山东省青岛市第二中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

ft东省青岛市第二中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题12x3,1x2已知函数f(x)1 x ，则下列说法正确的是（）2f2,x2 1yf(xkx4k的取值范围为

,124 6xf(x12n

0(nN*有2n4个不同的解x[1,，不等式2xf(x30恒成立x[2n12n](nN*)f(x)x1【答案】AC【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D.【详解】3当1x 时，f(x)2x2；32

3x2时，f(x)42x；2当2x3，则1

x3，f(x)

fx

x1；2 2 2

2 2 当3x43x2，f(x)

fx2x；2 2

2 2 当4x6，则2

x3，f(x)12

xf2

x1；4 2 当6x8，则3

x4，f(x)2

fx1x； 2 4 依次类推，作出函数f(x)的图像：Ayf(xkx4yfxykx4个交点，如图，直线ykx的斜率应该在直线m,n之间，又k

，k 1，k

1，故A正确；m 6 n 24

24 61 11对于B，当n1时，f(x)

23个交点，与2n46不符合，故B错误；Cx[1,，不等式2xf(x30f(x)

32x恒成立，由图3知函数f(x)的每一个上顶点都在曲线y3上，故f(x) 恒成立，故C正确；32x 2x对于D，取n1，x[1,2]，此时函数f(x)的图像与x轴围成的图形的面积为111

1，故D错误；2 2【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；.f(xsin0f(x0

)fx0

11f(x)在2x,x0 0

上有最小值，无最大值．则下列说法正确的是（ ）f(x

1)1

x

0，则f(x)sin2x0 2 0 6 f(x)6 个【答案】AC【分析】

f(x)在202由题意知xx0 0

1在一个波谷的位置且有对称性，有f(x0

1)1且2

23，进而可判断ABC的正误，又[0,303]101203202个零点，进而可知D.【详解】f(xfx11f(x)在xx

上有最小值，无最大值，0 0 2 0 0∴x,x0 0

1在一个波谷的位置且有对称性，即f(x0

1)1，2(x0

1)(x0

)2，32∴f(x)的最小正周期为T

3，故A、C正确，B错误；在[0,303]上共有101个周期，若每个周期有两个零点时，共有202个零点，此时区间端点不为零点；若每个周期有三个零点时，共有203个零点，此时区间端点为零点；∴0,303上零点个数最少为201个，即每个周期有三个零点时，去掉区间的两个端点，D【点睛】关键点点睛：由条件推出xx0 0

1在一个波谷的位置且有对称性，可确定f(x0

1)及2最小正周期，再由正弦函数的性质判断0,303上零点个数，进而确定最少有多少个零点.ln(x2),x2设函数f(x) ，g（x）＝x2-（m＋1）x＋m2-2，下列选项正确的有x1,x2（）时，f[f（x）]＝m5个不相等的实根时，g[g（x）]＝m4个不相等的实根0＜m＜1时，f[g（x）]＝m6个不相等的实根m＝2时，g[f（x）]＝m5个不相等的实根【答案】BCD【分析】作出函数f(x)的图象，利用函数f(x)的图象和函数g(x)的图象分析可解得结果.【详解】作出函数f(x)的图象：f(x)tff(xf(t)m；m3f(x)mt1f(x)t2个根，所以A错误；2

2

2e3f(x)t1

有1个根，方程②当m0g(x)x2x2g[g(x)]0g(x)t，g(t)得t1

2

1，由t2x2x2x1 1

，x ，1 1711 171 17由t 1x2x2x2 3

x ，所以B正确；1 511 51 5③g(x)t(tm，因为0m1f(tm有3个实根根ttt，1 2 3设tt1 2

t，所以t3

12

13m1

2)m，3m22m9 3m22m9g(x)x2(m1)xm22(x )2 ，2 4 43m22m9 3m22m9 3m22m5t m1 ，1 4 4 4因为3m22m5在(0,1)上递减，所以3m22m53250，3m22m5 3m22m5所以t1

