数学必修ⅳ北师大版-12任意角的概念与弧度制、任意角的三角汇总课件

1任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数1任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数2三年4考高考指数:★★1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2三年4考高考指数:★★3任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数3任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数4三年4考高考指数:★★1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.4三年4考高考指数:★★51.三角函数的定义及应用是本节的考查重点，注意三角函数值符号的确定.2.主要以选择题、填空题的形式考查，题目属于低档题.51.三角函数的定义及应用是本节的考查重点，注意三角函数值符61.角的有关概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所成的图形.(2)分类：_____、_____、_____.(3)终边相同的角：与角α终边相同的角可构成集合S={β|β=α+______________}.旋转正角负角零角k×360°,k∈Z端点61.角的有关概念旋转正角负角零角k×360°,k∈Z端点7【即时应用】(1)思考：角α为锐角是角α为第一象限角的什么条件？提示：充分不必要条件.因为锐角为大于0小于的角，而第一象限角为(2kπ，2kπ+)(k∈Z).7【即时应用】8(2)若α是第二象限角，判断下列表述是否正确.(在括号内填“√”或“×”)①{α|α=k×360°+45°，k∈Z}()②{α|90°＜α＜180°}()③{α|k×360°+90°＜α＜k×360°+180°，k∈Z}()④{α|α=k×180°+135°,k∈Z}()8(2)若α是第二象限角，判断下列表述是否正确.(在括号内填9【解析】①α=k×360°+45°，k∈Z表示的是与45°终边相同的角，是第一象限的角，故不正确.②90°＜α＜180°,不能表示所有第二象限的角，故不正确.③正确.④α=k×180°+135°表示的是当k为偶数时，与135°终边相同的角；当k为奇数时，与315°终边相同的角，不能表示第二象限的角，故不正确.答案：①×②×③√④×9【解析】①α=k×360°+45°，k∈Z表示的是与45°102.弧度的定义和公式(1)定义:在以单位长为半径的圆中,_________的弧所对的圆心角为1弧度的角,它的单位符号是____，读作_____.单位长度rad弧度102.弧度的定义和公式单位长度rad弧度11(2)公式角的弧度数公式=_____（弧长用l表示）角度与弧度的换算①1°=______rad弧长公式弧长l=_______扇形面积公式S=_____=_______②1rad=(______)°11(2)公式角的弧度数公式=_____（弧长用l表示12【即时应用】(1)337°30′的弧度数是______.(2)的度数为______.(3)扇形半径为45，圆心角为120°，则弧长为______.【解析】(1)337°30′表示的弧度数为(2)的度数为(3)圆心角120°对应的弧度数为故弧长l=×45=30π.答案：(1)

(2)75°

(3)30π12【即时应用】133.任意角的三角函数(1)定义：设角α终边与单位圆交于P(x,y)，则sinα=___，cosα=___，tanα=_______.(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的________，角α的________和角α的________.yx正弦线余弦线正切线133.任意角的三角函数yx正弦线余弦线正切线14yxOxxA(1,0)PTMyxOPTA(1,0)MyOPTA(1,0)MOyPTA(1,0)M14yxOxxA(1,0)PTMyxOPTA(1,0)MyO15(3)由三角函数的定义可得到以下关系:①sin2α+cos2α=1(平方关系);②(商数关系).15(3)由三角函数的定义可得到以下关系:16【即时应用】(1)已知角α终边上的一点A(2,2)，则tanα=______.(2)满足sinα>的角α的取值集合为______.【解析】(1)16【即时应用】17(2)作出正弦值等于的角α的终边，正弦值大于的角的终边与单位圆的交点在劣弧P1P2上，所以所求角的范围为图中的阴影部分，α的取值集合为答案：(1)1

(2)

17(2)作出正弦值等于的角α的终边，正弦18终边相同的角的表示【方法点睛】终边相同的角的表示及应用(1)所有与α的终边相同的角都可表示为β=α+k×360°,k∈Z.(2)根据与α终边相同的角的表达式,可以写出一定范围内的角,也可以根据α的终边所在的象限,判断α的倍数角所在的象限.(3)与α终边相同的角的表达式中一定是k×360°或k·2π，这一点要注意.

