高考复习之函数与导数100题经典大汇编

已知( xlnx,g( x2+ 3（1）求函数fx)的最小值（2）对一切xÎ(0,+¥),2(xgx)a的取值范围；1）'(x)=lnx+1由'( 0得当

0时fx)0(x)单调递 e当xÎ

1+¥时'(x)0(x)单调递增e mi( (emi3（2）2xlnx x2ax3则a£2lnxx(x+设h( 2lnx+x (x>0),则'( 3)(x1 mi①xÎ(0,1),h¢(x)<0,h(x)单调递减，②xÎ(1,+¥),h¢(x)>0,h(x)单调递增，所以h(x) (1) 4，对一切x(0,+¥),2(x)³g(x)mimi所以a£hmi的切线斜率为0

ax(aÎR),g( b+2lnx(bÎR)，G(x

( g(x)且G(1 0，G(x)在 1求ab（2）设 /

21+

+L+

<1 G(n解：）( QG/( a

1 2lnx(x>0)，由G(1 得：a x又QG/(1 0，则a 1, 4++（2）G/(

1x

(x>0)，

/ 2 n1……5 G( n2 \ 1时，1<11； 2 n n 1 1 1 nn³3时，

1( n n ( 2)(n1 3 nn\1+1+L+1<1+1+1 1+ 1+ 1+L 1

n<11 1< n n 8已知函数( alnx 3(aÎR且a¹0)(x)若函数 (x)的图像在点(2,(2 处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，Î1 x2ë

'(xù在区间(t3)ûa

(p2) p2 ( x解：（Ι由'( x当a0(x)的单调增区间是0,1)(1+¥当a<0时，函数(x)的单调增区间是(1,+¥)，单调减区间是(0,1) 4（Ⅱ）由f'(2 a 1Û 22+2+f 2lnx2 3f' 6x++故g(

+f(

x3+(2

)

2ë ∴g'( 3x2+(4+m)x2∵函数gx)在区间(t3)∴g'(x)=0有两个不等实根且至少有一个在区间(t,3) 7ì't)<又∵函数g'(x)是开口向上的二次函数，且g'(0 2<0，

g'(3)>

…………8由g't)0Ûm23t4Ht

3 4在[1,2]上单调递减，所以H H(1 9；∴m<9t由g'(3 ( m)´ 373

-3

<m<-9

所以当m在(

m+'(--

=+

ë 在区间(t,3)上总存在极值 9 2,( 2ln 2x3.令F( (x)，F(x)=(p-2)x-p+2e-3-2lnx+2x+x

=px-p-2e-2lnx p£0xÎ[1epxp02e2lnx0Fx)0x [1e上不存在x使得hx 2

(x0 112( 2xp2e,QxÎ,e],\22x

2x³0px2p0Fx0在[1e立，故F(x)在[1,e上单调递增。

(

=F(e)=pe-p-4

13

pe-p-

>0

p>4

p

æ4ç

,

………14

èe2- 1( 12

x（ax2a 判断函数(x)在R当()[， ¢(x)=-

e-x(ax2+a+1)+2

e-x×2ax=2

e-x-ax22axa1．……22由于1e-x>0,只需函数g(x)=-ax2+2ax-a- 的符号2当a=0时,g(x)=-1<0，即¢(x)<0，函数(x)在R上是减函数 ……4a>0时,由于……6

4 4 )()()a<0时,解gæ

-- - ---a

<1 --ç在区间ç¥1ç

和区间a

,

)()- - -a

ç1

,1

ga

(--aç综上可知：当≥0时，函数(x)在R上是减函数；当a<0时,函数(x)在区间-, 上

aa- 1 a- 1 --（Ⅱ）当1<a<0时，1 <1,1--

a+)[，)已知函数( ln 1 14(x)

2e设g( x2+2 4，若对任意xÎ(0,2)，xÎ[1,2]，不等式(x)³g(x 求实数b当b2g

m

g(2 4 8问题等价于ïb

ï1

ìbí-1³2b- í-1³b- í-1³4b-解得b

1或1£b12

bÎ

即b£1即b£14bæç¥14ú已知函数( (ax2+x)ex，其中ｅ是自然数的底数，aÎR（１）当a0不等(x)0(（３）当a 0时，求整数ｋ的所有值，使方程(x) 解：⑴因为ex>0，所以不等式(x)>0即为ax2+x>0，又因为a0xx1)0a所以不(x)0的解集为0,

) 4a⑵¢( (2 1)e ( x)e (2 1) 1]e①当a=0时，¢(x)=(x+1)ex，¢(x)≥0在[-11]上恒成立，当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求 62 (2 1) 4 4 1>02 所以gx)0有两个不相等的实数根xxx因此(

>x(1)故(x)在[-11]上不单调 8若a0可知x10x2因为g(x)的图象开口向下，要使(x)在[-11]上单调，因为g(0 1>03a+2≥0 必须满足ìg(1)≥0

所以2a0îg(-1)≥0 î-a≥0 综上可知，a的取值范围是[-2,0] 103⑶当a0时,方程即为xexx2ex0x0所以原方程等价于ex-2-x

0hxex2-1x2因为h¢(x)=ex >0对于xÎ(-¥,0)U(0,+¥)恒成立2所以h(x)在(-¥,0)和(0,+¥)内是单调增函数 13又h1e30h2e220h-3e-3

<0，h(-2)=e-2>03(xx2[12和-3-2所以整数k的所有值为{-3,1} 16已知函数( ex+ax,g( exln设曲线 (x)在 1处的切线与直线x+( 1) 若对任意实数x³0,(x)> 恒成立，确定实数a的取值范当a 1时，是否存在实数x0Î,e]，使曲线C：y g(x) (x)在点x x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值，若不存在，说明理由解：）¢( ex+a，因此 (x)在(1,(1))处的切线l的斜率为e+又直线x+(e1) 1的斜率为 ，∴（e+a）× ＝－ ∴a（2）∵当x≥0时，(

exax0恒成立∴先考虑x＝0，此时，(x) ex，a可为任意实数；又当x＞0时，(x) ex+ax>0恒成立， x)则a 恒成立，设h(x) ，则h(x)＝ 2当x∈(0,1)h¢(x)＞0hx)在(0,1)上单调递增当x,∞)时，h¢(x)＜0，h(x)在()上单调递减，故当x＝1时，h(x)取得极大值，h(x)max (1) ∴实数a的取值范围为 e,+¥)（3）依题意，曲线C的方程为 exlnxex+ 令u(x) lnx +elnxex设v( 1+ln 1，则v¢( 1+ x1 当xÎ,e]，v¢(x)³0，故v(x)在[1,e]上的最小值为v(1 0所以vx≥，ex0u¢

æçx+ln

1ex+1而若曲线C： g(则u¢(x0)＝0，

(x)在点 x0处的切线与y轴垂直所以，不存在实数x0Î,e]，使曲线C： g(=F.

