意一个平衡力系，都不改变原 力是滑动矢量力可以沿作用线滑动，而不改变对刚体的作用效果 推理1.2-3汇交力系可以为一个力作用在物体上的n个力（n≥2），如果它们 1.2-3可知，物体在汇交力系作用下的平衡条件是：合力为零。这里的汇交力系1.2-3在图1.2-8a中，杆AC、BC铰接于C。C铰销钉受到的力F1=200N、F2=400N、F3=2000N，各力都在△ABC平面内，求杆件AC、BC受到的力（各杆自重都不计。分析F1、F2、F3都作用C铰销钉上，并没有直接作用在AC杆或BCAC杆、BC杆都只受两端铰销的作用力，它们都是二力杆，两杆受力的作用线都与各杆自身轴求解结果是负值，说明力的实际方向与原假设方向相反。C铰受力如图b所示，力是滑动矢F0Fix0F sin45 sin30 sin45 F

Fy y

0

cos45F

2

cos30F

cos453带入数据并求解得：FAC=2216.9N、FBC-149.5N<0，说明该力实际方向与图示假设方向相反（BC杆实际上处于受拉状态。 1.2-41.2-9aA、BAB铰接，靠在光滑墙角处（不考虑=3kNA1212章12.3 i 0Fix0FABcosi 0F0 sin30mg i 0Fix0FNBi 0F0 sin30Fmg Fsin75cos30。AF Fcos75F

cos75 Fiy0FAsin75cos30 sin75cos30 cos15 F FFF

sin30FBFn

sin30Csin15P =1.2-4如果物体在三个力作用下处于受力平衡状态，其中两个1.2-11a所示系统中，ABF、二力杆DB的支持FBA铰销对杆的约束FA，其中两FFB的作E点，根据三力平衡汇交定理，则第三个力FA的作用线必经过汇交点E。bE点成为轻质薄板上的一点，焊接或状态，而且都没有感状态，而且都没有感觉及知觉。（图b）力是滑动矢量，将力F、合F1、F2O点F1、F2O处并为一个力F12c所示物体也等效于在两个力（F3、F12）作用下受力平衡，这两个力必然相互抵消：等大、反向、共线。 1如果物体受到三个力作用，其中两个力汇交于一点，那么第三个力一定经过5刚化公理。如果把受力平衡状态下的变形体（在外力作用下形状会改变的物体）55实际上把静力学理论的应用范围扩大力关系（等大、反向、共线1.2-解各系统整体受力依次如图1.2-12a/b所示。 a、baaxiayjazkbbxibyjbzk1.3-1 矢量a、babaxbxaybyazbz ababcosaxbxayby 证明如图1.3-1所示，设△OAB中各边长度依次为：a、b、cc2a2b22abcos证明如图1.3-1所示，设△OAB中各边长度依次为：a、b、cc2a2b22abcos，其中a2a2a2a2b2b2b2b2c2ba2ba2ba2 ajax0ay1az0 如果矢量a、b相互垂直，则ab0ab0ab 点乘运算满换率和分配率：abba，a(bc)abac矢量叉乘定

ab

az(aybzazby)i(axbzazbx)j(axbyaybx)k

5.5.乘义dabab正方向之间夹角为（图1.3-1），则有：1） dabsin；2）矢量的方向：da、db，d的方向由右手螺旋法则确定（1.3-2 也可以这样解释右手螺旋法则，伸出手，让叉乘运算（ab）中的第一个矢量（a）迎面穿过手心、四指指向第二个矢量（b）的方向，则大拇指指向即为叉乘结果的方向。dabsin。由式（1.3-2）d (abab)2(abab)2(abab) y z x z x y而absin a2b2(abcos)2，其中a2a2a2a2、b2b2b2b2 abcosababaa x y zzabsin (aybzazby2axbzazbx2axbyaybx2d，证毕 证明da、db。dada0dbdb0（证明略 dab所在平面的法向矢量，平面只有两个法向。例如在坐标系Oxyz ij=1 kjkikij6.矢量叉乘的主要性 性质叉乘满足分配率但不 换率：a(bc)abac；ab(ba) 1.3-1矢量ab，证明：a(ba)ab，a(ab)ab（1节、5.1节、9.1 分析 证明1.3-3所示，设dba，则矢量d的模为dab，而且dadb 大小：ada ad a2b。同理，可以证明a(ab)a2b 例1.3-2在图1.3-4A、C是空间内的两个固定点，直线l的方程为：xxo

y

zzoa、b、c，x、y、zDl 连线构成的线段矢量为：连线构成的线段矢量为：(xxo)iyyojzzo)kl经过点（xo，yo，z，点（xo，yo，zo与直l上任意一点（x，y，z）

在各 各

应的矢量为(aibjck)DADBBA，DAACDBACBAAC (DAAC)(aibjck)(DBAC)(aibjck)(BAAC)(aibjck l的正方向矢量为(aibjckDB，DBAC DB，也垂直于矢量(aibjck，所以(DBACaibjck)0 bω1，求右半部分BB1D绕从动轴2（OD轴）转动的角速度ω2。（万向节中心（d）：左COy1轴，两轴CO、OD所在平y1z1平面，x1轴垂y1z1平面。图示时刻臂AA1、BB1刚好与固定坐标系的z1轴、x1轴重合，并以该位置为万 D