18终边相同的角的表示19【例1】已知角α是第一象限角，确定2α，的终边所在的象限位置.【解题指南】本例可由α所在的象限写出角α的范围，从而得2α、的范围，再确定终边所在的位置.【规范解答】∵α是第一象限角，∴k·2π＜α＜k·2π+(k∈Z).(1)k·4π＜2α＜k·4π+π(k∈Z),即2k·2π＜2α＜2k·2π+π(k∈Z),∴2α的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上.19【例1】已知角α是第一象限角，确定2α，的终边所在的20(2)k·π＜＜k·π+(k∈Z),当k=2n(n∈Z)时,2nπ＜＜2nπ+(n∈Z),∴的终边在第一象限.当k=2n+1(n∈Z)时,(2n+1)π＜＜(2n+1)π+(n∈Z),即2nπ+π＜＜2nπ+(n∈Z),∴的终边在第三象限.综上，的终边在第一象限或第三象限.20(2)k·π＜＜k·π+(k∈Z),21【反思·感悟】1.已知角α所在的象限，应熟练地确定所在的象限：α第一象限第二象限第三象限第四象限区域第一或第三象限第二或第四象限O45°225°xyO45°225°xyO135°315°xyO135°315°xy21【反思·感悟】1.已知角α所在的象限，应熟练地确定所222.若α为第一象限角,则0＜α＜,从而是第一象限角,这种说法是片面的,是错误的.必须用象限角的一般表示法,再用不等式的性质及对整数k的奇、偶讨论后确定或2α所在的象限.222.若α为第一象限角,则0＜α＜,从而是第一象限23【变式训练】若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是______.【解析】当α、β的终边重合时，β=α+k·2π,k∈Z.当α、β的终边互为反向延长线时，β=π+α+k·2π=α+(2k+1)π,k∈Z.答案：β=α+k·2π，k∈Z或β=α+(2k+1)π,k∈Z23【变式训练】若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系24弧度制的应用【方法点睛】弧度制的应用(1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：l=r|α|，扇形面积公式：计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷、方便.(2)应用上述公式时,要先把角统一为用弧度制表示.【提醒】弧度制和角度制不能混用，解决问题时要先统一.24弧度制的应用25【例2】已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α=60°，R=10cm,求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.25【例2】已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.26【解题指南】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制.(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其取最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角α.(3)利用S弓=S扇-S△，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积.26【解题指南】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制.27【规范解答】(1)l=10×

=

(cm).(2)由已知得：l+2R=20,所以=10R-R2=-(R-5)2+25，所以R=5时，S取得最大值25，此时l=10，α=2rad.(3)设弓形面积为S弓,由题知l=

S弓=S扇-S△=27【规范解答】(1)l=10×=(cm).28【互动探究】将本例第(1)小题中的R=10cm改为扇形的AB=

cm,再求弧长l.【解析】因为圆心角α=60°，所以28【互动探究】将本例第(1)小题中的R=10cm改为扇形29【反思·感悟】1.弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下的弧长公式扇形面积公式有着必然的内在联系.2.在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角所在的三角形.29【反思·感悟】1.弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下30【变式备选】扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦AB的长．【解析】设扇形的半径为rcm，弧长为lcm，圆心角的弧度数为α，则有解得由得α＝2，∴|AB|＝2sin1(cm).∴弦长AB为2sin1cm.30【变式备选】扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是431三角函数的定义【方法点睛】1.三角函数定义的理解在直角坐标系xOy中，设P(x,y)是角α终边上任意一点，且|PO|＝r，则31三角函数的定义322.定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解.(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值.

322.定义法求三角函数值的两种情况33【例3】(2012·西安模拟)已知角α的终边经过点P(-4m,3m)(m≠0),则2sinα+cosα的值是()(A)1或-1(B)或-(C)1或-(D)-1或【解题指南】先求出r,再根据三角函数定义求出sinα、cosα,其中由于不知m的正负,因此需分类讨论.33【例3】(2012·西安模拟)已知角α的终边经过点P(-34【规范解答】选B.由题意知,x=-4m,y=3m,①当m>0时,则②当m<0时,故2sinα+cosα的值为或34【规范解答】选B.由题意知,x=-4m,y=3m,35【反思·感悟】1.利用三角函数定义解题时，方法比较灵活，若是角α的终边落到一条直线上，一般要分类讨论.2.任意角的三角函数与锐角三角函数的关系.(1)联系：锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例，它们的基础是建立于相似或直角三角形的性质，“r”同为正值.35【反思·感悟】1.利用三角函数定义解题时，方法比较灵活，36(2)区别：锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.(3)实质：由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.36(2)区别：锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角37【变式训练】已知角θ的终边经过点P(，m)(m≠0)，且sinθ=试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．【解析】由题意，得∵m≠0,故角θ是第二或第三象限角．当时，点P的坐标为()，当时，点P的坐标为37【变式训练】已知角θ的终边经过点P(，m)(m≠38【变式备选】已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，求α的三角函数值.【解析】因为角α的终边过点(a，2a)(a≠0)，所以，x=a,y=2a,当a＞0时,当a＜0时，38【变式备选】已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，求39【易错误区】忽略三角函数值的符号致误【典例】(2011·重庆高考)若且α∈(π，)，则tanα=______.【解题指南】根据角所在的范围，先求出sinα的值，再根据商数关系求出正切值.【规范解答】因为所以所以答案：39【易错误区】忽略三角函数值的符号致误40【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议:误区警示求解本题时，常会出现以下两种失误：(1)易忽视题目中已知条件α的范围，求得sinα的两个值而致错.(2)虽注意到α的范围，但判断错sinα的符号而导致tanα的值错误.

