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第四节几种特殊类型函数的积分

（几种常见类型的积分）北京理工大学第一学期《工科数学分析》有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之为有理函数.一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例两类特殊的有理函数------部分分式(简单分式):说明将一般的有理函数化为部分分式

之和，只出现三类情况：多项式；容易求得先来考察部分分式(简单分式)的积分.讨论积分令则记凑微分这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.（1）分母中若有因式，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为（根据有理函数中分母的因式构成）（2）分母中若有因式，其中则分解后为特殊地：分解后为难点将有理函数化为部分分式(简单分式)之和.真分式化为部分分式之和的待定系数法例1代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例2例3整理得例4

求积分解例5

求积分解例6

求积分解令三角函数有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之为三角函数有理式．一般记为二、三角函数有理式的积分令（万能置换公式）例7

求积分解由万能置换公式例8

求积分解（一）解（二）修改万能置换公式,令解（三）可以不用万能置换公式.结论比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中可先考虑其它手段,万能置换并不是唯一方法，只是一种可选方法.

万能置换并不万能。例9

求积分解讨论类型解决方法作代换去掉根号.例10

求积分解令三、简单无理函数的积分例11

求积分解令说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.例12

求积分解先对分母进行有理化原式简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）四、小结理论上讲，连续函数的原函数一定存在，但有些函数的原函数并不是初等函数，它们的积分都不能用初等函数来表示，在初等函数的范围内被认为是积不出来的。例如：作业P280

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