(x)在点 x0处的切线与y轴垂直若x=0是F(x)的极值点,求a的值；（2）当=1时,设xfx),Q(x2,g(x2)x≥2≥,且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离；（3）若≥时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a的取值范围．解：(Ⅰ)F(x)=ex+sinx－ax,F'(x) ex+cosxa．因为x=0是F(x)的极值点,所以F'(0 1 0, 2．………2 ex+cosxa< ;若x>0,F'( ex+cosxa>0∴x=0是F(x)的极小值点 ∴a=2符合题意．………4=1,且PQ//x轴,由f1=g)得: ex+sinx,所以 ex+sin x ex+sinxx,h'( ex+cos 1>0当x>0时恒成立 ∴x∈[0,+∞)时,h(x)的最小值为i 8令( F( F( ex+2sin 2则j(x) ex+ex+2cosx 2a.S(x) j(x) exex2sinx．因为S'(x) ex+ex 2cosx³0当≥0时恒成立, 11分所以函数S(x)在[0,+¥)上单调递增 12∴Sx)≥S)=0x∈[0,)时恒成立因此函数j(x)在[0,+¥)上单调递增,j(x)³j(0 2a当x∈[0,+∞)时恒成立≤2时,(x)³0,(x)在[0,)单调递增,即(x)³(00≤2x≥F－x恒成立．………13已知函数( ( 3x+3)×ex定义域为 2,t] 2),设(2 m,() n试确定t的取值范围,使得函数(x)在求证nm

'(x 求证:(x0(

,总存在

Î 2,

(t1) ,解:(Ⅰ)

¢(

3x+3)×ex+(2 3) x(

1)×e2由¢(x)>0 Þx>1或x<0；由¢(x)<0Þ0<x<1,所以(x)在( ¥,0),(1,+¥)上递增,在(0,1)上递减,欲(x)在[ 2,t]上为单调函数,则2<t£0 e2(Ⅱ)证明:因为(x)在 ¥,0),(1,+¥)上递增,在(0,1)上递减,所以(x)在 1处取得极小值 6(2又

1< ,所以(x)在 2,+¥)上的最小值为(2<从而当 2时,(2)<(),即m< 9 '(x x '(x

(t1) x 2 1) 证:因为0 0, 3 即为 3 ,g(令

2(t

1)

g(3

1)在(2,t)上有解, 解的个 11 g(2 (t1) 2)(t4)g t(t1 (t1) 2)(t1 t4或2t1时g(2g(t)0所以g( 0在(2,t)上有解,且只有一 132②当1<t<4时,g(2)>0且g(t)>

g(0

1)2< 所以g( 0在(2,t)上有解,且有两 14当t4时 t 1, ,所③当 在 ；g(x) 0Þx 0或x g(x) (2,t)g当t4时 t 1, ,所③当 在 ；所以g( 0在(2,4)上也有且只有一 15'(x 综上所述,对于任意的t> 2,总存在x0Î( 且当t³4或2<t£1时,有唯一的x0适合题意；

(t1) 当1<t<4时,有两个x0适合题 16(x)a1,03⑴若方程(x

+2x7 0a⑵若函数( (x)+2x2在区间

)a的取值范围a3a 3)

(x

+2x7 0即ax2 (2a 2)x+4a 0有两个相等实根，∴D (2a 2)2 4a×4a 0，即a 1或a 1。3（2）Q( (2 2) 3ax在 ¥,3

内单调递减Q¢( 3 2(2 2) 3a£0在 ¥,3

ìa<í 0或 ¢ í2

Û 0或a£îlî3

33

2(2 2) 3a£3对于三次函数( ax3+bx2+cx+d(a¹0)定义：1）设fx)是函数 (x)的导数 ¢(x)的导数，若方程f 0有实数解x0，称点(x0,(x0))为函数 (x)的“拐点定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数 (x)对于定义域内的一切实数x，都(x0+x)+(x0 2(x0)成立，则函数y (x)的图象关于点(x0,(x0))对称．己知(x) 3x2+2x+2，请回答下列问题：(x)的“拐点A(写出一个三次函数G(x)，使得它的“拐点”是 1,3)（不要过程1依题意，得：¢( 3 6x+2\f 6x6 2由f 0，即6 0。∴ 1，又(1 2( 3x22x2的“拐点”坐标是(1,2由(1)知“拐点”坐标是(1,2(1+x)+( x)=(1+x) 3(1+x)2+2(1+x)+ x) 3 x)2+2 x)+=2+6 6x2+4+ 4=2(1)由定义(2)知：f 3x2+2x+2关于点(1,2)对称一般地，三次函数f ax3+bx2+cx+ (a¹0)的“拐点”是æb,( b)ö，它就是(ç 3 3a G( a(x+1)3+b(x+1)+ (a¹0)或写出一个具体的函数,如G( x3+3x2+3x+4G x33 x已知函数( xlnx(x)若(x) x2+ 6在(0,+¥)上恒成立，求实数a的取值范围过点A(e2,0)作函数 (x)图像的切线，求切线方程解：（Ⅰ）Qf( lnx+1\f(x)<0得lnx< L2\x1\(x)6e6（Ⅱ）Q(x) x2 6即a£lnxx

(0,)e

L4x x2+ (x+3)(x2x22设g( lnx+x 则g'( 22 当xÎ(0,2)时g'(x)0gx)单调递减；当xÎ(2,+¥)时g'(x)0gx)单调递增；

L7\g(x)最小值g(2 5+ln2\实数a的取值范围是 ¥,5+ln2 L10 设切点T(x,y 则 f(x)\x0ln

lnx+1即e2 +lnx

+ x20ex20 e2x+lnx+1，当x>0时h'(x)>0\h(x)是单调递增函 L13\h( 0最多只有一个根，又h(1 e2´1+ln1 0\ 由f(x0

2得切线方程是x+y+ 02e

L16设函数( 2acos[( 1)p]ln (k∈N*，若 2011， (若k(x)

解：（1因为 2011， 2lnx，f( 2

（x>0由f(x)>0得 1，且当x>1时，f(x)>0，(x)在(1,+¥)上是增函数；当x<1时，f(x)<0，(在01)上是减函数．故(

mi

(1) 1．（5分

2 x2+（2）当k是偶数时，( x2+2alnx，f( 2x 所以当a0f(x)0(x)在0+¥（9分当a<0时，由f( 0得 a，且当x f( f((在0

(x)在

+¥)上是增函数．（13分综上可得当a0(x)的增区间为0,+¥当a<0时，(x)的减区间为(0 a,+¥)．14分已知函数( alnx，g( x+2，其中a，bÎR且 2．函数(x)

