专题：基本不等式常见题型归纳(教师版)

专题：基本不等式常见题型归纳(教师版)第第页专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．（2）a，b∈R＋，a＋b≥2eq\r(ab)，当且仅当a＝b时取等号．（3）a，b∈R，eq\f(a2＋b2,2)≤(eq\f(a＋b,2))2，当且仅当a＝b时取等号．上述三个不等关系揭示了a2＋b2，ab，a＋b三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a，b∈R＋，a＋b≥2eq\r(ab)(或ab≤(eq\f(a＋b,2))2)，当且仅当a＝b时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知且，则的最小值为.【解析】∵且∴，解得或，∵∴，即．．练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且，则的最小值为．解析：由log2x+log2y=1可得log2xy=1=log22，则有xy=2，那么==（x－y）+≥2=4，当且仅当（x－y）=，即x=+1，y=－1时等号成立，故的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数满足，则的最小值为．3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知，且，则的最小值为.【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x，y为正实数，则eq\F(4x,4x＋y)＋eq\F(y,x＋y)的最大值为．解析：由于eq\F(4x,4x＋y)＋eq\F(y,x＋y)===1+=1+≤1+=eq\f(4,3)，当且仅当4=，即y=2x时等号成立．【典例3】若正数、满足,则的最小值为__________.解析：由,得,解得(当且仅当且,即时,取等号).变式：1.若,且满足,则的最大值为_________.解析：因为,所以由,,解得(当且仅当且,即时,取等号).2.设，，则的最小值为_______43.设，，则的最大值为_________4.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数，满足，则的最小值为【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数满足，则的最小值为练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数满足，则的最小值为.解析：对于正数x，y，由于+=1，则知x>1，y>1，那么+=（+）（1+1－－）=（+）（+）≥（+）2=25，当且仅当·=·时等号成立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数满足，则的最小值为．解析：，当且仅当时，取等号．故答案为：9．3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数的图像经过点，如下图所示，则的最小值为.解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么+=（a－1+b）（+）=（4+++1）≥（2+5）=，当且仅当=时等号成立．4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a，b为正数，且直线与直线互相平行，则2a+3b的最小值为________．【解析】由于直线ax+by－6=0与直线2x+（b－3）y+5=0互相平行，则有=，即3a+2b=ab，那么2a+3b=（2a+3b）·=（2a+3b）（+）=++13≥2+13=25，当且仅当=，即a=b时等号成立．5.常数a，b和正变量x，y满足ab＝16，eq\f(a,x)＋eq\f(2b,y)＝eq\f(1,2).若x＋2y的最小值为64，则ab＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用).6.已知正实数满足，则的最大值为．答案：【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知，，则的最小值为．解析：由得，令则当且仅当即等号成立．练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是．解析：由x2＋2xy－1＝0可得y=，那么x2＋y2=x2＋=x2+－≥2－=－，当且仅当x2=，即x4=时等号成立．2．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x，y满足，则x+y的最小值为．解析：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当时取等号．∴x+y的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数满足，则的最小值为．解析：∵正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y=，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y的最小值为8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若，且，则使得取得最小值的实数=。5.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是_________6.已知，且，，求的最大值为______【题型四】换元法【典例6】（南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试·13）已知函数f(x)＝ax2＋x－b(a，b均为正数)，不等式f(x)＞0的解集记为P，集合Q＝{x|－2－t＜x＜－2＋t}．若对于任意正数t，P∩Q≠，则eq\F(1,a)－eq\F(1,b)的最大值是．【解析】由题意可知任意正数t，集合Q＝{x|－2－t＜x＜－2＋t}，构成的集合的交集为，即，，令，，当且仅当，等号成立，或（舍）∵故．则eq\F(1,a)－eq\F(1,b)的最大值是eq\F(1,2)．2．（2016年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷·14）已知正数a，b，c满足b+c≥a，则+的最小值为．解法一：∵正数a，b，c满足b+c≥a，∴+≥+=（+）+﹣=+﹣≥﹣当且仅当=时取等号．故答案为：﹣解法二：由得，令，，则，，所以，当且仅当时等号成立．故的最小值为．练习1．（江苏省南京市2016届高三第三次模拟·14）若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为．解析：由2x2＋xy－y2＝1可得，，令，则，，，代入得，令，则，当且仅当时取等号，故的最大值为．2．设是正实数,且,则的最小值是____.解:设,,则,所以=.因为所以.3..若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则eq\f(x－2y,5x2－2xy＋2y2)的最大值为．eq\f(\r(2),4)4．（江苏省苏、锡、常、镇2016届高三数学教学情况调查数学试题（一）·14）若实数满足，则当取得最大值时，的值为5.解析：当时，取最大值8，，取得最大值，解得，故.【题型五】判别式法【典例7】南通市2015届高三第三次调研测试14．已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为．【解析】设，则，代入得：，由，解得，即xy的取值范围为.练习1.（泰州市2016届高三第一次模拟·13）若正实数满足，则的最大值为．【解析】令，则，因此，当时，，因此的最大值为2.设，，则的最大值为________变式1．（江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题·14）在平面直角坐标系中，设点，，，，若不等式对任意实数都成立，则实数的最大值是．解析：由题意得：，对任意实数都成立，因此，即对任意实数都成立，即，对任意实数都成立，即，，即，实数的最大值是 【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法．判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有1）对恒成立2）对恒成立分离变量法：若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值。一般地有：1）恒成立2）恒成立确定主元法：如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。2．（南京市2014届高三年级第三次模拟·14）设二次函数（为常数）的导函数为．对任意，不等式恒成立，则的最大值为．解析：∵，∴，∵对任意，不等式恒成立，∴恒成立，即恒成立，故，且，即，故，故答案为：．【题型六】分离参数法【典例8】（2013-2014学年江苏省镇江市高三（上）期末·14）．已知x＞0，y＞0，若不等式x3+y3≥kxy（x+y）恒成立，则实数k的最大值为_______．解析∵x＞0，y＞0，∴不等式x3+y3≥kxy（x+y）可化为，x2﹣xy+y2≥kxy，即，由基本不等式得，，∴k≤2﹣1=1，∴实数k的最大值为1，故答案为：1．练习1．（江苏省苏北三市2016届最后一次模拟·3）已知对满足的任意正实数，都有，则实数的取值范围为.解析：，而，因此即实数的取值范围为．2．若不等式x2＋2xy≤a