线性代数期末复习提纲-线代资料文档

PAGE2828页★线性代数基本内容、方法及要第一部分 行列式【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式A41）AAT；）A1A

；（3）kAknA；（4）A*An1；（5）ABAB；（6）A 0* B

A *AB；0 B

aAij

A，ij

；8）

aAij

ji1 j（B为nk为常数）5、行列式的常见计算方法（）利用性质化行列式为上（下）三角形；利用行列式的展开定理降阶；根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。4、会计算简单的n阶行列式。5、知道并会用克莱姆法则。第二部分 矩阵【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。2、方阵的行列式3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆。4、n阶矩阵A可逆0A为非奇非退化的矩阵。R)nA为满秩矩阵。AX0只有零解AXb有唯一解A的行（列）向量组线性无关A的特征值全不为零。A可以经过初等变换化为单位矩阵。A可以表示成一系列初等矩阵的乘积。5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。6、矩阵秩的概念及其求法（）（）初等变换法。7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。【要求】1、了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。第三部分 向量组的线性相关性【主要内容】1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量b，向量组A：,,,，向量组B：1 2 n,, ，则1 2 m（1）向量bA线性表示R(,,,)R(,,,,b)1 2 n 1 2 nBA线性表示R(,,,)R(,,,,,,,)1 2 n 1 2 n 1 2 mAB等价的充分必要条件是：R(1,2,,n)R(1,2,,m)R(1,2,,n,1,2,,m)bBA式。解法：以向量组A：,,,以及向量b或向量组B:,,, 为列向量构成1 2 n 1 2 m2、向量组的线性相关性判别向量组,,,的线性相关、线性无关的常用方法：1 2 s（1）向量方程k1 1

k2

ks s

0只有零解向量组,1 2

,,s线性无关；向量方程k1 1

k2

ks s

0有非零解向量组,1 2

,, 线s性相关。方法二：求向量组的秩R(,,,)1 2 s（1）R(,,,小于个数s向量组,,,线性相关1 2 s 1 2 s（2）秩R(,,,)等于个数s 向量组,,,线性无关。1 2 s 1 2 s特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，则向量组线性无关以向量组,,,为列向量的矩阵的行列式非零；1 2 s向量组线性相关以向量组,,,为列向量的矩阵的行列式为零。1 2 s3、向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）及其求法。基本题型：判断向量组的相关性以及求出向量组的极大无关组。4、等价向量组的定义、性质、判定。5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。【要求】1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。4、了解向量空间及其基和维数的概念。第四部分线性方程组【主要内容】1Ax0只有零解A的秩n；2Ax0有非零解A的秩n.3Axb无解B(A,b秩A的秩；4Axb有解B(A,b秩A的秩B(A,b的秩A的秩n非齐次线性方程组Axb有唯一解；2）BA,b的秩A的秩nAxb有无穷多解。【要求】1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。4、会求解非齐次线性方程组。第五部分相似矩阵及二次型【主要内容】1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。2、向量的正交关系及正交向量组的含义。3、施密特正交化方法。4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。特征值求法：解特征方程AE0；特征向量的求法：求方程组E0的基础解系。5相似矩阵的定（P1APB性(B相似R(R(B)B、B6、判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵PP1AP阵。7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤:（将实对称矩阵对角化）A.A的所有特征值1 2

,,n解方程组(i

EAX0（i1,2,n）求对应于特征值1 2

,n征向量,,,1 2 n若特征向量组,,,不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交1 2 n的向量组,1 2

,,n

P,1 2

,,n

)，对二次型做正交变换xPy,fy11

y22 2

y2n n8、正定二次型的定义及其判定方法常用判定二次型正定的方法（）定义法特征值全大于零顺序主子式全大于零【要求】1、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线性无关向量组为正交向量组。2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法，3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。5、知道正定二次型的概念及其判定方法。★★线性代数练习题一、单项选择题1 2 01、行列式4 3 8中，元素a22的代数余子式是0 1 21 0（A） 0 2

（B）

1 00 2

（C）1 00 2

1 0（D） 0 22、二阶行列式

ab2

的值为(A)a3b3 (B) ab(ba) (C)a3b3 (D)a2b2k213、设行列式21k100，则k的取值为（1）（A）2 （B）-2或3 （C）0 （D）-3或2a1a2a3a1a2a3c1c2c4、若行列式b1cb2cb3c=1，则b1ab2aba=31 2 3 1 2 3（A）1 （B）2 （C）0 15、设a，b，c，d为常数，则下列等式成立的是12a b a12（A）

b（B）

ab 1

a 1b 1c d 2ac d cd 1 c 1 d 1（C）

2a 2c 2d

2a bc d

（D）

ab 1cd 1

a 1b 1c 1d 16、设nD=aij

，An i

D中元素

的代数余子式，则下列各式中ij正确的是i1

aAij

0 (B)naA 0ij ijj1(C)nj1

aAij

D (D)i1

a A Di1 i27、设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列各式成立的是（A）(AB)T