14

1上是增函数4(m若不等式(x)³mg(x)对x m

求函数h( (x)+g(

,141()1解：1）¢( 2

a£0对任意的xÎé2ê2

a³2x2a³2同理可得b³1

2 2, 1

x7f 2lnxg 2（4分x7（2）Q(1 1>0

g(

(

)

1]上是增 数．所以xÎ4

,1]时，(x)>0，g(x)>0 \£(112ln112ln1+

．（6分有条件得((x) (1

1\£1（8分g(

mi

g(1 x（3）¢( 2( 1)+1 1x

2(x+1)(x+1x 1)x

+x

，当x> 时x xx2x+1x+1+x+10\当xÎ(01¢x0当xÎ(1+¥)¢xx hx在xÎ(01xÎ(1+¥)递增2分22当n³2时，h(n)³h(2 2ln 3+( ln4)+( )>322\()2 g(1已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g( g x)，g(x)的最小值8

1( g(x+

)+mlnx （mÎR,x>09 9求gx若$x0(x£0m设1<m£e，H( ( (m+1) 证明：对"x、xÎ,m]，恒有|H(x H(x2)|< 16( g(x+

)+mlnx+

x2+mlnx（mÎR,x>01212①当m0(x)的值域为2m②当 0时，(m

xx0(x)

0恒成立③当m0'(

x+x

0得 7(

'(

(0 m, m,mm 极 mmm+mmmm2m[(x)]

0

ìm+m îm

>0

Ûe<m<0综合①②③若x>0，( >0恒成立，则实数m的取值范围为(e,0]故存在x>0使(x)£0成立，实数m的取值范围为(¥,e]È(0,+¥) 10xÎm]H所以Hx在[1m

( 1)( mx

£0于是|H(x1 H(x2)|H(1 H(m

1m mln 1 1|H(x H(x2)|< Û1m1

mln 1<

Û1

ln <0记hm

1 ln2

232m

<m

2e1则h'(m 1 1(

1)2+1>02

2m1 ln

2 2 在(1e上是单2m所以hm)£h

1 2

( 3)(e+12

已知函数( ln

a(x1.x+.() m+ ln ln 解:（I）¢( a(x+1 a(x1 (x+1).(x+1) 2 x2+( 2a)x+.x(x+1) x(x+1)(x在0+¥)上为单调增函数，所以¢(x)³0在(0,+¥)上恒成立.£2£2所以a£2

a的取值范围是(¥,2（II）要证

<m+nln ln m+只需证 < n 2 1 2 1即证lnm .只需证ln >0n ln

m+n.2(x1.x+

m+n)所以 >(1 0 n

>1nm2 1即ln >0成立 m+n所以

<m+nln ln 已知函数( ln 1x+ 1 4(x)设g( x2+2 4，若对任意xÎ(0,2)，xÎ[1,2]，不等式(x)³g(x)恒成立， 实数b解：（I）( ln

1x+

(x>0)4¢ 4 ¢f( 4 4由x>0及¢(x) >0得1<x<3；由x>0及¢(x)<0得0 <x<1或x>3，故函数(x)的单调递增区间是(1,3)；单调递减区间是(0,1),3, （II）若对任意x1Î0,2x2Î[1,2](x)³gx 问题等价于( ³g( ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 由（I）可知，在(0,2)上， 1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点， (g(

mix

(12+22

24 xÎ,2m当b<1时，g( g(1 2 5mm当1£b£2时，g( g b 4m当b2g

m

g(2 4 8ïb<问题等价í

ï1或í

ïb或í 2³2

³b

³4 1解得b< 或1£b 或b14 41即b ¥1 已知函数( ax∙lnx+b(a,bÎ，在点(e,(e))处的切线方程是2 y然对数的底）

0（e求实数ab(x)若t是正数，设h( (x)+(tx)，求h(x)的最小值x的不等式xlnx的取值范围

x)ln x)³lnk 72k)对一切xÎ(06)2 ( \(

2 ，∵（e，f在f（x）f=ane=ae=，故实数 1, 0,( xlnh( (x)+(t

xlnx+(tx)ln(t

，hx)的定义域为0tx lnx [ln(tx)+1 xt,, \( t上是减函0 2

\(x((,

\(

mi

h()

2Qxlnx+( x)ln( (x)+( 由(2)知h(

mi

h()

2\t6,h(

mi

h()

ln ln72Qxlnx x)ln x)³lnk 72k)对一切xÎ(0,6)\n(k 72k)£ln72ìk\

2k>

,9£k<0,72<k£8k 72k£72故实数k的取值范围[9,0)È7281]已知函数( lnxax2+( 2)x若(x)在x 1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求函数y (x)在[a2,a]上的最大值．解：（Ⅰ）∵(x) lnxax2+(a 2)x，∴函数的定义域为(0,+¥)．∴ 2ax2+( 2) (2x1)(ax+1f( 2ax+( 2 (x)在 1处取得极值，即(1 ( 1)(a+1 0 11当 1时，在2

1¢(x0(1+¥¢(x)0∴ 1是函数 (x)的极小值点． 1（2）∵a2< ∴0<a<1¢ 2ax2+( 2) (2x1)(ax+1¢f( 2ax+( 2 ∵x∈(0,+¥)，∴ax+1>0(0 (0

1,+¥2①当0a£12

(x)在[a2a]m∴f( ( lnaa3+ 2mìa>②当 2，即1<a 时，(x)在(a2,1)单调递增，在(1, 单调递减íï2< í ∴ (m

()

ln a+ ln2 1£a22

£a1(x)在[a2af∴fm

( (a2 2lnaa5+ 2a20a£2

(x)在[a2,a]上的最大值是lnaa3+ 2当1<a 时，函数 (x)在[a2,a]上的最大值是 ln2 当a

时，函数 (x)在[a2,a]上的最大值是2lnaa5+ 2a2已知函数[来源:(Ⅰ)(Ⅱ)

， 单调增加， 单调减少，证 时，，当单调减少从因所故由此可已知函数(x)=- 3 9 (x)(x)的图象与xa解 ．f′(x)>，解得<<3．所以函数fx的单调递增间为(－，f′(x)＜，1x＞3fx的单调递减区间为(－∞－1，(3由（I）知(x)极小 (1 5,(x)极大 (3 a+a-5<(x)的图象a-5<则 解得-27<a<a 27>所以实数a的取值范围是（-k已知函数( 2lnxx若x=2为函数(x)的极值点，求函数 (x)的解析式(x)k的取值范围( k

kx 2x+2 2x4由x=2为函数(x)的极值点知¢(2 0，得 5函数( 4 2lnx5（Ⅱ）函数 (x)的定义域为函数(0,要使函数函数y (x)在其定义域内为单调增函数，只需函数¢(x)³0在区间(0,+¥)恒成立.即kx2 2x+k³0在区间(0,+¥)恒成立.即k 2x在区间(0,+¥)恒成立x2+令g(