OA方向单位矢量为：OAsin1icos1k，其中11t。矢量rOB的方向由ODOA决是求出轴2转速ω2。 1sin21sin2cos21

rOB

(coscos1isinsin1jcossin1k cosr

cossi rxB OB vBx 3/2OB1sin2cos2sin 1sin2cos2sin cos2sincoy

rOB1 OB 1sin2cos2 cos

3/(1sincos1 cos3co

r1sin2cos1sin2cos2 v21

(1sin2cos2)3/2OB

22 111sin2cos21 分析方2（坐标变换法）如图d/f所示，再建2y12所在平面yz平面，建立固Ox2y2z2。系统运动B点绕2转动，即Bx2Oz2平面内作圆周运动；A点绕轴1转动，即Ax1Oz1平面内，θ2x2Oz2A、B两点经坐标变换归入同一个坐标定坐标系Ox1y1z1Ox2y2z2。运动A点在x1Oz1平面内作圆周运动，B点在x2Oz2平面内作圆周运动。坐标系Ox1y1z1x1αOx2y2z2，参照图g，变换关系为：

1z

sin sin

2

1 2 rOArOAsin1irOAcos1 B点在坐Ox2y2z2中的坐标：（rOBcos2，0，rOBsin2），带入式（1）B点在 rOBrOBcos2irOBsincos2jrOBcossin2 运动过OA⊥OBrOArOB0，将式（2（3）带入并整理tan1cos 该式对时间求导数得：sec21cossec2 1cos 转θ1的函数，其波动范围为[ω1cosα，ω1/cosα]，这种波动性会造成机器时快时慢地工作 ，力F1 F1FAB之间的关系；再以B铰销为研究对象，求出力FABF2之间的关系。 解1）研究对象： F0F0Fsin54Fcos i Fsin30Fsin300F0F0 i 式（1（2）联立得F10.71F2=0，求个未知力的作用线上，再对x轴列方程（∑Fix=0）即可求出待求力。A销钉Fix0FABcos(6)FCAsinF1sin(54)0Fiy0FABsin(6)FCAcosF1cos(54)sin(84)sin(24)os(24)联立求解得：FABF1sinsin(84)sin(24)os(24)B销钉Fix0Fiy0

)FDB

F2sin(54)2cos(54)联立求解得：FABF2sin30/sin60，FDBF2sin30/sin60 由式①、②得：F1=0.71F2。∑Fiz=0为xy平面内的未知力在z轴上没有分量。DG的连线与钢板面垂直，尺寸（单位：m 图1.4-3解法解法2：（1.4-2c）以力系汇交点D为坐标原点、△BDC所在平面为xy△BDC，求出未知力FA。再由一般坐标系（1.4-2b：∑Fix=0、∑Fiy=0求出未知力FB、FC。1、的大小也已知，求力3、的大F1、