40【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得41备考建议用sin2α+cos2α=1求值时要注意以下两点:(1)题目中若没有限定角α的范围，则sinα或cosα的符号应有两种情况，不可漏掉.(2)若已给出α的范围，则要准确判断在给定范围内sinα或cosα的符号，不合题意的一定要舍去.

41备用sin2α+cos2α=1求值时要注意以下两点:421.(2011·新课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=()【解析】选B.由题意知，tanθ=2，即sinθ=2cosθ，将其代入sin2θ+cos2θ=1中可得cos2θ=故cos2θ=2cos2θ-1=421.(2011·新课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，432.(2011·上海高考)若三角方程sinx=0与sin2x=0的解集分别为E，F,则()(A)E

F

(B)E

F

(C)E=F

(D)E∩F=Ø【解析】选A.因为sinx=0，sin2x=0，所以角x和角2x的终边都在x轴上，所以E={x|x=kπ,k∈Z}，F={x|

k∈Z}，所以E

F.432.(2011·上海高考)若三角方程sinx=0与sin443.(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4,y)是角θ终边上一点，且则y=______.【解析】由P(4，y)是角θ终边上一点，且可知y＜0，根据任意角的三角函数的定义得化简得y2=64，解得y=-8.答案：-8443.(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边45454646471.三角函数的定义及应用是本节的考查重点，注意三角函数值符号的确定.2.主要以选择题、填空题的形式考查，题目属于低档题.471.三角函数的定义及应用是本节的考查重点，注意三角函数值481.角的有关概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所成的图形.(2)分类：_____、_____、_____.(3)终边相同的角：与角α终边相同的角可构成集合S={β|β=α+______________}.旋转正角负角零角k×360°,k∈Z端点481.角的有关概念旋转正角负角零角k×360°,k∈Z端点49【即时应用】(1)思考：角α为锐角是角α为第一象限角的什么条件？提示：充分不必要条件.因为锐角为大于0小于的角，而第一象限角为(2kπ，2kπ+)(k∈Z).49【即时应用】50(2)若α是第二象限角，判断下列表述是否正确.(在括号内填“√”或“×”)①{α|α=k×360°+45°，k∈Z}()②{α|90°＜α＜180°}()③{α|k×360°+90°＜α＜k×360°+180°，k∈Z}()④{α|α=k×180°+135°,k∈Z}()50(2)若α是第二象限角，判断下列表述是否正确.(在括号内51【解析】①α=k×360°+45°，k∈Z表示的是与45°终边相同的角，是第一象限的角，故不正确.②90°＜α＜180°,不能表示所有第二象限的角，故不正确.③正确.④α=k×180°+135°表示的是当k为偶数时，与135°终边相同的角；当k为奇数时，与315°终边相同的角，不能表示第二象限的角，故不正确.答案：①×②×③√④×51【解析】①α=k×360°+45°，k∈Z表示的是与45522.弧度的定义和公式(1)定义:在以单位长为半径的圆中,_________的弧所对的圆心角为1弧度的角,它的单位符号是____，读作_____.单位长度rad弧度522.弧度的定义和公式单位长度rad弧度53(2)公式角的弧度数公式=_____（弧长用l表示）角度与弧度的换算①1°=______rad弧长公式弧长l=_______扇形面积公式S=_____=_______②1rad=(______)°53(2)公式角的弧度数公式=_____（弧长用l表示54【即时应用】(1)337°30′的弧度数是______.(2)的度数为______.(3)扇形半径为45，圆心角为120°，则弧长为______.【解析】(1)337°30′表示的弧度数为(2)的度数为(3)圆心角120°对应的弧度数为故弧长l=×45=30π.答案：(1)

(2)75°

(3)30π54【即时应用】553.任意角的三角函数(1)定义：设角α终边与单位圆交于P(x,y)，则sinα=___，cosα=___，tanα=_______.(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的________，角α的________和角α的________.yx正弦线余弦线正切线553.任意角的三角函数yx正弦线余弦线正切线56yxOxxA(1,0)PTMyxOPTA(1,0)MyOPTA(1,0)MOyPTA(1,0)M56yxOxxA(1,0)PTMyxOPTA(1,0)MyO57(3)由三角函数的定义可得到以下关系:①sin2α+cos2α=1(平方关系);②(商数关系).57(3)由三角函数的定义可得到以下关系:58【即时应用】(1)已知角α终边上的一点A(2,2)，则tanα=______.(2)满足sinα>的角α的取值集合为______.【解析】(1)58【即时应用】59(2)作出正弦值等于的角α的终边，正弦值大于的角的终边与单位圆的交点在劣弧P1P2上，所以所求角的范围为图中的阴影部分，α的取值集合为答案：(1)1

(2)

59(2)作出正弦值等于的角α的终边，正弦60终边相同的角的表示【方法点睛】终边相同的角的表示及应用(1)所有与α的终边相同的角都可表示为β=α+k×360°,k∈Z.(2)根据与α终边相同的角的表达式,可以写出一定范围内的角,也可以根据α的终边所在的象限,判断α的倍数角所在的象限.(3)与α终边相同的角的表达式中一定是k×360°或k·2π，这一点要注意.