2x，xÎ(0,+¥)x2+g( 2 1时取等号x2+∴k³1

x+x()求bc

ì-x3+x2+bx+c,x<î-x2+ax+3 x³

1处的切线斜率为5求函数在区间 1,2]上的最大值(∴∴(0 0即 0∵函数()在 1处的切线斜率为5即 15 0（Ⅱ）xÎ ()+x2，()3x22令() 0，则 0,23æ2(1 2，(0 0，ç

4，1 0f∴f

2

è3

aö xÎ[1,2]时，() x2+ax+ ç + +3 2 当a£1即a£2时， a+22当1<a22a42

2 a+34当a³2即a³4时， 2a12当a£2若a2³2即a³0若a22即a0

a+2 2()在区间[12aa(

x( lnx(x，且 9，求函数(x)的单调增区间 （Ⅱ）若g( ( lnx(x，且2<且对任意x,xÎ(0,2]，x¹x，都有g(x2 g(x1 <

g(x21，2

<0∴ g∴

gxx0 5 设m( x2+3x+

+3，则m'( 2x+ 12 22∵1£x£2，∴m'( 2x+ 1>02x³2 2³ ，∴ 当0x1

h(x) lnx+ x+1a(x+1)a

+1 (x+1)1 a +(x+1) x2+ 1 x2+

2x1x1

10tx)在01)上是增函2x2 0a³0a³22已知函数( x3+bx2+cx在 1处的切线方程为6 2y 0，'(x)为(x)的导函数g( a×ex（a，b，cÎR0若存在x0Î(0,2]，使g(x0 '(x)成立，求a的范围0

1 +(3x x

+1a)ln2

2a 1时，求(x)的极值点a2(x)'(x)a的范围.解1)fx=x2-lnx+x（x>0）’(x)=x-+∴x1， ∵(0， 单调 [，+∞)单调 ∴f(x)在x=时取极小 (2)解法一：’x)=(x>0 令g()=x22ax+a2+a=4a2-3a2a=a2- 设g(x)=0的两根x,x(x< 10当≤0时即0≤a≤，0∴f(x)单调递增，满足题 x<0< a x<0< a+ - 若 ， 22 (x)在0x)x+¥ f’(x)=x+-1’’x=1 ’)在(0，+∞)单调增，不合题 12若2

<x<

ìí2则ïí2

+1a³2îa即a≤-时f(x)在(0，+∞)上单调增，满足题意 若0x

ì ï4îa

+1a>2

a>2f(x在(0x1)1x2)单调(x2+∞)不合题意′综上得a≤-或2 解法二：= 令g()=x22ax+a2+a=4a2-3a2a=a2-设g(x)=0的两根x1,x2(x1<x2 10当≤0时即0≤a≤，0∴f(x)单调递增，满足题 20当△>0时即a<0a>2当a< 若a2+a<0，即-<a<0时,x<0< (x)在0x)x+¥) f’(x)=x+-’’x=1- ’)在(0，+∞)单调增，不合题 a2+a>0a≤-

<x<12fx)在(0，+∞)上单调增，满足题意 12当a2a2+a>00x f(x在(0，x1)单调增，1x2)单调减，(x2，+∞)单调增，不合题 综上得a≤-或2 设函数f x2+bln(x+1)fx)b若 1，证明对任意正整数n，不等式ån(k

)＜1

+

+1解1x1＞0得x–1(x的定义域为1对x(-1+∞),都有f(x)≥f(1f1)fx)f/(1)=f/( 2x+

,2+

0,解得b=-4.（略）x+ （2）∵f/( 2x

2x2+2x+

,又函数fx)x+ x+∴f/(x≥或/x≤0在1上恒成立若f/(x≥，∵x1＞0，2x2+≥0在1上恒成立即≥-2x2-2x 2(x+

)2+1恒成立,由此得 1 1f/(x)≤,∵x+1＞0,∴2x2x+≤≤-(2x2+2x)因-(2x2+2x)在(-1+∞)上没有最小值，∴不存在实数bx)≤恒成立b的取值范围是é1ë

ø（3）当b=1函数fx)x2ln(x+1，令函数h(x)=f(x)x3x2nx+1) 3x3+(x1)则h/(x)=-3x2+2x x+ x+∴当xÎ[0+¥h/(x)＜0所以函数h(x)在xÎ0+¥上是单调递减h(0)=0xÎ(0+¥h(x)＜h(0)=0,[即x2–nx1)＜x3恒成立.故当xÎ(0,+¥)时,x)＜x3..13∵kÎ ,1Î(0,+¥),取 ,则有(1)<113 n nk

)＜

1,已知函数( |xm|和函数g( x|xm|+m 7m若方程( |m|在[4,+¥)上有两个不同的解,求实数m的取值范围 若对任意xÎ(¥,4],均存在xÎ3,+¥),(x)gx)成立,求实m a( 2)x（aÎR) ( (当a1(x)在点3,(3))当a >0(x)在0,2]上的最小值已知函数( (2a+1)x+alnx)[，设

g(

a)

Î

(x)³g(x

成立实a的取值范围 （1）当a＝1时f(x)＝x2－3x＋ln，定义域为（0令f′(x)＝，得x＝1，或 2x（0，（，（，＋—23所以函数f)的单调增区间为（0，）和（1， 4（2）fx＝2x－(2a＋1)＋＝＝．f′(x)＝，x＝ax1(，e＋所以[fxn； 61＜a＜e时x(，a—0＋所以xa； 8x1(，ex1(，e—所以[f()]i(a1) 10因为h()＝＜0所以当x∈[e]时已知函数( ( 3x+3)×ex定义域为 2,t] 2),设(2 m,() n试确定t的取值范围,使得函数(x)在求证nm

'(x 求证:对于任意的

2,总存在

Î

(t1)2,并确定这样的3

.0.解:因为¢( ( 3x+3)×ex+(2 3) x( 1)¢(上递

Þx>1或x<0；由¢(x)<0Þ <x<1,所以(x)在 ¥,0),(1,+¥)上递增,在(0,1欲(x)在 2,t]上为单调函数 2<t£(Ⅱ)证:因为(x)在 ¥,0),(1,+¥)上递增,在(0,1)上递减,所以(x)在 1处取得极小值e,13e,(x)在2(22e

2,+¥)上的最小值为(2 ………(9分从而当t>2时,(2)<(),即m< (10分(Ⅲ)证:因

'(x

x x,

'(x

2 1)2即为x

1)2 g(3

)2,从而问题转化为证明方程g( 3

1)2在(2,t)上有解,并解的个 (12分 因为g(2 (t1) 2)(t4),g t(t1 (t1) 2) 1),所 ①当t>4或2<t<1时,g(2)×g(t)<0,所以g( 0在(2,t)上有解,且只有一解……(13分2②当1<t<4时,g(2)>0且g(t)> ,但由于g(0 23