BTAT

(B)(AB)1A1B1ABBA (D)ABAB8A3A12A(A)-8 (B)-2 (C)2 (D)89AB为nABO，则AO或BO (B) ABO(C)0或B0 (D) B010AB为n阶可逆方阵，则下列各式必成立的是（A）(AB)TATBT B（C）(AB)1A1B1 （D）A1A*1、设矩阵A2 B0，则BA 2 1 2 3

1 (A)

0 0 0 (B)0 (C)（1,0,6）

(D)72 4 6

6 12、设行矩阵Aa,a,a1 2 3

,Bb,b,b1 2

1 2，且ATB0 14 2

1322则ABT（A）1 （B）-1 （C）2 （D）13、下列命题正确的是 B .BABOAOBOBABEB都可逆。若A*是n阶矩阵A的伴随矩阵，则AOA0

An14、设B为三阶矩, A2,B

1, 则2(BA)1=41(A) 4 (B)1 (C)16 (D) 215、下列说法不正确的是(A）相似矩阵有相同的特征值。(B）n阶矩阵可对角化的充要条件是它有n个不同的特征值。(C）nAx0有非零解的充要条件是Rn。正交的向量组一定是线性无关的。16、n维向量组,,(3sn线性无关的充要条件是1 2 s存在一组不全为零的数kk1 2

,ks

使k1

k2

k 0s s1,2,s中任意两个向量线性无关,, 中存在一个向量可由其它向量线性表出1 2 s,, 中任何一个都不能由其它向量线性表出1 2 s1 1 3 2 17、向量组

1，

3，

2， 6的秩为 .1 1 2 5 3 1 4 103 1 4 3 1 4 （A）1 （B）2 （C）3 40B18B均为n阶可逆矩阵，则分块矩阵B

A0的逆矩阵是 .00

A1

B1 0 B

0

A10

B1

A1 0 A1

0

B11 a

1 b 119、设A2 0 1，B3 0，且 1 (A) ab2 (B) ab0(C) ab2 (D) ab020、设A可逆，则XAB的解是AB (B) BA (C) A1B (D) BA121、下列说法正确的( )。任何矩阵经过初等行变换都可化为单位矩阵。ABB为奇异的。初等矩阵都是可逆的。矩阵经过初等行变换后，其秩会发生改变。22、设A，B都是可逆矩阵，则AB的逆是AB （B）BA （C）A1B

B1A123A

1 0 0 0 1 0，则r 0 (A)3 (B)2 (C)1 (D)024A是n,Rn2,AX0的基础解系所含向量的个数为(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) n25fx1

2xx1

x2

的矩阵是1 2

1 1

1 2 0

1 1 0

(B)

0 1 0

(D)

1 1 00 1

1 1

0 0 0 二、填空题五阶行列式的展开式共有 项.1 1 2行列式57

4 0中元素a321 3

的余子式M = 320001000010020030040002 31矩阵 中的元素c = 1 03 21若A，B为n阶矩阵，则(AB)(AB)= 6.设B为3阶方阵，且B2，则2(B*A1)1 1 1 7.设矩阵A0 2 2，则ATA 0 0 a 0 0 8.设A0 b 0，则An 0 0 c 若A是可逆矩阵，则(A)1= 1A0000

2 0 0101003020A1311

A，

A 010 是两个可逆矩阵，则分块矩阵 0

kA1111

1 1 1k 1 11 k 11 1 k

R)3，则k13．若向量组,,1 2 3

线性无关，且k1 1

k2

k3

0，则数k,k,k 1 2 31 0 1 1 14.向量组1

1，0

1，1

1，1

2中不能由其余向量线性表示的是1 15.向量组 (2,3,4), 的秩 1 2 3在线性方程组AXO中，若未知量的个数n=5，r(A)3，则方程组的一般解自由未知量的个数 1 2 4AXb1

2,

3为其两个解， 则AXb 的通解为18aaa线性无关，则向量组aa181 2 3 1 性相关，线性无关。

4 4 a,aa a （填线2 1 2 3设n元线性方程组AXb有解，则当R(A) 时，AXb有无穷多解。3A1，-1，2BAE的特征值为已知n阶矩阵A的特征值,, 1 2 n

都不为零，则A1的特征值为22．设向量组 1 0 3 51

， 1 2 1 2

， 1 1 2 6T，3 1 1 2T线性相关，则41 2 若向量2与向量k正交，则k3 04 4 A的特征值为1

2

3

1，其对应的特征向量分别是,,,取P ]，则P1AP1 2 3 3 2 11 2 3 若方阵A与B4 1 5相似，则A的特征值 0 0 22 31 1 226．若矩阵12 x与3 4相似则x 27．若二次型f(x,x1 2

,x)2x3 1

x2

x32txx12

2xx1

是正定的,则t应满足的条件是三、计算题1201、计算行列式2411341 2 1 2 32、设A0 1，B0 1 2，求AB。0 0 1 0 1 3、已知XAI且A2 1 1，求矩阵X。 1 1 1 1 1 1 4、设ABAXXT，其中X1 ,B1 1 1 1 求矩阵A1 2 3 1 55、求A2 4 0 1 的秩。 1 2 3 2 82 2 0 6、求方阵A2 1