60终边相同的角的表示61【例1】已知角α是第一象限角，确定2α，的终边所在的象限位置.【解题指南】本例可由α所在的象限写出角α的范围，从而得2α、的范围，再确定终边所在的位置.【规范解答】∵α是第一象限角，∴k·2π＜α＜k·2π+(k∈Z).(1)k·4π＜2α＜k·4π+π(k∈Z),即2k·2π＜2α＜2k·2π+π(k∈Z),∴2α的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上.61【例1】已知角α是第一象限角，确定2α，的终边所在的62(2)k·π＜＜k·π+(k∈Z),当k=2n(n∈Z)时,2nπ＜＜2nπ+(n∈Z),∴的终边在第一象限.当k=2n+1(n∈Z)时,(2n+1)π＜＜(2n+1)π+(n∈Z),即2nπ+π＜＜2nπ+(n∈Z),∴的终边在第三象限.综上，的终边在第一象限或第三象限.62(2)k·π＜＜k·π+(k∈Z),63【反思·感悟】1.已知角α所在的象限，应熟练地确定所在的象限：α第一象限第二象限第三象限第四象限区域第一或第三象限第二或第四象限O45°225°xyO45°225°xyO135°315°xyO135°315°xy63【反思·感悟】1.已知角α所在的象限，应熟练地确定所642.若α为第一象限角,则0＜α＜,从而是第一象限角,这种说法是片面的,是错误的.必须用象限角的一般表示法,再用不等式的性质及对整数k的奇、偶讨论后确定或2α所在的象限.642.若α为第一象限角,则0＜α＜,从而是第一象限65【变式训练】若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是______.【解析】当α、β的终边重合时，β=α+k·2π,k∈Z.当α、β的终边互为反向延长线时，β=π+α+k·2π=α+(2k+1)π,k∈Z.答案：β=α+k·2π，k∈Z或β=α+(2k+1)π,k∈Z65【变式训练】若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系66弧度制的应用【方法点睛】弧度制的应用(1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：l=r|α|，扇形面积公式：计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷、方便.(2)应用上述公式时,要先把角统一为用弧度制表示.【提醒】弧度制和角度制不能混用，解决问题时要先统一.66弧度制的应用67【例2】已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α=60°，R=10cm,求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.67【例2】已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.68【解题指南】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制.(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其取最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角α.(3)利用S弓=S扇-S△，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积.68【解题指南】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制.69【规范解答】(1)l=10×

=

(cm).(2)由已知得：l+2R=20,所以=10R-R2=-(R-5)2+25，所以R=5时，S取得最大值25，此时l=10，α=2rad.(3)设弓形面积为S弓,由题知l=

S弓=S扇-S△=69【规范解答】(1)l=10×=(cm).70【互动探究】将本例第(1)小题中的R=10cm改为扇形的AB=

cm,再求弧长l.【解析】因为圆心角α=60°，所以70【互动探究】将本例第(1)小题中的R=10cm改为扇形71【反思·感悟】1.弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下的弧长公式扇形面积公式有着必然的内在联系.2.在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角所在的三角形.71【反思·感悟】1.弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下72【变式备选】扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦AB的长．【解析】设扇形的半径为rcm，弧长为lcm，圆心角的弧度数为α，则有解得由得α＝2，∴|AB|＝2sin1(cm).∴弦长AB为2sin1cm.72【变式备选】扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是473三角函数的定义【方法点睛】1.三角函数定义的理解在直角坐标系xOy中，设P(x,y)是角α终边上任意一点，且|PO|＝r，则73三角函数的定义742.定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解.(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值.

742.定义法求三角函数值的两种情况75【例3】(2012·西安模拟)已知角α的终边经过点P(-4m,3m)(m≠0),则2sinα+cosα的值是()(A)1或-1(B)或-(C)1或-(D)-1或【解题指南】先求出r,再根据三角函数定义求出sinα、cosα,其中由于不知m的正负,因此需分类讨论.75【例3】(2012·西安模拟)已知角α的终边经过点P(-76【规范解答】选B.由题意知,x=-4m,y=3m,①当m>0时,则②当m<0时,故2sinα+cosα的值为或76【规范解答】选B.由题意知,x=-4m,y=3m,77【反思·感悟】1.利用三角函数定义解题时，方法比较灵活，若是角α的终边落到一条直线上，一般要分类讨论.2.任意角的三角函数与锐角三角函数的关系.(1)联系：锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例，它们的基础是建立于相似或直角三角形的性质，“r”同为正值.77【反思·感悟】1.利用三角函数定义解题时，方法比较灵活，78(2)区别：锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.(3)实质：由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.78(2)区别：锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角79【变式训练】已知角θ的终边经过点P(，m)(m≠0)，且sinθ=试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．【解析】由题意，得∵m≠0,故角θ是第二或第三象限角．当时，点P的坐标为()，当时，点P的坐标为79【变式训练】已知角θ的终边经过点P(，m)(m≠80【变式备选】已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，求α的三角函数值.【解析】因为角α的终边过点(a，2a)(a≠0)，所以，x=a,y=2a,当a＞0时,当a＜0时，80【变式备选】已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，求81【易错误区】忽略三角函数值的符号致误【典例】(2011·重庆高考)若且α∈(π，)，则tanα=______.【解题指南】根据角所在的范围，先求出sinα的值，再根据商数关系求出正切值.【规范解答】因为所以所以答案：81【易错误区】忽略三角函数值的符号致误82【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议:误区警示求解本题时，常会出现以下两种失误：(1)易忽视题目中已知条件α的范围，求得sinα的两个值而致错.(2)虽注意到α的范围，但判断错sinα的符号而导致tanα的值错误.