1)2<0所以g( 0在(2,t)上有解,且有两 (14分 1时,g(x) 0Þx 0或x 1,所以g(x) 0在(2,t)上有且只有一解；当t4时,g(x) 0Þx 2或x 3,所以g( 0在(2,4)上也有且只有一 (15分'(x 综上所述,对于任意的 2,总存在

Î

(t1)23且当t³4或2<t£1时,有唯一的x0适合题意；当1<t<4时,有两个x0适合题 (16分2(说明:第(Ⅱ)题也可以令( x,xÎ(2,t),然后分情况证 23

)2在其值域内,并直2 3

1)2与函数(x)的图象的交点个数即可得到相应的x的个数0已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna(a，0yfx|1t若存在1x2∈[－，1]|f(x1)－f(x2)|≥e－，a的取值范围解：1）¢( axlna+2 ln 2x+( 1)lna 3由于a>1，故当xÎ(0,+¥)时，lna>0, 1>0，所以¢(x)>0故函数(x)在(0,+¥)上单调递增 5当a>0,a¹1时，因为¢(0 0，且¢(x)在R上单调递增故¢( 0有唯一解 0 7所以x,¢(x),(x)x(¥,00(0,(—0＋(递递 |( | ( ±1有三个根mi而+> 1，所以 ((x) (0 1，解得 2mi 因为存在x,xÎ1,1]，使得|(x (x2)| 1，[来源 mx min mi所以当xÎ1,1]时，|((x) ((x) ((x) mx min mi由（2）知，(x)在[1,0]上递减，在[0,1]上递增，[来源 mi m所以当xÎ1,1]时，((x) (0 1,((x) max{(1),(1)mi m 而(1 (1 (a ln +1+ln 2ln 记g t 2lnt(t>0)，因为g¢( 1+ ( 1)2³0（当 1时取等号 1所以g 2lnt在tÎ(0,+¥)上单调递增1t而g(1 0，故当t>1时，g(t)>0；当 时，(1)>(1)；当 <a<时，(1)<(1) 14①当a>1时，由(1 (0)³ 1Þ lna³ 1Þa³e②当0<a<1时，由(1 (0)³e1Þ1+lna³e1Þ0<a£1求

的取值范围为aÎ

0è

11e

+¥) 16已知函 ì-x+x+bx+c,x<1的图象过坐标原点O,且在 处的切线的斜率 f(x)=

aln

x³

(1f(1)求实数b、c的值(x在区间[-12解：（1当x 时，(x)= 3+x2+x∴f/( =-3x2++………2依题意f/ =∴-)2 -+=∴b………3(∴b

0有cc ………4（2）当x 时，(x)= 3+f/(x=-x2 x，令f/(x) 有-x2+x ，∴x ，x=2。 53x(x)与fx)x-0（0，2323（2，31f(—0+0—(2↘↗↘f =2；( =；(23

=4(1=∴当xÎ[-,1)时，(x)最大值为2。……… 当xÎ[,2]时， 若a ；若a 时，(x 当a (( =(2)=aln2∵当a£22³alnln

( 当a>2ln

<aln ( =aln∴(

ì,(a£2ï= ln2ïïaln2,(a>

ln212已知函数( aln 2

a)x(aÎ()2P(x)³0对定义域内的任意xP成立的充要条件是a|a£t}，求实数t2①(

a+x

(1+

1)(x ¢(x()x(0a1(1+()+0-0+()单调递单调递单调递所以函数()的单调递增区间是(0,a),(1,+¥)，单调递减区间是,1 61由于1 a，显然a>0时，1)<0，此时()³0对定义域内的任意x不是恒成立的121当a£0时，易得函数()在区间(0+¥)的极小值、也是最小值即是1 a，此时只要1)³12即可，解得a æ 2 故 1 2 设函数( e(f(若对任意x³0(x)³ax,aexx解：1）(x)的导数¢(x) ex+ex，由于ex+e-x³22，故¢(x)³2，当且仅当x 0时，等号成exx（2）令g( ( ax，则g¢( ( ex+e （ⅰ）若a£2，当x³ 时，g¢( ex+e a³ a³0故gx)在0+)上为增函所以，x³0时，g(x)³g(0 0，即(x)³ax 8（ⅱ）若a>2，解方程g¢( 0得，e

a

4, aa242aa242 a2a4所以 a2a42

aa24aaa24a24 a

< 0（舍去2Î，1所以，xÎ(0，1)时，g(x)<g(0) 0，即(x)<ax，与题设(x)³ax相 综上，满足条件的a的取值范围是( ∞2]。…sinx+ 2x

(x2

txt小值恰好是函数(

c的三个零点(t0<t<62 26设( ax c的两个极值点分别为(x,m)，(x n)．若| x 31+( ln + 1+ 是方程 ax 0的两上实根，不等式|m 5 3| x2|对任意实数aÎ1,1]恒成立当pm ax 0的两个实根，得x+x=a且xx=-2 （x+x212-4（x+x212-4x1a2+

11当a[1,1]时，a2+8£9即x1-x2£ 7 5

对任意实数a 1,11 5

³3的解 5 3³3----------(1)或m 5 3£- (2由(1)得m 1或m³6,由(2)得0£m£ 1或0£m£5或m³6时，q是真命 9p、q为一真一假当p真q假时，解得5 <m<6；当p假q真时，解得m£ 1或0£m<1…10分综上所述，所求m的取值范围为mÎ ¥,1]U[0,1)U(5,6 13函数( (a+1)x+a g( xlnx若 ( g(x)在 若F(x) (x) 解：（I）¢(x) 3x2 (a+1),g¢(x) lnx+1∴(1 g¢(1 ∵两曲线在 1处的切线互相垂∴( a) ∴ ∴(1) 1 (1) ∴y (x)在x 1处的切线方程为x+y1 0，同理，y g(x)在x 1处的切线方程为x y1 (II)由F( (a+1)x+ xln得F¢( 3 (a+1 lnx 3 lnx 8∵F( ( g(x)单调递 ∴F¢(x)³0恒成即a£3 ln 10 3 ln¢(

