中考数学一轮复习基础考点第五单元 四边形第23课时 矩形、菱形、正方形

第五单元四边形第23课时矩形、菱形、正方形（每年必考1～2道，3～10分）目录点对点“过”考点1典例“串”考点23中考试题中的数学文化4陕西5年真题、副题“明”考法点对点“过”考点【对接教材】北师：九上第一章P1－P29；人教：八下第十八章P52－P69.矩形平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系性质判定面积性质判定面积菱形矩形、菱形、正方形正方形性质判定面积中点四边形矩形的性质及判定考点1定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形图形性质1．边：对边________且相等2．角：四个角都是________3．对角线：对角线互相平分且________4．既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有______条对称轴平行直角相等2返回思维导图判定1.有一个角是________的平行四边形是矩形2．对角线________的平行四边形是矩形3．有三个角是________的四边形是矩形面积计算S＝______(a、b分别表示矩形的长和宽)【提分要点】矩形、菱形、正方形均是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，过对称中心的任意一条直线平分图形的面积，且矩形、菱形、正方形均被其两条对角线分成面积相等的四个三角形．直角相等直角ab返回思维导图菱形的性质及判定考点2定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形图形性质1．边：对边平行，四边都__________2．角：对角__________3．对角线：对角线互相________，每条对角线_______一组对角4．既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有______条对称轴相等相等垂直平分平分2返回思维导图判定1．有一组________相等的___________是菱形2．对角线_________的平行四边形是菱形3．________条边都相等的四边形是菱形面积计算S＝________(l1、l2表示两条对角线的长)邻边平行四边形互相垂直四返回思维导图正方形的性质及判定考点3定义有一组邻边相等，并且一个角是直角的平行四边形叫做正方形图形性质1．边：对边平行，四边都__________2．角：四个角都是__________3．对角线：对角线互相_________且相等，每条对角线平分一组对角4．正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有____条对称轴相等直角垂直平分4返回思维导图判定1．有一组邻边______，并且有一个角是_______的平行四边形是正方形2．对角线互相________的矩形是正方形3．有一个角是________的菱形是正方形4．对角线________的菱形是正方形5．有一组邻边________的矩形是正方形6．对角线互相垂直___________的四边形是正方形面积计算S＝______(a表示边长)＝________(l表示对角线的长)相等直角垂直直角相等相等平分且相等a2返回思维导图平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系考点4矩形平行四边形菱形正方形一组邻边_______有一组邻边相等，一个直角90°有一个角是_______有一个角是_______一组邻边_______相等直角直角相等返回思维导图中点四边形考点51.定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形2.常见结论：原图形任意四边形矩形菱形正方形对角线相等的四边形对角线垂直的四边形对角线垂直且相等的四边形中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形菱形矩形正方形返回思维导图回归教材证明：矩形的对角线相等．1.已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB相交于点O.求证：AC＝DB.【自主解答】第1题图证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC(矩形的对边相等)．在△ABC和△DCB中，∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB，∴AC＝DB.第2题图证明：有三个角是直角的四边形是矩形．2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．【自主解答】证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．第3题图证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．3.已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形．【自主解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线，∴BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．第4题图证明：四边都相等的四边形是菱形．4.已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.求证：四边形ABCD是菱形．【自主解答】证明：∵AD＝BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形(邻边相等的平行四边形是菱形)．典例“串”考点例1如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O.例1题图(1)要使平行四边形ABCD为矩形，可添加的条件为____________；【解题依据】此问所用的判定定理为______________________________________.(2)已知四边形ABCD为矩形．①若AB＝3，BC＝4，则AC的长为________；AC＝BD对角线相等的平行四边形是矩形．5②若∠AOB＝60°，AB＝4，则BD的长为________；③若点E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则四边形EFGH是________形；④过点A作AE⊥BD于点E，若AB＝5，tan∠BAE＝，则AE的长为______，矩形ABCD的面积为________．8菱50例2题图例2如图①，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC、BD相交于点O.(1)要使平行四边形ABCD为菱形，则可添加的条件为________；【解题依据】此问所用的判定定理为______________________________________.(2)若四边形ABCD为菱形，AB＝5.①四边形ABCD的周长为________；②若∠BAD＝100°，则∠ACD＝________°；AB＝AD有一组邻边相等的平行四边形为菱形．2050③若∠ABC＝60°，则对角线AC的长为________，BD的长为________，菱形ABCD的面积为________；④如图②，点E、F分别是BC、AD上的点，若四边形AECF为矩形，且AE＝2AF，则AE的长为________．54(1)若∠ABC＝90°，则要使平行四边形ABCD为正方形，则需添加的条件为_______；【解题依据】此问所用的判定定理为______________________________________________________________________(2)连接AC，BD，若AC⊥BD，则要使平行四边形ABCD为正方形，则需添加的条件为____________；【解题依据】此问所用的判定定理为______________________________________________________________________.例3如图，四边形ABCD为平行四边形．