0，所以t ，4 1 4即方程f(t)m的最小根t1

大于g(x)的最小值，g(x)t1

g(x)t2

g(x)t3

都有2个不等实根，且这6个实根互不相等，0＜m＜1时，f[g（x）]＝m6C正确；④f(x)tg(t)m，当m2g(t)2化为t20，得t1

3，t2

0；当t 0f(x)，得x2

1，x2

3；当t3f(x得x1

4，x4

5

2e3符合题意，所以D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，利用数形结合法求解是解题关键. 2fx

ex1ex

4sin

x，则下列说法正确的是（）2yfx是偶函数，且在上不单调yfx是奇函数，且在上不单调递增yfx在π上单调递增 2,0 对任意mR【答案】AD【分析】

mfm，且fm0由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A、B、C、D.【详解】 2解：对A，

fx

ex1ex

4sin

x=e2x1ex

2cosx，R，关于原点对称，fx=e2x12cos(x)ex

e2x12cos(x)f(x)，exyfxy轴对称，fx在A正确；1对Bf(x)ex2sinxex1 1f(x)ex

ex

2sin(x)=(ex

2sinx)fx)，exf(x)是奇函数，1g(x)ex2sinxex1g(x)ex

2cosx2+2cosx0，exf(x在B错误；对C，

f(x)ex

12sinxf(x在上单调递增，ex又 f0，xπ,0fx)0， 2 2yfx在π,0上单调递减，故C错误； 2 2D，yfx是偶函数，且在(0,上单调递增，fmfmf(mf(0)0D正确.故选：AD.【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；. 2x

1,x0

x f

x 2

x a210的根的个数可log2

x1,x0能为（）A．2【答案】ACD【分析】

B．6 C．5 D．4f(x)f2x2fxa210f(x)的范围，再.【详解】画出f(x)的图象如图所示：令tf(x，则t2a210，则4(2a2，当0，即a22t1f(x1y1yf(x的图象有两个交点，2a2f2x2fxa2102a22a2222a2当时，即a222a2222a2

，则0 22a2222a22a2

1

，1

1

1，2a2当t2a2

f(x1

(1,1)，则x有2解，当t1

时，若t(1,2]，则x有3解；若t(2,1 2]，则x有2解，2a2f2x2fxa21054个，CD2a2【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大. 2 ,x2已知定义域为R的奇函数f(x)，满足f(x)2x3 ，下列叙述正确的x22x2,0x2是（）kxf(x)kx7个不相等的实数根当xx1 2

1f(x1

)f(x)2x(0,af(x)1，则a[1,5]2xf(x)【答案】AC【分析】

f(xm的所有实数根之和为零，则m32 2f(xf(x式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案【详解】函数是奇函数，故f(x)在R上的解析式为： 22x

,x2x22x2,2xf(x)0,x0x22x2,0x2 2 ,x22x3绘制该函数的图象如所示：1对A：如下图所示直线l与该函数有7个交点，故A正确；1B：当xx1 2

1B错误；5对C：如下图直线l2:y1，与函数图交于(1,1),(2,1)，5故当f(x)的最小值为1时有a[1, ]，故C正确52Df(x)

3 13时，函数的零点有x 、x1

2、x1 2；2 6 2 2若使得其与f(x)m的所有零点之和为0，3 3则m2

或m ，如图直线l、l8 4

，故D错误【点睛】本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立Fx在区间上的值域为，则称区间Fx的“”，另外，定义区间Fx的为2ba，已知函数fxx21，则（）fx”1 5,1 5

fx22 2

是 的一完美区”5fx“的”的和为355fx“””的和为325【答案】AC【分析】xfx的值域，即可判断A；对于B，结合函数值域特点即可判断；对于C、D，讨论b1与b1两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.【详解】Axfxx211x2，则其值域为“定义，所以A正确；1 5对于B，因为函数fxx210，所以其值域为0,1 52在定义域与值域范围相同情况，所以B错误；C，由定义域为，可知0ab

0，所以不存当b1时，此时fxx211x2，所以fx在内单调递减，fa1a2b则满足f

b

1b2

a，化简可得a2ab2b， 12

1

a b1

a

1b即a2 b2，所以 2 2或 2 2 ，11 11解得ab（舍）或ab1，由ab由ab21

解得b1或b0（舍），所以ab10，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为为2ba2；当b1若0a1，则fxmin

f0.fx在的值域为，则a0,fbb，因为b1fbb21b，即满足51 51 551 51 5b2b10，解得b

，b2

（舍）.所以此时完美区间为0,2

2 ，则“为2ba22

1 5511 55②若1afxx21xfx在fx的值域为根，

faa21a，则fbb21

，则a,b

为方程x2x10的两个不等式实数51 15

51 51 551 51 5解得x ，

，所以 ，与1a矛盾，所以此时不存在完美1 2区间.