6 (x1x1

0 令¢( > x

h¢x)0得

<x6)得 6)得 (¥

3+1ln223+1ln6∴a的范围 13

(

x+

ln(ax)+ln(x+1),(a¹0,aÎ．(x)的定义域(x)当a0x(x)³ln(2a)aìa> ìa< ïïax> ax>ïï

a>

时,

x+

0得x0a0时由

x+

0

1<x<a0(x)的定义域为0+¥

当a0(x)的定义域为x+ln(ax

10 ………3

1 (x+1 xln(ax (x+1)2+x(x+1 (x+1)………5¢

x+1x

x(x+1) (x+1)令f( 0时，得ln 0 a xÎ(0

xÎ

, ①当

时

af

0

0(0,1 (1,故当a> a，递减区间为②当¢()故当1£a0(x)在xÎ(1,0)上单xÎ(1,1

xÎ(

,0 ③当

a，f(

0;1

，f( 01故当a 1时，(x)的单调递增区间为(a,0);单调递减区间为(1,a) a0(x)

(0,a

(,;单调递减区间为当1£a0(x)的单调递增区间为(1,0) <(,0 (1,<当 1时 (x)的单调递增区间为 a…………10

(0 a1

,1a1³()³ln(2³若存在x使得( ln(2a)成立，只须 即

a+ ln2a

aa+ a Þ

a 14已知函数( ln(x+1(x)的解析式

4nxx+证明x0时(x)0L

nÎNn³2n(n+1)n已知函数( ( kx+ (x)图象上的点 若ex³ax在xÎRa解：（Ⅰ）(1) e,g(x) ex，设h(x) (x) (x) \( e,当x>1时，h( 当x<1时，h(x)<0,h(x)为减， 1时，h(x)取最小(1 h(x)³(1 ( g(x)³0,(x)³g(x) (x)图象上的点 g(x)图象的上方 6e ex(x1（Ⅱ）当x¹0时，令F

,F'( ．2 x（－∞，（0，1（，——0+减减e增xx②当x＜0F（x）为减函数

³a即ex³axaa£e 0，F(x) ¥F(x)®0,\F(x)Î ,0x

<0ex£a,即x x

0由①②③，ex³ax恒成立的a的范围是[0,e] 131已知函数(

2lnxx(x)()

e]上有零点e

¢(

ax

2x+2x2

(x>0

2令¢(x)>0Þax 2x+1>1①若 2

(x)的递增区间是0

32②若a<0，则 4a> 1方程ax 2x+ 0的两根 1 1a当0<x< a时，¢(x)>a

<0， 2

0 ](x)的递增区间是 ]a

5③若a>0且 4a>0，即0<a<1时方程ax 2x+ 0的两根 1(x)的递增区间为0a④若a>0且 4a£0即a³

>0， 1 >0 2 ] ,和[ ] ,a¢(x)³此时的递增区间为(0,综上（2）(x)=0在e而(x)=0Û 1+2ln

e]上有实1

8

，x

e23令g( 1+2lnx，xÎ , g¢( 2( xlnx1 1023x(

xln

¢(

ln¢(( ¢((∴当 1时，(x)取得唯一的极大值也是(x)的最大值((

( ∴当xÎ(0,+¥)时，g¢(x)£ ∴g(x)在(0,+¥)上单调递∴当xÎ1,e]时，g(x)Î1+2,e2 e2 故当a , ( ,e]上有零 142 已知函数( ln(x+1(x) 证明ee2e3L+en³lnn+1nÎN*e为常数 已知函数( lnx(mR),g( ln 求gx若 ( 2e,若在[1,e]（e是自然对数的底数）上至少存在一个x,使得(x g(x)>h(x x

g¢(

0 所以，g(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+¥)上是增函数，故g(x)极小值=g(1)=1 4（II） -m ， ¢=mx-2x+

在+¥内为单(x)g(x) 2lnx

[( g(x)

(x)g( [1 增函数，所以mx-2x+m³0在[1,+¥)上恒成立，即m³2x在[1,+¥)上恒成立，故m³(2x =11+所以m的取值范围是[1,+¥) 8构造函数Fx)(x)gx)hx)mxm2lnx2e 当m£0时由xÎemxm£0-2lnx2e0[1e上不存在一个x

1+x (xgx)hx) 10

2 mx-2x+m+2m0

(

=m

xÎ,e]2e2x³0

+m>0所以F¢x)

x 0在[1+¥)上恒成立，故Fx)在[1e上单调递增，F

e上存在一个xFx)0mem40m>4em4(e-

e,+¥) 13

e-另法:（Ⅲ）当x1(1)g(1)h1)当xÎ,e]时，由(x)-g(x)>h(x)，

2e+2xln

，令G

2e+2xln (-2x-2)lnx+(2x-4ex-2

x- x-4(x)

0Gx在(1e上递减G

=G(e) (x-1 e-[1e上存在一个x(xgx)hxm>4e

alnx

3(a¹0

e-(x)y

(（2° x3+x2['(x) m2m（，求证ln2´ln3´L´lnn1n³2nÎN*) 3x+x

4为(13373

3x+x

4<则m 5或m 33

9考虑而函数gx在区间1,3上总是单调函数g¢3£0或g¢(1³m可以得 37或m³m3⑶令 ( lnx+ 3,所以(1 2由（I）知，( lnx+ 3在(1,+¥)上单调递增\当xÎ(1,+¥)时( >(1 lnx+ 1>0\lnx<x1对一xÎ(1,+¥)成立 12 <lnn< 1,0<lnn<n11 1\ln2´ln3´L´lnn<1´2´L´

n³2nÎN* 14 已知函数() ax2+bx+c+ln当 b时，若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围

()在

1， 1处取地极值，且f(1 1，若对任意的x2

(141求m的取值范围（参考数据e27） 解：a=b时，() ax+ax+c+lnx，\f

2ax2+ax+2ax+a 当a³0Qx0()0()在定义域(0+¥当a0g

2ax2ax1函数g(x在ë

1,+¥上单减ö ö且g(0) (号不确定，所以函数()在定义域(0,+¥)上不单调。1综上可知，a的范围是[0, 61

() 2

2ax

1x由题意得ïì¢1

æ1 ，解 3ïíç = bïïè2 2

2 3x+ (x1)(2x1\() 3x+1+lnx，f\xÎê

,1ö()0()在é

1ö ê 2 ë42 xÎæ1,1ö()0()在æ1,1ö è è ()()\()的极大值为æ1 ln2，而(2 1+ln2è2(2

æ1ç

3+ln4>0，\()的最大值(2 1+ln2è2 [\若对任意的xÎ[4

( 1+ln）已知函数( alnxbx2图象上一点P(2,(2))处的切线方程为 3x+2ln2+2(对数的底数

0在[e]m的取值范围（ee令g(x) (x) kx，若g(x)的图象与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)(其中x1 <x2)，AB的中点为C(x0,0)，求证：g(x)在x0处的导数g¢(x0) ¹0．1）¢xa2bx¢2a4bf2aln24b ∴a-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2 22解得 2, 1 3f(x)=2lnx-x2，令h(x)=(x)+m=2lnx-x2+m，[来源:Z。X。X。 2(1-x2