F4cos(,4F3cos(,F1cos(F1,n4)F2cos(F2,n4)[1]，FF1cos(F1,n3)F2cos(F2,n3)3F3n4 F1 F2n4 (F1F2F3F4)n3 F1n3F2n3F4n3 n4 (FFFF) FABF1FCA FABF1FCA0(FABF1FCA)nCA ，nDB⊥FDBFABcos(1809060)F2cos(9030) FABF2FDB0(FABF2FDB)nDBFABcos(1806)F1cos36 式（1（2）F1的方向都已知，力F1、F2的大小也已知，求力F3、F4、F5的大 BD1.2i1.2j2.4k，FBFB(ij2k)/； F2 F2F4F5 F4F5[2] F3F5 F3F4，则有 ) 0 (FFFFF) 0F F F 0F 1 2 4 (F1F2F3F4F5)n34 F1n34F2n34F5n340F5 [2]F4FF 1.4-31 FAFBFCP ADAD1.2j2.4k，FA FA(j2k) CD1.2i1.2j2.4k，FCFC(ij2k) nBDCBDDC2.88(2jk)，用矢量nBDC点乘式（1） FCFB2.256KNFBnADCPnADC0FB2.256KN nADCADDC1.44(4i2jk)，用矢量nADC点乘式（1）FAnBDCPnBDC FA4.55KN 注解FAnBDCFAxnBDCxFAynBDCyFAznBDCz，其他矢量间点乘运算以此类推];%AD=D- %矢量syms %定义符号 %力FA的表达式，FAD是未知数，它表示力FA的大BD=D- %矢量syms %定义符号 %力FB的表达式，FBD是未知数，它表示力FBCD=D- %矢量syms %定义符号 %力FC的表达式，FCD是未知数，它表示力FCP=[0,0,-18];%力PnBDC=cross(BD,CD); %cross函数求解两矢量之间的叉乘积E1=dot(FA,nBDC)+dot(P,nBDC); %dot函数求解两矢量之间的点乘积 nADC=cross(AD,CD); E2=dot(FB,nADC)+dot(P,nADC); 求方程E2=0的根，求出的结果赋值给变量FA4.55FB2.25622-1a所示，对该力系最直观的简化方法就是平移其中的每个力，将其转化为平面汇交力系（2-1b），再。但是进一步研究表明，力只是滑动矢量，力离2-1a/b所示力系，为了让两者对 2//3）反向、共线：图2.1-1c）；同理，两个反向平行力F2、F3也可以为一个力，合力F23与力力F1构成平衡力（图2.1-1d。两个平行力是怎 的 FTB2.1-2b）2.1-2a/b两力系等效。汇交力系可以为一2.1-2b/c/d/e/fF1、F2的合力为F12（该图被习题21） a~（F1//F2 1、攻螺纹（图2.1-4b、电转子在磁场中加速转动（图2.1-4c）等，都存在力偶。 底边、另一个力的作用点为顶点的三角形（图2.1-5b中阴影三角形）面积的2倍。 力组成的力偶作用效果可以相同？（可参考图2.1-7b~h） ））8b~e（ 或表示，逆时针力偶用符号或表示。[1注解，按道理说，既然是等效变换，力偶在变换前后对物体的作用效果（力偶矩）32.1-8b~dM1FdGG1HH1，M2F2d2GG2HH2M1M2GG1HH1GG2HH2，这里提供两种思路（过程略 12GGGHHH（提示，点G、H、H、H四点共圆1 21GG1HH1GG2HH2GG1H（2.1-8g）与GG2H哪种情况，F1PG1F力时，合力矢PP2PQ左下方阴影区域内；同理，矢量1F1QH1F力时，合力矢2只 1在力偶等效变换过程中，力和力臂都可以在力偶作用面内任意改变大小，还可为为力偶的力臂重合、力的作用点也重合（力偶的力臂重合、力的作用点也重合（ 2.1-9b：M1=F1d、M2=F2d。对两对共点力进行成：成：F12=F1-F2（图2.1-9c）⇒M12=M1-M2（图2.1-9d评论既然同一平面内的两个力偶可以为一个力偶，那么多个力偶也可以为一螺钉的“拧劲儿”等于力乘以O点到力作用线之间的垂直距离（Fd 平面2.1-10b所示OF作用AB之间的垂直距离d，则力F对点O的力矩为：O称为矩心点或矩心，dMO(F)FOMO(F)FO点的力矩。由于本章是在力矩作用面（力作用线与图让物体绕矩心点顺时针转动的力矩称为顺时针力矩；反之，就称为逆时针力矩。图2.1-10a/b所示力矩分别为顺时针力矩和逆时针力矩。平面力矩也有正负之分，如果假定顺时针 2.1-12aFA、B铰的力矩分别为：MA(F)=FhA，MB(F)=-FhBhBFFx、Fy两个分力（图2.1-12a/bMA(FFcosbMB(F)FcosbFsina。 定理2.1-2身。这称为力偶与力矩之间的关系定理。（2.2节了该定理2.1-13aF1、F2MO为力偶作用面内的任意一点，过O点作力F1、F2的垂线，垂足分别为点A、B。姑且假定逆时针力矩为正力矩，那么力偶中的两个力对O点力矩的代数和为：MO(F1)MO(F2)F1OAF2OBF1(OBOA)F1ABNm。力矩的作用效果是让物体2.1-3FM（M的力偶）构成的平面力系包含三个力，这三个力可以为一个力F'，合力F'与力F大小相等、同向平行，两平行线之间垂直距2.1-14aFM共同作用，现简化该力系。平移、b，MA(F'这对平衡力（F"、F）得到力F'（第2.2、2.6、3.2 对于同一平面内的两个力，只要不构成力偶，都可以为一个力。物体不可能 。工件用圆柱销A 。工件用圆柱销A、B固定，求A、B销对工件的约束力为一个力偶，于是工件在两个力（FNA、FNB）与一个力偶（合力偶）的共同作用下处于FNA、FNB就能为一个力，物体就等效于在一个，1a简化为对称面内的平面力系（b 2.2-1力离开作用线平行移动时，为保证作用效果不变，需要附加一个力偶，附加FF′B(F。证毕 刚体而言力是滑动矢量，但不是矢量。O处，它对圆轮的加速转动效应就丢失了，所以要附加一个力偶以弥补这种加速转动效应。根据力线平移定理，附加力偶的力偶矩为M=Fr（，图。 力平移时要附加一个力偶，力偶会让物体转动，所以力平移前与平移后相比，后2.2-1求解习题2-1。2.1-2a2.2-4a所示，设两力作用点连线与水平线（b。平移F1时需附加一个力偶（否则杠杆将不再平衡），附加力偶的力偶M1等于F1B的力矩：M1=MB(F1)=F1|BC|F1|AB|cosθ（b所示力系包含一个力和一个力偶，根据定理2.1-3，该力系可以简化为一个力（b/c）， 思考题2如何证明两个反向平行力 思考题2如何证明两个反向平行力 如图2.2-5a（3.1节了本图）所示，设某平面力系包含四个力，现简化该力系。在平面内任取一点O作力系简化点，并建立坐标系Oxy。平移力系中的每个力，使各力作用c和一个附加力偶系（2.2-5b。根据力线平移定理，各力对应附加力偶的力偶矩依次等于 R F'F'F'F'F'FFFFF MOM1M2M3M4MO(F1)MO(F2)MO(F3)MO(F4)MO(Fi 明简化点，例如，符号MO表示力系向O点简化时的主矩。终简化F（c/d，F=FR，MO(F)=MO，即FO点的力矩等MO，从数学角度来看，MO(F)=MO(FR)FF为原力系的合力，合力F平行且等于主矢力FR，两力作用线之间垂直距离d=MO/FR。2.2-5a\b\c可知，平面力系简化结果有以下几种情况：O；（22.2-22.2-6a所示平面力系中，F1=8N、F2=30N、F3=10N、F4F5=18N，图中长（2 2a FRxFcos53Fcos37Fcos4211.71N Fsin53Fsin37Fsin42 F2F FR 21.27N，FR方向角（图barctan(FRyFF2F MOF1sin532.1F2sin372.8F3sin422.5F3cos422.2F4=56.58MFR≠0、MO≠0，继续简化（定理2.1-3）得力系合力F（图b/c，d=MO/FR=0.69mb/c中，F=FR，MO(F)=MOFOMO。根据合设力F作用点即H点的坐标为H(x，y)，则有：MO(F)=MOFRx|y|+|FRy||x| -11.71y-17.75x因此，合力作用线对应的直线方程为：-11.71y-17.75x=14.69。处于平衡状态的物体，它所受力系向平面内任意一点（A点）简化时主矢、主矩一定都等于零，即：FRx=∑Fix=0、FRy=∑Fiy=0、∑MA(Fi)=0。（520、12（520、12ABG在杆中点处。AB杆处于受力平衡状态，其所受力系向