有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形．例3题图AB＝BC∠ABC＝90°

对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．(3)如图②，若四边形ABCD为正方形．点E是CD上一点，连接BE，且AB＝4.①连接AC，则AC＝________，∠BAC＝________；②连接AC，若点E是CD的中点，BE交AC于点P，则AP＝________，S△ABP∶S△CEP＝________；③过点A作AF⊥BE交BC于点F，交BE于点G，求证：AF＝BE.45°4∶1

证明：如解图②，∵四边形ABCD为正方形，AF⊥BE，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠AGB＝90°，∴∠ABG＋∠EBC＝90°，∠ABG＋∠BAG＝90°，∴∠EBC＝∠BAG.在△ABF和△BCE中，∴△ABF≌△BCE(ASA)．∴AF＝BE.例3题解图②(4)如图③，若四边形ABCD为正方形，连接AC，BD，交于点O.①点H，K分别是OB，OD上的点，连接AH，CH，CK，AK，若四边形AHCK是菱形，且

＝

，则＝________，S正方形ABCD∶S菱形AHCK＝________；②点N是OC的中点，点M是BC上一点，P为对角线BD上一点，若AB＝4，BM＝3，则PM＋PN的最小值为________．陕西5年真题、副题“明”考法矩形性质的相关计算（5年2考）命题点11.(2017陕西8题3分)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3.若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为(

)第1题图A.

B.

C.

D.

B2.(2019陕西8题3分)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6.若点E，F分别在AB、CD上，且BE＝2AE，DF＝2FC，G、H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为(

)A.1B.C.2D.4第2题图3.(2019陕西副题8题3分)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过矩形的对称中心O的直线EF，分别与AD、BC交于点E、F，且FC＝2.若H为OE的中点，连接BH并延长，与AD交于点G，则BG的长为(

)A.8B.C.D.第3题图CD4.(2015陕西副题9题3分)如图，△ABC和△DBC均为等腰三角形，∠A＝60°，∠D＝90°，AB＝12.若点E、F、G、H分别为边AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的面积为(

)A.B.C.D.第4题图B菱形性质的相关证明与计算（5年2考）命题点25.(2018陕西8题3分)如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、GH和HE.若EH＝2EF，则下列结论正确的是(

)A.AB＝EFB.AB＝2EFC.AB＝EFD.AB＝EF第5题图D6.(2019陕西副题14题3分)如图，O为菱形ABCD的对称中心，AB＝4，∠BAD＝120°.若点E、F分别在AB、BC边上，连接OE、OF，则OE＋OF的最小值为____．7.(2016陕西14题3分)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为________．第6题图第7题图8.(2016陕西副题19题7分)如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE、CF.求证：BE＝CF.第8题图证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC.(2分)∴∠A＝∠CBF.(3分)又∵AE＝BF，∴△ABE≌△BCF(SAS)，(5分)∴BE＝CF.(7分)正方形性质的相关证明与计算（5年3考）命题点39.(2015陕西9题3分)在▱ABCD中，AB＝10，BC＝14，E、F分别为边BC、AD上的点．若四边形AECF为正方形，则AE的长为(

)A.7B.4或10C.5或9D.6或810.(2017陕西副题8题3分)如图，在正方形ABCD中，AB＝2.若以CD边为底边向其形外作等腰直角△DCE，连接BE，则BE的长为(

)A.B.2C.D.第10题图DC11.(2018陕西副题7题3分)如图，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝4，点