=则h

=-2x

h(x)

1（ 1舍去 ,e]内，当 ,1)时，h(x)>0，∴h(x)是增函数 当xÎ,e]时，h/(x)<0 ∴h(x)是减函 5 ï(

)£0e 则方程h( 0在 ,e]内有两个不等实根的充要条件是í(1)>0 6 (e)£0即1<m£2+1 82e设函数( aln(2x+1)(Î

1,1,a>0)ç2ç 若函(x)a的取值范围函数(x)是否有最小值？若有最小值，其取得最小值时x的值，并证明你的结论已知函数( ln(x+ x在 0处取得极值求实数a的值若关于x的方程，(

5x+2

证明n已知函数( xln

n+

1+ +L+1都成立 求函数 (x)的单调区间和极值若函数 g(x)与( xlnx( （0已知( lnx,xÎ(0,e],，其中e是自然常数若 1为(x)的极值点,求(x)的单调区间和最小值) ln g( ，在1的条件下，求证：( g( ） ； ，∴

的最小 ）有最小值 时， （舍去），所以， 在上单调递减，在上单调递 上单调递减 （舍去），所以，此时 值．综上，存在实数 ，使得当 有最小值3．的极小值为1， 上的最小值为 当当 ，在 ∴∴在1）的条件下已知函数( ln(ex+a)，（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g(区间[11求a的值t+

(ln关于x的方 (

2exm的根的个数解：（1Q( ln(ex+a)是实数集R上的奇函(0 lne0 0 0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3m（2）Qg( f(x)+sinx是区间[1,1]上的减函 1,[g(x) g(1 lsinm\只需 t+ \(+)+t2+sin11 ³0，（ 1）恒成立。。。。5令h() (+ +1，（ 1 í

+£\í

t£

ît1+t2+sin1+1³，而 t+sin1³0恒成立， 1。。。。。。。。。。。7 t+sin（3）由1）(

³\ln\

2ex+令f lnx,f( 2ex+ ( ln

。。。82 2 当Î0e)f¢x)³0fx)在0e上是增函 xÎ)) 当 e时，[fx) f m e分2而f( (xe)2+ 2 \当 e2 ，即m>e2 1 1\当 ，即 e2+

时，方程无解；。。。。。。。。。。。10时，方程有一个根；。。。。。。。。。。。11e\当 e2<

me2

两个根；。。。。。。。。。。。12(

x13+1axx

1,1),(1,3]内各有一个极值点。直线l是函数()在点A(1,1求 当l在点A处穿过函数 ()的图像，求实数a的值f' x2+ax+b，由题知 +ax+ (x+x2 4x1x,x则 4b，(x+x2 4x1 所以4b的范围是(0,16（2）因 x2axb,所以l1f/(11所以得： 1a

(1+a+b 1 21+a1+a+b 1)Þ令g

13+1axx x

+

(1+a+b)x+

a+

1 +1x x

(1+a)x+2

a+23g/(x) x2+ax 1)(x+1+a)，因为l在A处穿过函数y ()的图像，则x 1不是g(x)的极值点，所以1+a 1，解得：a 2。已知函数( x alnx(a<0)确定函数 (x)的单调性若对任意x,xÎ(0,1]，且x¹x，都有|(x (x)|<4| |，求实数a的取值范围

(x)=2x+aln(Î)(若函数(x)的最小值为，求(x)的最小值为妒，mn为A试比m（m 实数x

ax2+bx+c的图象经过点 2,0)，且不等式2x£(x)

x22121(x)的解析式x若对一切xÎ ( (x2

恒成立t的取值范围解：1）由题设知，4 2b+ 0 1令2 x2+2，解得12

22´2£(2)£2

´22+2即4£(2)£4，所以(2 4，即4a+2b+ 4 由①、②可得 4a, 1 3又(x)³2x恒成立，即ax2 +(b 2)x+c³0恒成立，所以a>0，且D 2)2 4ac£0，1即 2) 4a( 4a)£0，所以 ，从而 14

4 1 (

12x1 6x4xç2ç)( (x得)

(x+t) +(x+t)+1

æx +x+1整理

4è2 22t(x+2t)(x )<03当ï2

21

2t+3

即t2

+2t<x 3

，此不等式对一切xÎ

] 2t81此不等式组 当2

2t+即3

2时，(x+2t)2<0，2t+当2 即t<2时3

2t+8<x3

2t，此不等式对一切

Î 1,1

2t+8

5< 1 ç综合可知，实数t的取值范围是 5 1ö 13ç 2已知函数f

sinx若g( fx)³0对任意xÎ[0,+¥)恒成立，求实数a的取值范围若函数f sinx的图像与直线 kx(k>0)有且仅有三个公共点，且公 只需要考虑xé0,pö，此时g(êë2所以g'( cos

axsin当a³1时，g'(x)³0，易知函数g(x)单调增，从而g(x)³g(0) 当a£0，g'(x)<0，函数g(x)单调减，从而g(x)£g(0) 0，不符合题意；0a1然存

Îé0,pö，使得g'( 0，且xÎ[0,x)时函数g(x)单调减，从g(x)£g(0

0

êë2 综 知a³1......................................................................................................................6 3（2）fx)的图像与直线 kx(k>0)有且仅有三个公共点 ，且切点为A sina)，Îæ,3ç

p,çè

æö æö3f

cosx，x pç 则cosa cos

tansin2a+cos2

1+tan2

1故sina+sin3

4sinacos

4tan

1241已知函数( x2+lnx+(12求实数a

4 在(1,+¥)上是增函数aex+设g( e2 xÎ[0,ln3]，求函数g(aex+解：1）¢( x+1+ 4x(\x+1+x

4³0在(1,+¥)上恒成,即a³ (x+

)xQx+

³2(当且仅 1时,等号成立x\ (x+所以a³2

)<2x设 2at+ (ta)2+ Q0£x£ln3,£t£3当2£a£3时，g(t)最小值为 a2当a³3时，g(t)最小值为 5a22设函数( a lnx+2,其中aÎx>022 g(x)在点(1,g(1))处的切线方程xa(x)£gx)对一切正数xax定义在R上的函数(x)满足对任意xxÎ都有(

2)£1[(x (x)x x (x)是R上凹函数。已知二次函数()

ax2x（aÎ且a¹0）如果xÎ01|(x)|£1求a已知函数( kxlnx，kÎR((Ⅱ)当函数g( ( kx，xÎ3]的最大值为1时，求k的值x2 x2所以在方程所以在方程2 x(b12

1 6a

( x2+1 71假设存在实数mn(x)的定义域和值域分别为[mn和3m3n Q( (x1)2 2 9\n£1Þn£ 6,故x)在[m,n]为增函数 11 \ì(m 3m,又m<n\ î( 3所以存在实数