82【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得83备考建议用sin2α+cos2α=1求值时要注意以下两点:(1)题目中若没有限定角α的范围，则sinα或cosα的符号应有两种情况，不可漏掉.(2)若已给出α的范围，则要准确判断在给定范围内sinα或cosα的符号，不合题意的一定要舍去.

83备用sin2α+cos2α=1求值时要注意以下两点:841.(2011·新课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=()【解析】选B.由题意知，tanθ=2，即sinθ=2cosθ，将其代入sin2θ+cos2θ=1中可得cos2θ=故cos2θ=2cos2θ-1=841.(2011·新课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，852.(2011·上海高考)若三角方程sinx=0与sin2x=0的解集分别为E，F,则()(A)E

F

(B)E

F

(C)E=F

(D)E∩F=Ø【解析】选A.因为sinx=0，sin2x=0，所以角x和角2x的终边都在x轴上，所以E={x|x=kπ,k∈Z}，F={x|

k∈Z}，所以E

F.852.(2011·上海高考)若三角方程sinx=0与sin863.(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4,y)是角θ终边上一点，且则y=______.【解析】由P(4，y)是角θ终边上一点，且可知y＜0，根据任意角的三角函数的定义得化简得y2=64，解得y=-8.答案：-8863.(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边8787888889任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数1任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数90三年4考高考指数:★★1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2三年4考高考指数:★★91任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数3任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数92三年4考高考指数:★★1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.4三年4考高考指数:★★931.三角函数的定义及应用是本节的考查重点，注意三角函数值符号的确定.2.主要以选择题、填空题的形式考查，题目属于低档题.51.三角函数的定义及应用是本节的考查重点，注意三角函数值符941.角的有关概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所成的图形.(2)分类：_____、_____、_____.(3)终边相同的角：与角α终边相同的角可构成集合S={β|β=α+______________}.旋转正角负角零角k×360°,k∈Z端点61.角的有关概念旋转正角负角零角k×360°,k∈Z端点95【即时应用】(1)思考：角α为锐角是角α为第一象限角的什么条件？提示：充分不必要条件.因为锐角为大于0小于的角，而第一象限角为(2kπ，2kπ+)(k∈Z).7【即时应用】96(2)若α是第二象限角，判断下列表述是否正确.(在括号内填“√”或“×”)①{α|α=k×360°+45°，k∈Z}()②{α|90°＜α＜180°}()③{α|k×360°+90°＜α＜k×360°+180°，k∈Z}()④{α|α=k×180°+135°,k∈Z}()8(2)若α是第二象限角，判断下列表述是否正确.(在括号内填97【解析】①α=k×360°+45°，k∈Z表示的是与45°终边相同的角，是第一象限的角，故不正确.②90°＜α＜180°,不能表示所有第二象限的角，故不正确.③正确.④α=k×180°+135°表示的是当k为偶数时，与135°终边相同的角；当k为奇数时，与315°终边相同的角，不能表示第二象限的角，故不正确.答案：①×②×③√④×9【解析】①α=k×360°+45°，k∈Z表示的是与45°982.弧度的定义和公式(1)定义:在以单位长为半径的圆中,_________的弧所对的圆心角为1弧度的角,它的单位符号是____，读作_____.单位长度rad弧度102.弧度的定义和公式单位长度rad弧度99(2)公式角的弧度数公式=_____（弧长用l表示）角度与弧度的换算①1°=______rad弧长公式弧长l=_______扇形面积公式S=_____=_______②1rad=(______)°11(2)公式角的弧度数公式=_____（弧长用l表示100【即时应用】(1)337°30′的弧度数是______.(2)的度数为______.(3)扇形半径为45，圆心角为120°，则弧长为______.【解析】(1)337°30′表示的弧度数为(2)的度数为(3)圆心角120°对应的弧度数为故弧长l=×45=30π.答案：(1)