FBFDFAsin F

GFcos 1212

(F)

B B

BDG ABsinFAADFFsin(180902 sin(

sin2

sin(

式（1（2（4）联立FA

N，FB200200

NFD753N125125 被习题被习题616、12 分析AB杆受力 ，其中FA力沿半径指向圆心，FD⊥AB。AB杆处于受力平衡 F Fsin2GFcos M(F) GACcosFAD0 AB杆受力，该平衡力系向任意一点（A点）简化，主矢、主矩都为代数和即为力FB对A点的力矩。解研究对象：AB杆，受力，ΣFix=0、ΣFiy=0、ΣMA(Fi)=0，即FAFBsin GFcos sinFsinABcosFcosABsin0 式（3）0.5GsinFBsin(αθ之间几何关系：1.2sin

式（1（2（4（5）联立求解得[1]：θ=59.39°，α=40.20°，FA=0.85G，FB=1.31G.评论 syms 均布载荷的集度[2]q=8kN/m，a=1m。求支座A、B对水平梁的约束力。AB受力如图b所示，该力系为平衡力系，力系向A铰简化，主矢、主矩都为零。 M(FM(F)

MF3a 2aqaMF3a 2aqa0.5a

2.2-10aDAa，重Q，那么它对梁的压力就形成了一个集度/a的均布载荷。载荷集度反映了载荷分 梯形载荷（2.2-11c）2.2-11d所示：ABAB板受到的压力（空间力系）简化为竖直对称面内的平面力系（梯形载荷2.2-11c\d\e所示，梯形载荷的合力等于下层矩形载荷的合力Q1加上上层三角形载荷的合力Q2，Q1 2.2-72.2-12aH保持恒定值：H超过设定值时ABOB端排出；H低于设定值时AB自Oa=0.45m，L=1m，AB在垂直纸面方向上b（图b），不计自重，求水深H的设定值。 12b，O 平面力系，该平面力系在水深 位置处的载荷集qlimg(hy)(b

Q1h有关，Q2是常量，与水深无关（。Q1、Q2O铰分别形成顺时针力矩和逆时针力矩，控制的开启与闭合。 QqLghbL，Q0.5(qq)L QqLghbL，Q0.5(qq)L0.5gL2b 2HhL2.17m3221 M(F)0Q(La1L)Q(a1L)在平面力系作用下，物体处于受力平衡状态的充要条件是：对作用面内任意一个简化点（如O点FR

F M(F) 11际上只是将力系向平面内“任意一点”中的某一个点（O点）简化，令主矢、主O点简化后主矢、主矩A点、B点简化时主矢不时主矩是一个与简化点位置无关的常量（33.2节给出数学证明。因此，AB点主矩不相等（一处为零、另一处不为零）的情况。MA(Fi)

(F)

即为力系合力（图2.3-1）；同理，式(2)⇒力系向B点简化时如果主矢FR≠0，那么简化点位置无关，式(1)、(2)⇒如果力系主矢FR≠0，那么力系的合力作用线必同时经过A MA(Fi) BBCC

(Fi)(Fi)

例2.3-1在图2.3-2a中，边长a=1m的匀质等边三角形钢板ABC在竖直平面内。AD、BECGABC MA(Fi) M(F)

FCsin60aP0.5aF0.75aMFsin60aFsin300.5aM

M(F)

Fsin60aP0.5aFsin300.5aM3A 3A3带入数据求解得：FA3

kN，FB

33kN，FC 状态。即便没有制造或安装误差，仍有可能存在温升阻力（AB杆由于热胀冷缩受阻产生内力A、BB端改为滑动铰支座（2.3-3b），则制造误差、热胀冷缩等因素都不会产生杆件内力。 2.3-4g所示（CD1mm误差，就会产生装配内力，所以是超静定问题。另外，从未知数数量 （习题1222了本例题 F

Fsin40 M(F)

M

F

Fsin40 M(F)