î 4,

13 13(

3x+3)×ex定义域为 2,t]

(2 m,() 已知函 (

试确定t的取值范围,使得函数(x)在求证nm

'(x 求证:对于任意的 2,总存在x0Î x0

(t1)3

,解析：(Ⅰ)简单考查应用导数研究函数单调性、解二次不等式以及不等式恒成立问题；(Ⅱ)'(x

(t1)调性的性质以及在研究函数值大小的方面的应用；（Ⅲ）通过研究方程定这样的

思想，前两小题属于简单题，第 (x 3x+3)×e+ (x 3x+3)×e+(2x 3)×e x(x 1)×e 2Ⅰ: 由¢(x)>0 Þx>1或x<0；由¢(x)<0Þ0<x<1,所以(x)在( ¥,0),(1,+¥)上递增,在(0,1)上递减,欲(x)在[ 2,t]上为单调函数,则2<t£0 4分(Ⅱ)证明:因为(x)在 ¥,0),(1,+¥)上递增,在(0,1)上递减,所以(x)在 1处取得极小值 6(2又

1< ,所以(x)在 2,+¥)上的最小值为(2<从而当 2时,(2)<(),即m< 9 '(x x '(x

(t1) x 1)证:为

0

即为 g(令

2(t

1)

g(3

1)在(2,t)上有解, 解的个 11g(2 2(t1) 2(t+2)(t4)g t(t1 2(t1) 1(t+2)(t1 t4或2t1时g(2g(t)0所以g( 0在(2,t)上有解,且只有一 135555 (xpx-2lnx,(e)qe-2p³0e是自然对数的底 p与q(x)p的取值范围设gx2e.若存在xÎe],(x)gx)p的取值范围 x(x)a1,03⑴若方程(x

+2x7 0a⑵若函数( (x)+2x2在区间

)a的取值范围a3a+(+( ax(x1)( 3)x

+2x7 0即ax2 (2a 2)x+4a 0有两个相等实根，∴D (2a 2)2 4a×4a 0，即a 1或a 1。3a Q( (2 2) 3ax在 ¥,a3Q¢( 3 2(2 2) 3a£0在 ¥,3

内单调递减ìa<í 0或 ¢ í2

Û 0或a£îlî3

33

2(2 2) 3a£3f(x)＝ax－ln(－x)x∈(－e,0)g(x)＝e是自然常数 a1时,f(x)的单调性、极值；1fx－xx(x)1∴当≤1f((x)＜0f(x)当1＜0f((x)＞0f(x)为单调递增∴f(x)的极小值ff(x)的极f(x)在e,0)1f1又∵0∴h(x)在[－e,0)上单调递减，∴hx)a＝h(－)＝＋＜＋1fn∴当x∈[－e,0)f＋),((x)a≥∴ff(e)ae1a≤xf((x)＝a－＜0f(x)是减函数当＜x＜0f((x)＝a－＞0f(x)＝ax－ln(－x)是增函数∴f(x)f)1n3( lnx,g( a(a>0求Fx

(x)+g(

k£若

F(x)(xÎ(0,3

）图像上任意

P(x0,y0

为切点的切线的斜

2若对所有的xÎ+¥都有f(x³axa成立a F( ( g( ln ( 0),F'( ( 0 2因为a>0由F'(x)> ÞxÎ(a,+¥)，所以F(x)在上单调递增；由F'(x)< ÞxÎ(0,a)，所以F(在(0,a)上单调递 5xF'( ( <x£3), F'(x

a£

(0<x£32 2

x

恒成立，………7a³即

+x x +x 2

当

2

a³

ami

2.……10 Û Î Û Îxlnxax ,x 因为x³e，所 x1， x ，h'( xlnx(x1)

(xlnx1)

121>因为当x³e

ln 1³ ln 2>0所以h'(

h( >0>

e1a£ 所 e 16已知函数( xlnx(x)若(x) x2+ 6在(0,+¥)上恒成立，求实数a的取值范围过点A(e2,0)作函数 (x)图像的切线，求切线方程（Ⅰ）Qf( lnx+1\f(x)<0得lnx< L2\x1\(x)6e6（Ⅱ）Q(x) x2 6即a£lnxx

(0,)e

L4x x2+ (x+3)(x2x22设g( lnx+x 则g'( 22 当xÎ(0,2)时g'(x)0gx)单调递减；当xÎ(2,+¥)时g'(x)0gx)单调递增；

L7x0ln\g(x)最小值g(2 5+ln2\实数a的取值范围是 ¥,5+ln2 x0ln（III）设切点T(x,y)则 f(x) lnx+1即e2 +lnx

+ xx20e20 e2x+lnx+1，当x>0时h'(x)>0\h(x)是单调递增函 L13\h( 0最多只有一个根，又h(1 e2´1+ln1 0\ 由f(x0

2得切线方程是x+y+ 02e设函数( 2acos[( 1)p]ln (k∈N*，若 2011， (若k(x)

解：（1因为 2011， 2lnx，f( 2

（x>0由f(x)>0得 1，且当x>1时，f(x)>0，(x)在(1,+¥)上是增函数；当x<1时，f(x)<0，(在01)上是减函数．故(

mi

(1) 1．（5分

2 x2+（2）当k是偶数时，( x2+2alnx，f( 2x 所以当a0f(x)0(x)在0+¥（9分当a<0时，由f( 0得 a，且当x ，f( f((在0

(x)在

+¥)上是增函数．（13分综上可得当a0(x)的增区间为0,+¥当a<0时，(x)的减区间为(0 a,+¥)．14分已知函数( alnx，g( x+2，其中a，bÎR且 2．函数(x)

14

1上是增函数4(m若不等式(x)³mg(x)对x m

求函数h( (x)+g(

,141()1解：1）¢( 2

a£0对任意的xÎé2ê2

a³2x2a³2同理可得b³1

2 2, 1

xf 2lnxg 2（4分x （2）Q(1 1>0，g( >0，且函数(x)在 ,1]上是减函数，函数g(x)在 ,1]上是增 数．所以xÎ4

,1]时，(x)>0，g(x)>0 \£(112ln112ln1+

．（6分有条件得((x) (1

1\£1（8分g(

mi

g(1 （3）¢( 2( 1)+1

2(x+1)(x+1xx 1)xx

xx+x

x0 x2x+1x+1+x+10\当xÎ(01¢x0当xÎ(1+¥)¢xx hx在xÎ(01xÎ(1+¥)递增2分22当n³2时，h(n)³h(2 2ln 3+( ln4)+( )>322n\n) nÎN*n³2(ngn)3+3（16分n2y(x)的定义域为DBxg(t)y(g(t))的值域仍然是Bxg(t)y