(2)75°

(3)30π12【即时应用】1013.任意角的三角函数(1)定义：设角α终边与单位圆交于P(x,y)，则sinα=___，cosα=___，tanα=_______.(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的________，角α的________和角α的________.yx正弦线余弦线正切线133.任意角的三角函数yx正弦线余弦线正切线102yxOxxA(1,0)PTMyxOPTA(1,0)MyOPTA(1,0)MOyPTA(1,0)M14yxOxxA(1,0)PTMyxOPTA(1,0)MyO103(3)由三角函数的定义可得到以下关系:①sin2α+cos2α=1(平方关系);②(商数关系).15(3)由三角函数的定义可得到以下关系:104【即时应用】(1)已知角α终边上的一点A(2,2)，则tanα=______.(2)满足sinα>的角α的取值集合为______.【解析】(1)16【即时应用】105(2)作出正弦值等于的角α的终边，正弦值大于的角的终边与单位圆的交点在劣弧P1P2上，所以所求角的范围为图中的阴影部分，α的取值集合为答案：(1)1

(2)

17(2)作出正弦值等于的角α的终边，正弦106终边相同的角的表示【方法点睛】终边相同的角的表示及应用(1)所有与α的终边相同的角都可表示为β=α+k×360°,k∈Z.(2)根据与α终边相同的角的表达式,可以写出一定范围内的角,也可以根据α的终边所在的象限,判断α的倍数角所在的象限.(3)与α终边相同的角的表达式中一定是k×360°或k·2π，这一点要注意.

18终边相同的角的表示107【例1】已知角α是第一象限角，确定2α，的终边所在的象限位置.【解题指南】本例可由α所在的象限写出角α的范围，从而得2α、的范围，再确定终边所在的位置.【规范解答】∵α是第一象限角，∴k·2π＜α＜k·2π+(k∈Z).(1)k·4π＜2α＜k·4π+π(k∈Z),即2k·2π＜2α＜2k·2π+π(k∈Z),∴2α的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上.19【例1】已知角α是第一象限角，确定2α，的终边所在的108(2)k·π＜＜k·π+(k∈Z),当k=2n(n∈Z)时,2nπ＜＜2nπ+(n∈Z),∴的终边在第一象限.当k=2n+1(n∈Z)时,(2n+1)π＜＜(2n+1)π+(n∈Z),即2nπ+π＜＜2nπ+(n∈Z),∴的终边在第三象限.综上，的终边在第一象限或第三象限.20(2)k·π＜＜k·π+(k∈Z),109【反思·感悟】1.已知角α所在的象限，应熟练地确定所在的象限：α第一象限第二象限第三象限第四象限区域第一或第三象限第二或第四象限O45°225°xyO45°225°xyO135°315°xyO135°315°xy21【反思·感悟】1.已知角α所在的象限，应熟练地确定所1102.若α为第一象限角,则0＜α＜,从而是第一象限角,这种说法是片面的,是错误的.必须用象限角的一般表示法,再用不等式的性质及对整数k的奇、偶讨论后确定或2α所在的象限.222.若α为第一象限角,则0＜α＜,从而是第一象限111【变式训练】若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是______.【解析】当α、β的终边重合时，β=α+k·2π,k∈Z.当α、β的终边互为反向延长线时，β=π+α+k·2π=α+(2k+1)π,k∈Z.答案：β=α+k·2π，k∈Z或β=α+(2k+1)π,k∈Z23【变式训练】若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系112弧度制的应用【方法点睛】弧度制的应用(1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：l=r|α|，扇形面积公式：计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷、方便.(2)应用上述公式时,要先把角统一为用弧度制表示.【提醒】弧度制和角度制不能混用，解决问题时要先统一.24弧度制的应用113【例2】已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α=60°，R=10cm,求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.25【例2】已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.114【解题指南】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制.(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其取最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角α.(3)利用S弓=S扇-S△，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积.26【解题指南】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制.115【规范解答】(1)l=10×

=

(cm).(2)由已知得：l+2R=20,所以=10R-R2=-(R-5)2+25，所以R=5时，S取得最大值25，此时l=10，α=2rad.(3)设弓形面积为S弓,由题知l=

S弓=S扇-S△=27【规范解答】(1)l=10×=(cm).116【互动探究】将本例第(1)小题中的R=10cm改为扇形的AB=

cm,再求弧长l.【解析】因为圆心角α=60°，所以28【互动探究】将本例第(1)小题中的R=10cm改为扇形117【反思·感悟】1.弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下的弧长公式扇形面积公式有着必然的内在联系.2.在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理地利用圆心角所在的三角形.29【反思·感悟】1.弧度制下的弧长、扇形面积公式与角度制下118【变式备选】扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求圆心角的弧度数和弦AB的长．【解析】设扇形的半径为rcm，弧长为lcm，圆心角的弧度数为α，则有解得由得α＝2，∴|AB|＝2sin1(cm).∴弦长AB为2sin1cm.30【变式备选】扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4119三角函数的定义【方法点睛】1.三角函数定义的理解在直角坐标系xOy中，设P(x,y)是角α终边上任意一点，且|PO|＝r，则31三角函数的定义1202.定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解.(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值.