2的特征值与特征向量。 0 2 0 1 0 7、求向量组

，

，

1，

，的一个极大无关组。1 0

2 1

3 1

4 28、已知向量组 ,,,T， ,,T1 2

， ,T， ,0T，3 45,,0T，求该向量组的秩，并求其一个极大无关组。xx x 11 2 39、判断线性方程组x

2x x

3，当k为何值是有解？1 2 32xkx 21 3x 2x x 110AXb的一般解为1

3 4 ，x,

为自由变量，x2

2x 3 44AXb的通解。11A3×4R)2，若非齐次线性方程组Axb的三个解分别为：1 2 41 1 5 ＝ ， ＝ ， ＝ ，1 0

2 1

3 32 4 2 4 求：（1）Ax0的通解；（2）Axb12、求一个正交变换xPy，把下面的二次型化为标准形f(x,x,x)2x23x23x24xx1 2 3 1 2 3 23四、证明题A2

I，

I，证明：A是对称矩阵。xA的同时属于特征值与1 2

的特征向量，则有1 23．设1

是nAXX1 2

A的对应于1 2的特征向量，证明：X X 不是A的特征向.1 24．证明：若矩阵B相似于A，则EBEA线性代数模拟试题答案一、单项选择题1A2BB4DBCA8、ACBA12C13B14C15、B16D17C18CC20D21C22、D23、B24、C25、B二、填空题1、5! 2、10 324 41 5、A2

ABBAB21 1 1 6、8 、1 5 5 8、An

an 00 bn

00 、A1)1 5 14 0 0 cn1 2

00

0 0 A1 10、 10 0 3

、1

B1

12、3 0

2 3 13、kk1

13k 0 14、 1 153 162313 11 1 17k12注此题答案不唯一） 18线性无关 19小于n 20、1 31 1 2,03 21、11

22、2 23、51 2 n1 24、 1

25、3 26、17 2700

1t1三、计算题1201201201、解：241001054 51340540011 2AB0 1

1 2 3

1 4 7 0 1 22、解：

0 1 2= 0 0

0 0 0 3、解0A1A1XAIXA11

01100101100100411101001052130010013114 1

5 2 1 3 1 1111111111 及1

11 1 1 1 1 1 B1 1 1 1 1 1 1 1 11 (BE)1存在，且(BE)1

21 1 11 1 1将已知等式ABAXXT整理得：AXXT(BE)1A

1 1 1 11 1 1 21 1 11 2 3 1 55、解：对矩阵A 施行初等行变换得，A2

4 0 1 1 2 3 2 81 2 3 1 5 0 0 6 3 0 0 0 0 所以r(A)216、解：矩阵A的特征多项式为：AE 22

054

021

(3)2AE0A的特征值为：1

2

1.3当 3时，求解齐次线性方程组(A3E)x0的基础解系，由1A3E

200 200100222011x x 0

0 得对应的方程组为2 3

,

1x0

1 于是属于特征值1

13的全部特征向量为kp1

1，其中k为任意非零常数。当 1时，求解齐次线性方程组(AE)x0的基础解系，由2 3AE

000 0001212420002 1 得对应的方程组为 x1

2x x2

0 , 从而解得基础解系p2

1,p0

01 于是属于特征值 1的全部特征向量为kp lp，其中数k,l是不同时为零的2 3 2 3任意常数。7、解：以已知向量组为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换得，

,

1 1 0 1 1 0 )1 2 1 30 1 1 21 2 3

0 1 1

0 0 0所以，所求向量组的极大无关组为：。1 28、解：记矩阵Aa a a1 2 3 4

a511011013110130211202112

2 0 1 1 4

0 0 0 0 01 1 1 0 0 0 0 0 0 1 由最后一个矩阵可知R(A)3从而所求向量组的秩为3，又因为非零行非零首元所在的列依次为1，2，5列所以aaa为其中一个极大无关组（aaa或aaa也对）1 2 5 1 3 5 1 4 51 1 1 19、解：已知方程组的增广矩阵为：A1 2 1 3 2 0 k 21 1

1

1

1 1对A施行初等行变换得：A1 2 1 30 1 0 22

k

k2 所以当k20，即k2时，方程组有解。x 2x x10、解：已知方程组对应的齐次线性方程组 AX0的一般解为1 3 4（xx为自由变量）3 4

x2

2x42 1 令x x3

0得：1

0x 1

0,x4

1得：2

2 0 0 则1

为齐次方程组AX0的基础解系；再令x x3

0AXbX0

1 000 0 所以AXb的通解为：Xkk X 。11 2 2 01、1）由已知条件可知，齐次方程组AX0含基础解系个数为2个向量，1 2 41 1 5因为 ＝

， ＝

， ＝

，为非齐次方程组1 0

2

3 32 4 2 4 AXb的解，所以(2

), 1

AX0的解1又因为(2

), 1

线性无关1AX0k1 2

)k1 2

)1（2）由（1）及非齐次方程组解的结构，不难得知：非齐次方