2 2 b 255综上可知，函数fxx21的复区间长的和为2155D错误；【点睛】

3

，所以C正确，本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.fxx22x0已知函数Afx

x22x

,则下列判断正确的是（）B,．对任意x xB,1 2

R,则有x1

xfx2

fx2

0CxR,fxfx2．若函数yfxmx,则实数m的取值范围是,0【答案】CD【分析】

4,ABx进行分类讨论，判断C选项；对选项构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m.【详解】 对于A选项，当x0时，x f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)所以函数fx不是奇函数，故A错误；对于By2x1xyx22x1x1y2x1在区间[0,yx22x1在区间(,0)上单调递增，并且0220102201fxR上单调递增

x,x,x

R，都有fx

fx1 2 1 2 1 2则xx1 2

0,fx1

fx2

0x1

xfx2

fx2

0，故B错误；对于Cx0x0，则f(x)(x)22(x1x22x1f(xf(x)x22x1x22x12x0f(0)f(0)1f(0)f(0)2x0x0f(x)(x)22(x1x22x1则f(x)f(x)x22x1x22x12xRfxfx2，故C正确；Dx0yf010x0不是该函数的零点fx当x0时，fxmx0 fxffxymg(x)

，函数ffx由题意可知函数

y

g(x)

的图象有两个不同的交点 fx0 x1 2,

f(x)

x,1 2因为 时，

， 时， x12,x 2g(x)x12,12

x0 x 1x0

xx,x1

22gx

g

x

1

1

xxxx1当 时，设0 x1

x 1， 2 1

1 x 2 x

1 2 1212xx1212x12

0,x

10g

g

0g

gx11 2 121

x

xx

1

1 22 2设1x1

x，2

x g x 1 2

2 1xx

0，即gx1

gx212所以函数g(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)上单调递增g(x) 1 2,0 2同理可证，函数g(1)1121

在区间

上单调递减，在区间

上单调递增函数g(x)图象如下图所示由图可知，要使得函数

y

g(x)

的图象有两个不同的交点ffx则实数m的取值范围是,0【点睛】

4,，故D正确；本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范围，属于较难题.二、导数及其应用多选题fxsinxx3ax，则下列结论正确的是（）fx是奇函数Cfx为增函数，则a1【答案】ACD【分析】

当a3fx恰有两个零点D．当a3时，函数fx恰有两个极值点利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；利用导数分析函数fxB选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C在定理可判断D.【详解】对于A选项，函数fxsinxx3ax的定义域为R，fxsinxx3axsinxx3axfx，函数fxA选项正确；对于B选项，当a3时，fxsinxx33x，则fxcosx3x230，fxRf00fx有且只有一个零点，B选项错误；对于C选项，fxcosx3x2a，fxfx0xR恒成立，即a3x2cosx.gx3x2cosxgx6xsinxgx6cosx0，gxR上为增函数，x0gxg00gx为减函数；x0gxg00gx.所以，gxmin

g01，a1，C选项正确；D选项，当a3fxsinxx33xfxcosx3x23.Bfx在,0上单调递减，在上单调递增，f1f1cos10f00，由零点存在定理可知，函数fx在和0,1上都存在一个零点，因此，当a3fx.故选：ACD.【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：fxD上单调递增fx0D上恒成立；fxD上单调递减fx0D上恒成立；fxD上不单调fxD上存在极值点；fxD上存在单调递增区间Dfx0成立；fxD上存在单调递减区间Dfx0成立.fxlnxgxxlnx，下列命题，正确的是（）xfx在0,e上单调递增，在单调递减不等关系e3e成立C．若0xx时，总有ax2x22gx2gx

恒成立，则a11 2 2 1 2 1D．若函数hxgxmx2有两个极值点，则实数m【答案】AC【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项的正误；由函数fx在区间e,上的单调性比较3、e的大小关系，可判断B选项的正误；分析得出函数sx2gxax2在上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a的取值范围，可判断C的正误；分析出方程2m1lnx在上有两个根，数形结合求出m的取值范围，x可判断D选项的正误.【详解】对于Afx

lnx的定义域为fx1lnx.x x2fx0，可