M

sin40

式（3（6）联立求解得2M1Msin40AECEM1sin240413.2Nm[1]注解，“求力偶M2的大小”，这种说法不严谨。力偶是1=1000求铰链B、C、D对平台BD的支持力。（本题目被例题2.53、习题1223 杆HD或系统整体等列平衡方程。FDy），列四个方程：ΣFix=0、ΣFiy=0、ΣMB(Fi)=0、ΣMD(Fi)=0，联立求解即可ΣMH(Fi)=0，四个方程联立求解即可。以整体为研究对象的含义是：系统平衡时用电焊机将B、C、D、E铰焊死，于是系统整体上就变成一个物体了，就可以对该“物体”列静力学平衡方程。系统平衡，各构件都没有感觉或知觉，因此，以整体为研究对象时的焊F

FABcos30FCcos75FDx sin30FFsin75 M(F)

sin308F6

sin754 MH(Fi)0FABsin308F(8cos3028)22.3-7a中，ABAAB杆的约束称为固定端约束，也叫端约束。ABF1、F2的作用，该杆处于受力平衡状态。若将固定端b所示，其他条件都不变，AB杆还能吗？固定铰支座ff 荷的集度q=1kN/m，受到的力偶M=2kN.m，a=1m，AB杆竖直墙体内。求墙体对AB杆的作用力和支杆C对BD杆的作用力。分析分析AB梁的A端属 [2注解，杆和梁的主要区别在于受力后的变形方式不同。在外力作用下，杆以伸长或缩短变形为主，梁以MB(Fi)0Q10.5aFcos302aF

csin60a0

Fix0FAxFccos60Fsin300

FAx=-0

FAy=-MA(Fi)0MAMQ21.5aQ12.5aFcsin603aFcos304aMA= 2.3-52.3-9aACDC两段铰接而成，起重机放在梁上。起重机 FyFByFDy9c：∑MC(FiFBy，FDy），还9c：∑MC(FiMH(MH(Fi)0P11FKy2P250FKyMC(Fi)0FKy1FDy60FDyFixFFAxM(F) PP FAx 3P6P10 1212

F

0.5M/M(F)M(F)M 2a 0.5M/

F

M(F) a 2a MD(Fi)0FByaM 评论（1（2（3（4）联立求解得：FCx0、FCy0.5Ma，FBx0、FByM评论11a，BA、C、E为铰链连接，EF1杆的内Fa、b、c的值无关。（本节、2.5节、12.3节本例题） 为未知量，对杆4列三个力学平衡方程，联立求解可得杆1内力F1。为未知量，对杆3列三个力学平衡方程，联立求解可得杆1内力F1。以下是解题思路3的具体求解过程。M(F)0Fc

b0 c

M(F)0Fc

b0 c

ME(Fi0F12F2cFDy2FBy2 F1F1F1作用于系统，使系统仍然保持状态（2.3-11g。这时系统虽然是的，但如果受力不平衡就会进入运动状态。设想系统受力不平衡而从状态（初速上述简化方式不会让桁架垮塌（为什么2.4-2，上、下图分别表示某桥梁的实 2.4-12.4-4aaFC=10kN、FD=7kN、 包含三个未知力（F1、F2和F3），该系统可列三个力学平衡方程，因此可解。解研究对象：整体（F

5a0FBy9.07kN的内力都转化为外力，取右半部分为研究对象（图b），M(F) acos30

0.5a 2.5a F

F FFcos

FF

FF

3Fsin60F F 3

例2.4-2某桁架如图2.4-3a所示，P=1kN，求各杆内力。（本题目被习题1224 C、D为研究对象（c/d）3、4、5的内力。 1、其中由⇒F3=0。再对节点E：∑Fi⇒F4、F5；对节点⇒F6课堂练习题2用节点法分析图2.4-6a/b所示桁架中带数字 的杆件内力（F=50N。F4=0；对节点N：∑Fix=0、∑Fiy=0⇒F5=F、F6=0；同理对节点K有，F7=F、F8=0；鉴于D∑F⇒F9F1=01DDABx轴建立坐标析杆3D∑F⇒F9示示点处都明显存在零力杆：图2.4-7a~c。。。 平衡问题 (2a1)x2y(ab)z(3ba)x(2ab1)y3z11x8y(3a2b)z xy 行程序代码g.y即可。最终求解结果：x=4，y=7，z=19。ax3by2czbc3ax4by5cz5a6b5axby8cz14b4c解程序代码如下：symsabxyz; AB杆和CE杆都是二力杆，列不出力学平衡方程。对平台BCD（图b）可列3个力学 FABcos30º-FCcos75º+FDx=0 ΣMB(Fi)=0F×2-FCsin75º×4-FDy×8=0 FHx+FCcos75º- FHy-FCsin75º- FAB=-232N，FC=1793N，FDx=665N，FDy=-616N，FHx=201N，FHy=1116N 分析xy；把A铰销看作是4杆的一部分（两者焊接在一起4杆受力如图c把C铰销看作是3杆的一部分（两者焊接在一起），3杆受力如图d所示，其中力FCx、FCy为 F2y-F+FBy=0MA(Fi)=0F×c-FBy×b=0 -F2x- F1-F2y-FEy+FDyMA(Fi)=0FEx×a/2+FEy×b/2-FDy×b=0 FCx+FEx=0 FCy–F1+FEy–FBy 是否有这样的静力学问题：未知数数量多于可列的独立力学平衡方程的数量？外力F=50N，求杆1、2、3的内力。各杆都是二力构件，都列不出静力学平衡方程，只能对各铰链销钉列方程。系统列12个独立的力学平衡方程，求解12个未知数。 解研究对象：A销钉（图b）ΣFix=0 FAx-F6-F4cosα=0ΣFiy=0 FAy-F1-F4sinα=0研究对象：销钉B（图c）ΣFix=0 -F9-F7cosΨ=0ΣFiy=0 F1+F7sinΨ=0ΣFix=0F9+F8cosφ=0ΣFiy=0F2+F8sinφ=0研究对象：销钉DΣFix=0F6+F5ΣFiy=0FDy-F2-F5ΣFix ΣFiy F4sinα+F5对象：ΣFix F3+F7cosΨ-F8ΣFiy -F7sinΨ-F8sinφ-分析 已知条件：FC=10;FD=7;ΣFix=0，即：FAx-F18-F19ΣFiy=0，即：FAy-F19研究对象：销钉G（图 sin30º-sin30º-