322.定义法求三角函数值的两种情况121【例3】(2012·西安模拟)已知角α的终边经过点P(-4m,3m)(m≠0),则2sinα+cosα的值是()(A)1或-1(B)或-(C)1或-(D)-1或【解题指南】先求出r,再根据三角函数定义求出sinα、cosα,其中由于不知m的正负,因此需分类讨论.33【例3】(2012·西安模拟)已知角α的终边经过点P(-122【规范解答】选B.由题意知,x=-4m,y=3m,①当m>0时,则②当m<0时,故2sinα+cosα的值为或34【规范解答】选B.由题意知,x=-4m,y=3m,123【反思·感悟】1.利用三角函数定义解题时，方法比较灵活，若是角α的终边落到一条直线上，一般要分类讨论.2.任意角的三角函数与锐角三角函数的关系.(1)联系：锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例，它们的基础是建立于相似或直角三角形的性质，“r”同为正值.35【反思·感悟】1.利用三角函数定义解题时，方法比较灵活，124(2)区别：锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.(3)实质：由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.36(2)区别：锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角125【变式训练】已知角θ的终边经过点P(，m)(m≠0)，且sinθ=试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．【解析】由题意，得∵m≠0,故角θ是第二或第三象限角．当时，点P的坐标为()，当时，点P的坐标为37【变式训练】已知角θ的终边经过点P(，m)(m≠126【变式备选】已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，求α的三角函数值.【解析】因为角α的终边过点(a，2a)(a≠0)，所以，x=a,y=2a,当a＞0时,当a＜0时，38【变式备选】已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，求127【易错误区】忽略三角函数值的符号致误【典例】(2011·重庆高考)若且α∈(π，)，则tanα=______.【解题指南】根据角所在的范围，先求出sinα的值，再根据商数关系求出正切值.【规范解答】因为所以所以答案：39【易错误区】忽略三角函数值的符号致误128【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议:误区警示求解本题时，常会出现以下两种失误：(1)易忽视题目中已知条件α的范围，求得sinα的两个值而致错.(2)虽注意到α的范围，但判断错sinα的符号而导致tanα的值错误.

40【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得129备考建议用sin2α+cos2α=1求值时要注意以下两点:(1)题目中若没有限定角α的范围，则sinα或cosα的符号应有两种情况，不可漏掉.(2)若已给出α的范围，则要准确判断在给定范围内sinα或cosα的符号，不合题意的一定要舍去.

41备用sin2α+cos2α=1求值时要注意以下两点:1301.(2011·新课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=()【解析】选B.由题意知，tanθ=2，即sinθ=2cosθ，将其代入sin2θ+cos2θ=1中可得cos2θ=故cos2θ=2cos2θ-1=421.(2011·新课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，1312.(2011·上海高考)若三角方程sinx=0与sin2x=0的解集分别为E，F,则()(A)E

F

(B)E

F

(C)E=F

(D)E∩F=Ø【解析】选A.因为sinx=0，sin2x=0，所以角x和角2x的终边都在x轴上，所以E={x|x=kπ,k∈Z}，F={x|

k∈Z}，所以E

F.432.(2011·上海高考)若三角方程sinx=0与sin1323.(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4,y)是角θ终边上一点，且则y=______.【解析】由P(4，y)是角θ终边上一点，且可知y＜0，根据任意角的三角函数的定义得化简得y2=64，解得y=-8.答案：-8443.(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边13345134461351.三角函数的定义及应用是本节的考查重点，注意三角函数值符号的确定.2.主要以选择题、填空题的形式考查，题目属于低档题.471.三角函数的定义及应用是本节的考查重点，注意三角函数值1361.角的有关概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所成的图形.(2)分类：_____、_____、_____.(3)终边相同的角：与角α终边相同的角可构成集合S={β|β=α+______________}.旋转正角负角零角k×360°,k∈Z端点481.角的有关概念旋转正角负角零角k×360°,k∈Z端点137【即时应用】(1)思考：角α为锐角是角α为第一象限角的什么条件？提示：充分不必要条件.因为锐角为大于0小于的角，而第一象限角为(2kπ，2kπ+)(k∈Z).49【即时应用】138(2)若α是第二象限角，判断下列表述是否正确.(在括号内填“√”或“×”)①{α|α=k×360°+45°，k∈Z}()②{α|90°＜α＜180°}()③{α|k×360°+90°＜α＜k×360°+180°，k∈Z}()④{α|α=k×180°+135°,k∈Z}()50(2)若α是第二象限角，判断下列表述是否正确.(在括号内139【解析】①α=k×360°+45°，k∈Z表示的是与45°终边相同的角，是第一象限的角，故不正确.②90°＜α＜180°,不能表示所有第二象限的角，故不正确.③正确.④α=k×180°+135°表示的是当k为偶数时，与135°终边相同的角；当k为奇数时，与315°终边相同的角，不能表示第二象限的角，故不正确.答案：①×②×③√④×51【解析】①α=k×360°+45°，k∈Z表示的是与451402.弧度的定义和公式(1)定义:在以单位长为半径的圆中,_________的弧所对的圆心角为1弧度的角,它的单位符号是____，读作_____.单位长度rad弧度522.弧度的定义和公式单位长度rad弧度141(2)公式角的弧度数公式=_____（弧长用l表示）角度与弧度的换算①1°=______rad弧长公式弧长l=_______扇形面积公式S=_____=_______②1rad=(______)°53(2)公式角的弧度数公式=_____（弧长用l表示142【即时应用】(1)337°30′的弧度数是______.(2)的度数为______.(3)扇形半径为45，圆心角为120°，则弧长为______.【解析】(1)337°30′表示的弧度数为(2)的度数为(3)圆心角120°对应的弧度数为故弧长l=×45=30π.答案：(1)

