乌鲁木齐地区2021-2022学年度高三第二次诊断性测验数学(理)试题及答案解析

高考模拟考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.3

1 12i 12i

（其中i为虚数单位）的虚部为（ ）3i C．3

D．3i5 5 5 5若集合A{x|1x2}，B{x|xb,bR}，则AB的一个充分不必要条件是（ A．b2 B．1b2 C．b1 D．b1已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x，方差为s2，则（ ）A．x4，s22 B．x4，s22 C．x4，s22 D．x4，s22已知椭圆Cx2y2a2 b2

b0)为（ ）A．x2y21 B．x2y21 C．x2y21 D．x2y2136 32 9 8 9 5 16 12已知正项等比数列n

}满足a3

1，a5

与3a2

的等差中项为12

，则a1

的值为（ ）A．4 B．2 C．1 D．12 4xy40已知变量x，y满足约束条件2x2 ，若z2xy，则z的取值范围是（ ）y1A．[5,6) B．[5,6] C．(2,9) D．[5,9]七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形号板为一个等腰直角三角形号板为一个正方形号板为一个平行四边现从这个正方形内任取一点，则点取自阴影部分的概率是（ ）1

1

3

38 4 16 88.已知函数f(x)sin(x) 3cos(x)

0,的最小正周期为，且f

2 2xf(x)，则（ ）3 3 A．f(x)在0,上单调递减 B．f(x)在,上单调递增2 2 6 3C．f(x)在0,上单调递增 D．f(x)在,上单调递减2 2 6 3某程序框图如图所示，该程序运行后输出M，N的值分别为（ ）A．13，21 B．34，55 C．21，13 D．55，34设函数f(xlog12

(1x2)

1 ，则使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范围是（ ）12xA．(,1] ) C．1

D．,1

1,3

3设F1

x22 a2

y2b2

0,b0)FM，1延长FM与双曲线的右支相交于点N，若MN3FM，则此双曲线的离心率为（ ）113

5

14

2 62设xx1

3 3分别是函数f(x)xax和g(x)xloga

3x1的零点（其中a1，则x1

4x2

的取值范围是（ ）A．[4,) B．(4,) C．[5,) D．(5,)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.已知向量a(1,1)，b(2,x)，若ab与b平行，则实数x的值是 ．某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边2 3，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓菱形，左视图是个半则该几何体的体积为 ． a 15x 2x 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x4项的系数为 ． x x如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签：原点处标数字0，记为a0

；点(1,0)处标数字1，记为a；1点(1,1)处标数字0，记为a2

；点(0,1)1，记为a；3点(1,1)-2，记为a4

；点(1,0)1，记为a；5点(1,1)处标数字0，记为a6

；点(0,1)1，记为a；7…以此类推，格点坐标为i,j)的点处所标的数字为ij（i，j均为整数，记Sn

aa1

a，则nS ．2018三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.在中，内角ABC所对的边分别为abc，且bcosAacosB.tanB3tanA；若b2c2a2 ，且的面积为 3，求a.如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB//CD，且CD6，AB12，将它沿对称轴OO1

折起，使平面ADOO平面BCOO，点P为BC中点，点E在线段AB上（不同于A，B两点，连接1 1OE并延长至点Q，使AQ//OB.ODPAQ；BE2AE，求二面角CBQA19.2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40) 内的产品视为合格品，否则为不合格图3是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布.表1：设备改造后样本的频数分布表质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]频数4369628324完成下面的22列联表，并判断是否有99改造有关；设备改造前 设备改造后 合计合格品不合格品合计根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；[25,30)内的定．．．240[20,25)或[30,35)180的合格品定为三等品，每件售价1201的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合．．．．．．．．的费用为X（单位：元，求X附：P(K2k0k0

) 2.072n(adbc)2

0.1002.706

0.0503.841

0.0255.024

0.0106.635K2

(ab)(cd)(ac)(bd)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1

：x2

4y，直线l与抛物线C1

交于A，B两点.若直线OAOB的斜率之积为1，证明：直线l过定点；4ABM在曲线C2

：y4 x2(2 2x2 2)上，求AB 的最大.141已知函数f(x)alnxx2(2a1)x(aR求a的取值范围；设xx1 2

是f(xxx1 2

2a.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]x11t3在直角坐标系xOy中，过点P(1,2)的直线l的参数方程为 23y2