17sin30º-F16=017 18+F1716+F15cos60º-F13cos60º-15cos30º+F13cos30ºy=0，即：-F13cos30ºF2cos30ºΣFix=0，即：F1+F2cos60ºF4cos60ºΣFiy=0，即：F2cos30ºF4cos30ºΣFix=0，即：F3+F4cos60ºF6cos60ºΣFiy=0，即：-F4cos30ºF6cos30ºΣFix=0，即 6cos60º-F8cos60º-ΣFiy=0，即：F6cos30ºF8cos30ºΣFix=0，即：F7+F8cos60ºF10cos60ºΣFiy=0，即：-F8cos30ºF10cos30º+ΣFiy=0，即：F10cos30º+F12cos30º=0研究对象：销钉B（图c）ΣFix=0，即：F11+F12cos60º=0ΣFiy=0，即：FBy-上述22个方程含22个未知数，联立求解得：F1上述22个方程含22个未知数，联立求解得：F1=1763/15-2，F20.83-F3=-343/3-2.5，…（2图时拉力P与物体所受摩擦力FS之间关系如图b所示，在OA段物体始终处于状态，这FS称为静摩擦力，静摩擦力的方向与物体相对滑动趋势方向相反，大小体处于临界平衡状态（要滑没滑的平衡状态。过了A点后物体开始滑动，摩擦力FS（简称动摩擦系数）和最大静摩擦系数（简称静摩擦系数，依次用符号f、fsFSmax=FNfs，Ff=FNf（fs、f都是常数，friction：摩擦；staticfriction：静摩擦2.6-2b所示，当物体之间的相对滑动速度足够大时（C点以后，滑动摩擦力会略微减小。图2.6-1 图2.6-2a 图2.6-2b合（Pb中的[0，FSmax]区间内）？如果两者的作用线重合，物体所受力系在图2.6-3中，物体处于状态，它受到三个力的作用：地球G、人对物体的FS，FN=G，FS=PPFRA与法向称为支持面与物体之间的摩擦角，摩擦角用符号φf表示，tanφf=FSmax/FN=fs，可见摩擦角 FNtanθtanφf=fsθφf时，FSFNtanθFNtanφf=FSmax过最大静摩擦力：物体将处于状态；当θ>φf时，FSFNtanθFNtanφf=FSmax，实际静能否PθθφfP有多大，物体都将；当θ≥φfP有多小，物体都不会。体与支持面之间摩擦角φf以内，则不论该合力有多大，物体都将处于状态，这种现象GABCCF（竖直向上）与砖的重力GA、Dfs=0.5a应满足什么条 （B铰销的作用力和D端砖头的作用力FDR）的作用下处于平衡状态，所以力FDR的作用线沿直线BD，FDRFDN之间的夹角θϵ[0，φf]，φf=atanfs。

tan 250

tanf0.5a<110mm如图d所示，可以列三个力学平衡方程，求解三个未知数（FBx、FByFAN为研究对象（图a）得：F=G。再以五块砖头整体为研究对象（图e），由∑Fiy=0⇒a。由的表达式（a=220fs）知，afs也要减小，但题目中系统将处于自锁状态。所以实际的a值应该小于fs=0.5a的临界值。2.6-22.6-6aABh，推杆直径为d，推杆AB（不计自重）与滑道间的静摩擦系数为fs，偏心轮与推杆AB下底面之间的摩擦忽略不计。假设偏心轮从图示位置处，在驱动力偶M作用下由开始逆时ABa 接触，摩擦力FAS、FBS的方向都与推杆的滑动趋势方向相反（阻碍推杆向上滑动。偏心 研究对象：偏心轮（c，ΣMO(Fi)=0MeF=0F=M/e；研究对象：推杆（bFASfsFNAFBSfs F F

FNAFNBFf f

0.5F/ 0.5F/ s s MB(Fi) F(ad/2)fsFNAdFNAh a0.5h/f 为常量，说明a值减小过程中实际静摩擦系数小于使系统处于临界卡死状态时的静摩擦系数，系统将不被卡死。所以系统正常工作时：a<0.5h/fs。O。 FRB（不一定达到临界值）的实际交点C只可能在图中阴影三角区 O。注解，本例题中推杆AB自重不计，并不是说它的重量、质量都为零，而是说推杆AB自身重量远远小于系统受到的外力（可能相差几个数量级，所以可忽略自身重量因素，ABBF从零开始逐渐增大，θ=50°AB杆将首先进入哪种运动状态：1、贴着地面向左滑动；2、绕A端作定轴转动。 ∑M(F)≠0AB杆运动之前受力平衡（b F FF F FGFsin