(2)75°

(3)30π54【即时应用】1433.任意角的三角函数(1)定义：设角α终边与单位圆交于P(x,y)，则sinα=___，cosα=___，tanα=_______.(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的________，角α的________和角α的________.yx正弦线余弦线正切线553.任意角的三角函数yx正弦线余弦线正切线144yxOxxA(1,0)PTMyxOPTA(1,0)MyOPTA(1,0)MOyPTA(1,0)M56yxOxxA(1,0)PTMyxOPTA(1,0)MyO145(3)由三角函数的定义可得到以下关系:①sin2α+cos2α=1(平方关系);②(商数关系).57(3)由三角函数的定义可得到以下关系:146【即时应用】(1)已知角α终边上的一点A(2,2)，则tanα=______.(2)满足sinα>的角α的取值集合为______.【解析】(1)58【即时应用】147(2)作出正弦值等于的角α的终边，正弦值大于的角的终边与单位圆的交点在劣弧P1P2上，所以所求角的范围为图中的阴影部分，α的取值集合为答案：(1)1

(2)

59(2)作出正弦值等于的角α的终边，正弦148终边相同的角的表示【方法点睛】终边相同的角的表示及应用(1)所有与α的终边相同的角都可表示为β=α+k×360°,k∈Z.(2)根据与α终边相同的角的表达式,可以写出一定范围内的角,也可以根据α的终边所在的象限,判断α的倍数角所在的象限.(3)与α终边相同的角的表达式中一定是k×360°或k·2π，这一点要注意.

60终边相同的角的表示149【例1】已知角α是第一象限角，确定2α，的终边所在的象限位置.【解题指南】本例可由α所在的象限写出角α的范围，从而得2α、的范围，再确定终边所在的位置.【规范解答】∵α是第一象限角，∴k·2π＜α＜k·2π+(k∈Z).(1)k·4π＜2α＜k·4π+π(k∈Z),即2k·2π＜2α＜2k·2π+π(k∈Z),∴2α的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上.61【例1】已知角α是第一象限角，确定2α，的终边所在的150(2)k·π＜＜k·π+(k∈Z),当k=2n(n∈Z)时,2nπ＜＜2nπ+(n∈Z),∴的终边在第一象限.当k=2n+1(n∈Z)时,(2n+1)π＜＜(2n+1)π+(n∈Z),即2nπ+π＜＜2nπ+(n∈Z),∴的终边在第三象限.综上，的终边在第一象限或第三象限.62(2)k·π＜＜k·π+(k∈Z),151【反思·感悟】1.已知角α所在的象限，应熟练地确定所在的象限：α第一象限第二象限第三象限第四象限区域第一或第三象限第二或第四象限O45°225°xyO45°225°xyO135°315°xyO135°315°xy63【反思·感悟】1.已知角α所在的象限，应熟练地确定所1522.若α为第一象限角,则0＜α＜,从而是第一象限角,这种说法是片面的,是错误的.必须用象限角的一般表示法,再用不等式的性质及对整数k的奇、偶讨论后确定或2α所在的象限.642.若α为第一象限角,则0＜α＜,从而是第一象限153【变式训练】若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是______.【解析】当α、β的终边重合时，β=α+k·2π,k∈Z.当α、β的终边互为反向延长线时，β=π+α+k·2π=α+(2k+1)π,k∈Z.答案：β=α+k·2π，k∈Z或β=α+(2k+1)π,k∈Z65【变式训练】若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系154弧度制的应用【方法点睛】弧度制的应用(1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：l=r|α|，扇形面积公式：计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷、方便.(2)应用上述公式时,要先把角统一为用弧度制表示.【提醒】弧度制和角度制不能混用，解决问题时要先统一.66弧度制的应用155【例2】已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α=60°，R=10cm,求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.67【例2】已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.156【解题指南】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制.(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其取最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角α.(3)利用S弓=S扇-S△，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积.68【解题指南】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制.157【规范解答】(1)l=10×

=

(cm).(2)由已知得：l+2R=20,所以=10R-R2=-(R-5)2+25，所以R=5时，S取得最大值25，此时l=10，α=2rad.(3)设弓形面积为S弓,由题知l=

S弓=S扇-S△=69【规范解答】(1)l=10×=(cm).158【互动探究】将本例第(1)小题中的R=10cm改为扇形的AB=

cm,再求弧长l.【解析】因为圆心角α=60°，所以70【互动探究】将本例第(1)小题中的R=10cm改为扇形159【反思·感悟】1.弧度制下的弧长、扇