（t为参数）.以原点O为极点，xt 2轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin.求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；PMPN1 1PMPN若直线l与曲线C相交于MN两点，求

23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)2xx2.求不等式f(x)6的解集；xR时，f(xxa恒成立，求实数a济南市高考数学模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-5:CDABA 6-10:ACDBC 11、12：BD二、填空题13.2 14.三、解答题

15.-48 16.-249333【解析】根据正弦定理，sinBcosAcosBsinA2sinC2sin(AB，sinBcosAcosBsinA2(sinBcosAcosBsinA，sinBcosA3cosBsinAtanB3tanA.3bc3b2c2a23bc3b2c2a2

，∴cosA

2bc

，2bc 2由0A，得：A6

，tanA

，∴tanB ，33333由0B，得：B

，所以C

，ac，3 61 1 3 2 2由S acsin a 3，得：a .2 3 2 2【解析】（1【解法一（几何法】取OO1

的中点为F，连接AF，PF；∴PF//OB，∵AQ//OBPF//AQPF、A、Q四点共面，又由图1可知OBOO，1∵平面ADOO平面BCOO，1 1且平面ADOO 平面BCOOOO，1 1 1OB平面ADOO，1PF平面ADOO，1又∵OD平面ADOO，1∴PFOD.ADOOAOOOOFOD，1 1 1AOFOOD，∴AOFOOD，∴FAODOO，1 1 1∴FAOAODDOO1AOD90，∴AFOD.∵AF PFFAFPAQPFPAQ，∴OD平面PAQ .（1【解法二（向量法】由题设知OAOBOO1

两两垂直，所以以O为坐标原点，OA，OB，OO1

所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m，则相关各点的坐标为O(0,0,0)，A(6,0,0)B(0,6,0)C(0,3,6)D(3,0,6)Q(6,m,0).PBC

9P(0, ,3)，2∴OD(3,0,6)，AQ(0,m,0)，PQ(6,m9,3)，2∵ODAQ0，ODPQ0，∴ODAQ，ODPQ，且AQ与PQ不共线，∴OD平面PAQ.（2）∵BE2AE，AQ//OB，∴AQ1OB3，2则Q(6,3,0)QB(6,3,0)BC(0,3,6).设平面CBQ的法向量为n1

(x,y,z)，n

QB0

6x3y0

2 x1∵1

，∴

1，则y ，

，则n

，nBC01

3y6z0 1ABQ的法向量为n2

(0,0,1)，设二面角CBQA的平面角为，由图可知，为锐角，则cos

nn1 2nn1

6.6【解析】31得到22列联表：设备改造前设备改造后合计合格品172192364不合格品28836合计200200400将22列联表中的数据代入公式计算得：n(adbc)2 400(172828192)2K2 12.210.(ab)(cd)(ac)(bd) 20020036436∵12.2106.635，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.31172

43，设备改造后产品为合格品的192

200 5024；显然设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优.200 251知：1，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为11，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为1221，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为1331，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为166二等品的频率为 ；三等品的频率为 .由已知得：随机变量X的取值为：240，300，360，420，480.X

111，6 6 361 1 X30C1 ，1 1 2 3 6 91 1 1 1 5X36C1 ，2 2 6 3 3 181 1 1X42C1 ，2 2 3 3X

111.2 2 4∴随机变量X的分布列为：XX240300360420480P136195181314∴（X2401300136054201480136 9 18 3 【解析】

400.设Ax,y，Bx,y，1 1 2 2由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxm，x24y由 ，得：x24kx4m0，ykxm

k2

0，xx1 1 1

4k，xx12

4m，yy

x2 x24 422

xx mk

1 2 1

1

，OA

xx1 2

xx1 2

16 4由已知：k kOA

1，所以m1，4∴直线lykx1，所以直线l过定点(0,1).设

x,y0

，则x 0

xx1 22k，y2 212

kx0

m2k2m，将M x,y0 0

带入C21

：y4

x2(24

x2 2)得：2k2m4 (2k)2，∴m43k2.2222422222∵2

x 222 22

，∴2

2k2

，∴

k ，2又∵16k2m 16(k243k2)32(2k2)0，∴故k的取值范围是：k( 2, 2).2

k ，AB

1k2 (x1k2 (xx)24xx1 2 121k2 16(k2m)