GFM(F) FeFsin0.5L eFsin0.5L/(GFsin

F Fcos(GFsin) F f G0.54GsS N cosfs1emax0.5LF0.5Lsin/(GFsin) F G0.65G12.6-3AB首先向左滑2.6-42.6-8a所示为制动器，尺寸。曲杆OABC，C块停止转动的最小制动力Fmin的值。 C处受到摩擦力作用，阻碍其逆时针转动。设鼓轮处于临界状态（由∑MO1(Fi)=0FNOAB处于受力平衡状态（c），由∑MO(Fi)=0Fmin。解研究对象处于临界状态的制动（图b），MO1(Fi) PrfSFNRc， FnimafSFNcFNbS (bc)rSmi f a力FP作用，圆轮在接地点处受到两个力：支FN和摩擦FS。如果圆轮受力平衡么力FP与FS就构成力偶会让圆轮转动。实际情况是这样的：只要拉力FP小于某个既定阀c/d所示，A点处的主矢力FR可以分解为水平、竖直两个分力，分别对应于摩擦力FS和支持力FN。 图2.6-9 表示。此后拉力Fp再增加，圆轮将加速滚动，但滚阻力偶基本保持不变。试验表明，最大滚阻力偶Mfmax与地面对圆轮的支持力FN成正比，即：Mfmax=FN δ称为滚阻1.5—0.3—2—0.5—滚阻系数具有明确的物理意义。圆轮在临界滚动平衡状态时受力如图2.6-9d所示（其=MfmaxFNd=Mf，该式与式（2.6-1）比较得：δ=d。因此，滚阻系数δ是圆轮处于临界滚动状态时d=δdFNdrFS0FSrFNrFNFSFSmaxfsFNrfs

s

FS

轮胎放在混凝土路面上，fs=0.85，δ=5mm，则其静摩擦力之间的比值为：Fsmax/FS=fsr/δ=76.5，这说明轮胎开始滑动时的摩擦力是让轮胎开（2.6-52.6-10aB、CR，BMB，通过缠绕的细绳拉住轮C。轮C重量为P，斜面倾角为θ，圆柱与斜面间的滚阻系数为δ。系统静止，求力偶MB的最大值、最小值以及这两种情况下斜面对圆柱体的静摩擦力。 MBCc所示，滚阻力力偶MB最大时轮C处于向上滚动的临界平衡状态，受力如图d所示。MB(Fi)0FCRMB0FCMB/求MB的最小值，研究对象：处于向下临界滚动平衡状态的圆轮C（图F

FP MA(F) FR PsinR0 f f

PR(sincos)，

Pcos（沿斜面向上，F

Pcos求MB的最大值，研究对象：处于向上临界滚动平衡状态的圆轮C（图F

FP MA(F) FR PsinR0 f f

PR(sincos)，

Pcos（沿斜面向下，F

Pcos

的取值区间为：PR(sincosPR(sincos] （3 a/f q（N/m标系，以O为起点截取任意长度的OC段索绳为研究对象（受力如图2.7-2b所示）C点DD点，则有：F T2(qx)2 T2tanyyqxFcosFsinAsA

1y'2dx2.7-1（2.7-3a）A、B200m、y=ax2，则有xAxB 13ax3ax a b21y'dx 1(0.0014244998x)2dxsT A sincosAAtan13/(0.5xA OD≠0.5xsC1y'2dxx1y'2dxs' 1 (2.7 Fsinqsy'tanqsy'' FcosT (2.7y''1 asinhy x ，对于点Ox0、y0c=02qTT11ysinhqxyTcoshqxcO(0，0)TqT22TqyyTcoshqxT，令cT（c为常数）yccoshx c[1]注解，在高等数学中，双曲正弦、余弦函数依次为：sinhxe[1]注解，在高等数学中，双曲正弦、余弦函数依次为：sinhxexe2、coshxexe2，反函数为：asinhxln(x x21)、acoshxln(x x21)。双曲函数导数性质，1x2(acoshx11x1sinh2xcosh2x。有关双曲函数（包括正切、余切） sx01y'2dx 1sinh x)dx x)dx x)x2q0TxqTq0TqTTqc，F T2(qs)2Tcosh(qx)TqyT2.7-22.7-5aq=4N/mA、B与最低点之间的竖直高度差（称为吊度）都为：f=5m，跨度L=100m。求电线拉力及长度。c5ccosh(50)cc250.82893y250.82893*cosh(b，OC≠25，x)Fsinqs，FcosT，tanyAAAsA1dx50.331792m，atany11.3463892'OAFA=qs/sinθ=1023.3157N，T=1003.3157N，电线总长：S=2s=100.66358m2.7-6322.22.2-5详细展示了平面力系的简化过程，与此相类似，空间在图3.1-1中，长方体边长依次为a2a、3a，a=1m，F1＝F4＝8kN，F2＝5kN，F3＝7kN。φ=30°，θ=35°F4OCO点简化，求主矢、主矩。 FRFiFRxFixFRyFiyFRzFiz MrABF2或MrBA的力矢量（F2）方向弯曲，大拇指指向即为力偶矩M的方向。rABrHQrABrHQ，rPHF0，MrABFrPHFrHQFrPQ MrPQMrPQF图brPQFrPQF1图crPQF2图d图3.1-3a图3.1- da/d）沿矢量线等效滑动到Ｄ点。证毕 1、2说明，力偶矩矢可以平行移动到空间内任意位置而不改变作用效果，力偶矩动矢量，并不是矢量。对刚体而言，力有三要素：大小、方向、作用线，而力偶矩只有 直于平M1、M2所在直线为空间异面直线，现M1、M2对应直于平M1、M2所在直线为空间异面直线，现M1、M2对应的力偶 AB M1rABF1，M2rABF2，M12rABF12，M1M2 M1rABF1，M2rABF2，M12rABF12，M1M2 3.1-5a中，把力的矢量平行四边BF1F12F2AB轴顺时90°，再的矢 平行四边形就是的矢 平行四边形力偶矩是M1、M2需时，可以直接平移M1、M2使其作用点重合，再按平行四边形法则（3.1-5b），a中的矢量□BM1M12M2。对于图b，过B点作直线AB垂直于□BM1M12M2a所示力的□BF1F12F2。的力偶矩大小都为80N.m，方向。求工件所受合力偶矩的大小。解80k，

