中考数学一轮复习基础考点第四单元 三角形 6.第20课时 相似三角形的实际应用

第四单元三角形第20课时相似三角形的实际应用eq\a\vs4\al(点对点·课时内考点巩固)30分钟1.(2019连云港)在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似()A.①处B.②处C.③处D.④处第1题图2.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到DC，已知栏杆AB的长为3.5m，OA的长为3m，C点到AB的距离为0.3m，支柱OE的高为0.6m，则栏杆D端离地面的距离为()A.1.2mB.1.8mC.2.4mD.3.2m第2题图3.(北师九上P91问题解决改编)中国第一水街——周至沙河湿地公园，为国家AAAA级旅游景区，是在原沙河基础上改造的水景街景，也是国内首家立体水景、互动式滨河生态主题公园．如图，为了测量水街中间一段宽度相同的沙河的宽，先在沙河的一边河岸上选取一个测量点A，再在另一边河岸上选定测量点B和C，且使河宽AB与河岸BC垂直，然后选一个测量点E，使CE垂直于河岸BC，从点E望向点A，视线正好经过河岸BC上的点D处，若测得BD＝15m，CD＝6m，CE＝2.4m，且图中各点在同一水平面上，请根据以上数据求出沙河的宽度．第3题图4.随着人们对生活环境的要求逐渐提高，环境保护问题受到越来越多人的关注，环保宣传也随处可见．如图，小云想要测量窗外的环保宣传牌AB的高度，她发现早上阳光恰好从窗户的最高点C处射进房间的地板F处，中午阳光恰好从窗户的最低点D处射进房间的地板E处，小云测得窗户距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝3m．请根据以上测量数据，求环保宣传牌AB的高度．第4题图5.小明想用所学的知识去测量他家小区的路灯的高度，他带一个自制的直角三角板AOB与皮尺对路灯开始测量．如图，首先，小明手拿自制直角三角板移动位置并观察，使三角板的一直角边OA与路灯A′在一条直线上，另一直角边OB与路灯正下方地面上一点B′在一条直线上，并记录下此时他所在的位置C，再用皮尺测量出B′到C的距离为2m，小明知道自己的身高OC为1.6m(眼睛到头顶的距离可忽略不计)，请根据以上数据计算路灯的高度A′B′.第5题图6.某天，小明和小亮利用一个直角三角形纸板结合所学的几何测量知识来测量学校旗杆的高度．测量方案如下：如图，小明拿着三角形纸板，使得三角形纸板较长的一条直角边保持水平，然后调整自己的位置，使得旗杆的顶端M恰好在三角形纸板斜边所在的直线上，已知小明的眼睛到地面的高度AB为1.5m；然后，用同样的方法，小亮利用此三角形纸板在旗杆的另一侧测得当他距离小明8m时，点M也恰好在三角板斜边所在的直线上，且小亮的眼睛到地面的高度CD为1.45m．已知三角形纸板的较长直角边为0.4m，较短直角边为0.3m，求旗杆MN的高度．(结果精确到0.1m)第6题图7.(2019陕西定心卷)一座桥繁荣一座城．为了加快城市发展，保障市民出行畅通，某市在流经该市的河流上架起一座彩虹桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算彩虹桥AP的长．如图，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点E、F，使得EF∥BC.经测量，BC＝120米，BE＝60米，EF＝200米，且点E到河岸BC的距离为50米．已知AP⊥BC于点P，请你根据提供的数据，帮助他们计算彩虹桥AP的长度．第7题图eq\a\vs4\al(点对线·板块内考点衔接)10分钟1.(2019毕节)如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF∶AC＝1∶3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为()第1题图A.100cm2B.150cm2C.170cm2D.200cm22.(2019西工大附中模拟)如图，小优和同伴在春游期间，发现在某地小山坡的点E处有一棵开满桃花的小桃树(桃树高度不计)，他们想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树到山脚的距离，即DE的长度．小优站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小优在平面镜内可以看到点E，且BC＝2.7米，CD＝11.5米，∠CDE＝120°，已知小优的眼睛距地面的距离AB＝1.8米，请你利用以上数据求出DE的长度．(结果保留根号)第2题图参考答案第20课时相似三角形的实际应用点对点·课时内考点巩固1.B【解析】设象棋盘方格的边长为1，则由“帅”、“兵”、“相”组成的三角形的三边长分别为2，2eq\r(5)，4eq\r(2)，由于“车”，“炮”之间的距离为1，②到“炮”的距离为eq\r(5)，②到“车”的距离为2eq\r(2)，根据三边对应成比例两三角形相似，“马”应落在②处．