，将m43k2代入得：22

k212k2AB4

k21 2k

4 22

6 ，当且仅当k212k2，即k

时取等号，2222所以AB的最大值为6 .2【解析】（1【解法一】函数f(x)的定义域为：(0,).a (2x1)(ax)f'(x)

2x2a1 ，x x①当a0时，易得f'(x)0，则f(x)在(0,)上单调递增，则f(x)至多只有一个零点，不符合题意，舍去.②当a②当a0时，令fx'(x0xa，则(0,a)a(a,)f'(x)+0-f(x)增极大减∴f(x)f(x)f(a)a(lnaa1).g(x)lnxx1，∵g'(x110g(x在(0,xg(1)0x1g(x0x1g(x)0.因此：当0a1时，f(x)不符合题意，舍去.

max

ag(a0，则f(x无零点，当a1时，f(x)

max

ag(a)0，∵ 1 f()a( 1)110，∴f(x在区间(1a上有一个零点，∵ 1 e e e2 e e∵f(3a1)aln(3a1)(3a1)2(2a1)(3a1)a[ln(3a1)(3a1)]，h(xlnxx(x1)h'(x110，xh(x在上单调递减，则h(3a1)h(2)ln220，∴f(3a1)ah(3a1)0，∴f(x)在区间(a,3a1)上有一个零点，那么，f(x)恰有两个零点.综上所述，当f(x)有两个不同零点时，a的取值范围是(1,).【解法二】函数的定义域为：(0,.f'(xa2x2a1

(2x1)(ax)，x x①当a0时，易得f'(x0，则f(x在(0,上单调递增，则f(x②当a0时，令f'(x0xa，则∴f(x)

max

f(x)x(0,x(0,a)af'(x)+0(a,)-f(x)增极大减

f(a)a(lnaa1).∴要使函数f(x有两个零点，则必有f(aa(lnaa1)0，即lnaa10，g(alnaa1g'(ag(1)0a1a1时：

110g(a在(0,上单调递增，a∵ 1 2 1 1f()a( 1) 0，e e e2 e∴f(x)在区间

1( ,e

上有一个零点；设h(x)lnxx，∵h'(x)

111xh(x在(0,1)上单调递增，在上单调递减，x x∴h(x)h(1)10，∴lnxx，∴f(x)alnxx2(2a1)xaxx2(2a1)x3axx2x3axx2则f(4a0，∴f(x在区间(a,4a上有一个零点，那么，此时f(x综上所述，当f(x)有两个不同零点时，a的取值范围是(1,).

x(3ax)，【证法一】由（1）可知，∵f(x)a1，且当x(0,a时，f(x)是增函数；x(a时，f(x是减函数；不妨设：x1

x，则：0x2

ax；2F(x)f(xf(2axx(0,2a)，则：F'(x)f'(x)f'(2ax)

a2x(2a1)

a 2(2ax)(2a1)a

a 2

2(xa)2.

x 2axx 2ax x(2ax)x(0,aF'(x0F(xF(a0，∴F(x)0，∴f(x)f(2ax)，∵x(0,a)，∴f(x1

)f(2ax)，1∵f(x1

)f(x2

)，∴f(x2

)f(2ax)，1∵x(a,)，2ax2

(a，f(x在(a上单调递减，∴x 2ax2

，∴xx1

2a.（2【证法二】由（1）可知，∵f(x)a1，且当x(0,a时，f(x)是增函数；x(a时，f(x是减函数；不妨设：x1

x，则：0x2

ax；2F(x)f(axf(axx(0,a，则F'(x)f'(ax)f'(ax)

2(ax)(2a1)

a 2(ax)(2a1)ax ax a a 2 2x2 .ax ax (ax)(ax)x(0,aF'(x0F(x单调递增，F(0)0F(x)0，∴f(axf(ax，∵ax1

(0,a)，∴f(x1

)f(x2

)f(a(ax1

))f(a(ax1

))f(2ax