80j

80i M

M M

M580(cos45icos

MMi80(1cos45)i80j80(1cos45)k

M209NmBrABF，记作： MA(F)rABMA(F)rABFsinFrABsin MC(FMC(F')rCBFrCAFrCBFrCA(F)rABFM证毕 (i2k)(5sini5cosj)(i3j2k)(7sini7cos Mz(F)(rxyFxy)kFxy l的平面上的投影分力，而(BAF(aibjck，所以有： (DAF)(aibjck)(BAF)(aibjck)(BAF)(aibj边表示力F对轴线l的矩。证毕。z三个坐标轴上的投影，依次等于力F对x、y、z轴的矩，即：MO(F)[Mx(F)]i[My(F)]j[Mz供了一种“快速计算力F对各坐标轴力矩”的方法。3.1-3汇交力系合力对某轴的矩，等于各分力对该轴力矩的代数和。 M )

)

[

(FFF)] R123(rOA F)R F)

(rOAF3RMR(F1MR(F2MR(F3。证毕 例3.1-2如图3.1-11a所示，力F 1FFx、Fy、Fz三个分力（b）Fx、Fzx轴共面，它们让长Fx、Fzy轴的力矩都是负值；力Fz轴的矩就等Fyz轴的矩（正值。23)B(101.5)

F

7.25 10i20j15kFx10iFy20jFz15k（FyMy(F)10N1.5m15N1m30Nm；FzMz(F)20N1m20Nm MO(F)[Mx(F)]i[My(F)]j[Mz(F)]k(30i30j20k)Nm；长方体对角线OA轴正方向单位矢量：R OA/OA(2i4j3k)/ MO(Fx、y、zFx、y、z 分析如图3.1-12所示，分析如图3.1-12所示，a=1m，F1＝8kN，F2＝5kN，F3＝7kN，F4＝8kN，φ=30°，θ=35°解力系主矢：FRxF2sinF3sinF4 4.38kNFRyF1F2cos3F4 2.74kN，FRzF3cos2F4 FR(4.38i2.74j1.46k)kNMx(FiF2cos2aF3cos3a25.86kNmMy(Fi)F2sin2aF3cosaF3sin2a7.30kNmMz(Fi)F1aF2cosaF3sin3a8.38kNMO(25.86i7.30j8.38k)kNmFFFF'FF'FF

FFF 1 3 MOMO(Fi)MO(F1)MO(F2)MO(F3 3.1-2Ox、y、z轴上的投影分量，依次等x、y、zMOx、y、z轴上的投影分量，依次等于原力系中各力对x轴力矩的代数和、各力对y轴力矩的代数和、各力对z轴力矩的代数和。（1、FR=0、MO=0。原力系是平衡力系。 MB(rBiFi[(rBArAiFi MB(rBiFi[(rBArAiFirBAFi(rAiFi)0MA（4、FR≠0、MO≠0。这是最一般的情况，又可细分为以下三种类型 AF，F=FRMOMO(FrOAFrOAFR 3.2-2c、d所示任一形式。 3a/b cos

FRF

OR)O

FR(MOFR)FR， M FRO R

O点作平面垂直于点作平面垂直于 33

F1F2803N

F1F2203N

F1F220

FR

3333(4ijk)33333 3333主矩：Mx a33

32a703a，My a3

3a3Mz 2a1003aMOMxiMyjMzk103a(7i3j10k)3MO分解为两项：平行于FR的分量（MO//）和垂直于FR的分量（MO5 5

MO

(MOFR)FRF2FR

(4ijk)

-MO//

(22i23j65k)3用点为E(x，y，z)，则有：

MOrOEFRMO

23a/12x65a/12x433FR203(4ijkx4z23a力螺旋中的（螺旋）MO//

3a(4ijk3平衡时，通常可列6个独立的力学平衡方程，从而求解6个未知量。3.2-23.2-5G=8kNE点，C解 F0.2G1.2F2

GB 0F0.8G0.6F0.6F1.20GB

FF

F1FFFD

角θ=30°，β=60°（图b）F2＝2F1。曲柄转动半径R=30