2.C【解析】如解图，过点D作DG⊥AB于点G，过点C作CH⊥AB于点H,则DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴eq\f(DG,CH)＝eq\f(OD,OC)，∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，∴OC＝0.5m，∴eq\f(DG,0.3)＝eq\f(3,0.5)，∴DG＝1.8m，∵OE＝0.6m，∴栏杆D端离地面的距离为1.8＋0.6＝2.4m.第2题解图3.解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，∴AB∥CE.∴△ABD∽△ECD.∴eq\f(AB,EC)＝eq\f(BD,CD)，即eq\f(AB,2.4)＝eq\f(15,6).解得AB＝6m.答：沙河的宽度为6m.4.解：∵DO⊥BF,∴∠DOE＝90°.∵OD＝1m，OE＝1m，∴∠DEB＝45°.∵AB⊥BF，∴∠BAE＝45°.∴AB＝BE.设AB＝EB＝xm，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO.∴△ABF∽△COF.∴eq\f(AB,BF)＝eq\f(CO,OF).即eq\f(x,x＋（3－1）)＝eq\f(1.5＋1,3)，解得x＝10.经检验，x＝10是原方程的解，且符合实际．答：环保宣传牌AB的高度是10m.5.解：在Rt△COB′中，由勾股定理得，B′O2＝B′C2＋OC2＝22＋1.62＝6.56，∵A′B′⊥B′C，OC⊥B′C，∴A′B′∥OC.∴∠A′B′O＝∠B′OC.又∵∠A′OB′＝∠B′CO＝90°，∴△A′B′O∽△B′OC.∴eq\f(A′B′,B′O)＝eq\f(B′O,OC).∴A′B′＝eq\f(B′O2,OC)＝eq\f(6.56,1.6)＝4.1(m)．答：路灯高度A′B′为4.1m.6.解：如解图，过点A作AE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F，则EF＝AB－CD＝1.5－1.45＝0.05m，设ME＝x，则MF＝x＋0.05，∵∠AEM＝∠AGH＝90°，∠MAE＝∠HAG，∴△AGH∽△AEM.∴eq\f(AG,AE)＝eq\f(HG,ME)，∴eq\f(0.4,AE)＝eq\f(0.3,x).∴AE＝eq\f(4,3)x.∵BD＝8，∴CF＝DN＝8－eq\f(4,3)x.∵∠CQP＝∠CFM＝90°，∠PCQ＝∠MCF，∴△CQP∽△CFM，∴eq\f(CQ,CF)＝eq\f(PQ,MF).即eq\f(0.4,8－\f(4,3)x)＝eq\f(0.3,x＋0.05)，解得x＝2.975，经检验，x＝2.975是原分式方程的解，且符合实际．∴MN＝ME＋EN＝2.975＋1.5≈4.5m.答：旗杆MN的高度约为4.5m.第6题解图7.解：∵BC∥EF，∴∠ABC＝∠AEF，∠ACB＝∠AFE.∴△ABC∽△AEF.∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(BC,EF)，即eq\f(AB,AB＋60)＝eq\f(120,200)，解得AB＝90.如解图，过点E作EQ⊥BC于点Q，易得△APB∽△EQB，∴eq\f(AP,EQ)＝eq\f(AB,EB)，又∵EQ＝50，∴eq\f(AP,50)＝eq\f(90,60)，解得AP＝75.答：彩虹桥AP的长度为75米．第7题解图点对线·板块内考点衔接1.A【解析】设正方形CDEF的边长为x，∵AF∶AC＝1∶3，∴AF＝eq\f(1,2)x，∴AC＝eq\f(3,2)x，根据题意得EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴AF∶AC＝EF∶BC，∴x∶(x＋BD)＝1∶3，解得BD＝2x，即BC＝3x，在Rt△ABC中，∵AB＝30，∴(eq\f(3,2)x)2＋(3x)2＝302，解得x＝4eq\r(5).∴AC＝6eq\r(5)，BC＝12eq\r(5)，∴这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为S△ABC－S正方形CDEF＝eq\f(1,2)AC·BC－EF2＝eq\f(1,2)×6eq\r(5)×12eq\r(5)－(4eq\r(5))2＝100(cm2)．2.解：如解图，过点E作EF⊥CD，垂足为F.∵∠CDE＝120°，∴∠EDF＝60°.设DE＝x米，则DF＝eq\f(x,2)米，EF＝eq\f(\r(3)x,2)米，∴CF＝11.5＋eq\f(x