专题04 通过向量转化研究向量问题（解析版）

专题04通过向量转化研究向量问题一、题型选讲题型一运用基底转化法求参数的值考查了平面向量基本定理，也就是平面向量分解的唯一性定理，选择一对基底表示其他向量，然后研究系数的关系。例1、(2019泰州期末）已知点P为平行四边形ABCD所在平面上一点，且满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PD,\s\up6(→))＝0，λeq\o(PA,\s\up6(→))＋μeq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，则λμ＝________．【答案】－eq\f(3,4)【解析】eq\a\vs4\al(思路分析)由于题中出现了四个向量，因此可以考虑消去eq\o(PC,\s\up6(→))或eq\o(PD,\s\up6(→))，再根据平面向量基本定理，即可求得λ和μ的值．解法1(转化法)如图，因为eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋2(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋2(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋2(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))＝0，所以，3eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，即eq\f(3,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，所以λ＝eq\f(3,2)，μ＝－eq\f(1,2)，λμ＝－eq\f(3,4).解法2(基底法)因为eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝0，λeq\o(PA,\s\up6(→))＋μeq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，两式相减得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)))eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ－\f(1,2)))eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)))eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ－\f(1,2)))eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，所以λ－eq\f(1,2)＝1，μ－eq\f(1,2)＝－1，λμ＝eq\f(3,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,4).解法3(几何法)取AB中点E，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PE,\s\up6(→))＝－2eq\o(PD,\s\up6(→))，所以eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(EP,\s\up6(→))，即P为DE中点，延长CP交BA延长线于点F，易知：A，E为BF的三等分点，且P为CF中点．由eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，得eq\f(3,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，所以λμ＝－eq\f(3,4).解法1，把eq\o(PD,\s\up6(→))用其他三个向量来表示，根据平面向量的基本定理得到λ和μ的值；解法2，两式相减，同时消去了eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(PD,\s\up6(→))，转化为以eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))为基向量的方程；解法3，通过构造三角形，根据向量的线性运算，找到eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))这三个向量的关系式，以上三种解法都可以称为基底法，此外本题可以将平行四边形特殊化为矩形或正方形，通过坐标法来处理例2、(2017苏锡常镇调研（一））在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝1，则实数λ的值为________．【答案】1或－eq\f(1,4)【解析】解法1由题意可得eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋(λ－1)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋λ(λ－1)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝1，即λ＋(λ2－λ)×4＝1，所以有4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,4).例3、(2016苏北四市摸底）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x＋y的值为________.【答案】eq\f(5,8)【解析】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，CE为AB边的中线，且AD∩CE＝O.在△AEO中，由正弦定理得eq\f(AE,sin∠AOE)＝eq\f(EO,sin∠EAO)；在△ACO中，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠AOC)＝eq\f(CO,sin∠CAO)，两式相除得eq\f(AE,AC)＝eq\f(EO,OC)，因为AE＝eq\f(1,2)AB＝1，AC＝3，所以eq\f(EO,OC)＝eq\f(1,3).所以eq\o(CO,\s\up6(→))＝3eq\o(OE,\s\up6(→))，即eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝3(eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→)))，即4eq\o(AO,\s\up6(→))＝3eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，所以4eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，从而eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(3,8)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，因为eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(3,8)，y＝eq\f(1,4)，于是x＋y＝eq\f(5,8).题型二运用基底转化求线段的长运用运用基底转化求线段的长，主要就是研究向量的平方，例4、(2018南京、盐城、连云港二模）如图，在△ABC中，已知边BC的四等分点依次为D，E，F.若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝5，则AE的长为________．【答案】eq\r(6)【解析】eq\a\vs4\al(思路分析)解决平面向量问题有三种常见方法：基底法、坐标法和几何法，由于本题求线段AE长，且点B，C，D，E，F共线，故可以用向量eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))作为基底．由题意，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))＝（\o(AE,\s\up6(→))＋2\o(ED,\s\up6(→))）·（\o(AE,\s\up6(→))－2\o(ED,\s\up6(→))）＝\o(AE,\s\up6(→))2－4\o(ED,\s\up6(→))2，,5＝\o(AD,\s\up6(→))·\o(AF,\s\up6(→))＝（\o(AE,\s\up6(→))＋\o(ED,\s\up6(→))）·（\o(AE,\s\up6(→))－\o(ED,\s\up6(→))）＝\o(AE,\s\up6(→))2－\o(ED,\s\up6(→))2，))解得，eq\o(AE,\s\up6(→))2＝6，即|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝eq\r(6).例5、(2019常州期末）平面内不共线的三点O，A，B，满足|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，点C为线段AB的中点，∠AOB的平分线交线段AB于D，若|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，则|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝________．【答案】eq\f(2,3)【解析】eq\a\vs4\al(思路分析)注意题目中有中线、角平分线，因此想到利用向量法或建系来处理．解法1(向量法)C为AB的中点，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．又|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，所以eq\o(OC,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))2，得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－1.由角平分线定理得eq\f(AD,BD)＝eq\f(OA,OB)＝eq\f(1,2)，即eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(OB,\s\up6(→))))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,9)eq\o(OA,\s\up6(→))2＋eq\f(4,9)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,9)eq\o(OB,\s\up6(→))2＝eq\f(4,9)，所以|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3).题型三运用基底转化法求向量的数量积基底向量在解决向量问题中的应用．当然，首先必须利用向量运算及简单的轨迹知识去将问题逐步向基底向量转化，解题过程需要有较强的目标意识．；(2)基底法：根据题目条件，选择合适的目标向量，再将求解的向量向目标向量转化并求解．(2019苏北三市期末）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，P为△ABC所在平面内一点，满足eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))，则eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值为________．【答案】－1【解析】eq\a\vs4\al(思路分析)平面向量数量积的求解主要有两种方式：基底法和坐标法．一般地，基底法运算较为简洁，但思维较抽象；坐标法较为直观，但运算复杂．解法(基底法)因为eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))－2eq\o(AP,\s\up6(→))，解得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，故eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,9)\o(AC,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→))))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(7,9)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)－eq\f(7,9)×2×3×cos60°＝－1.例7、(2018无锡期末）在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠A＝eq\f(π,3)，M为DC的中点，N为平面ABCD内一点，若|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(NB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))|，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝________．【答案】6【解析】解法1(基底法)因为eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(NB,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))－\o(NB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AM,\s\up6(→))－\o(AN,\s\up6(→))))，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AN,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(NM,\s\up6(→))))，故动点N在线段AM的垂直平分线上，设线段AM的中点为P，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))，由eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))，可得eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))·(eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→)))＝eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＋0＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))2＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DM,\s\up6(→)))2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))2＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))))coseq\f(π,3)＋eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\f(1,2)×4＋eq\f(1,2)×4×2×eq\f(1,2)＋eq\f(1,8)×16＝6.解法2(基底法)因为eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(NB,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))，|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(NB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AN,\s\up6(→))|＝|eq\o(NM,\s\up6(→))|，故动点N在线段AM的垂直平分线上，设线段AM的中点为P，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))，应用eq\o(AN,\s\up6(→))在eq\o(AM,\s\up6(→))方向上的投影，可得eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)AM2，在△ADM中，因为AD＝DM＝2，∠ADM＝120°，由余弦定理得AM2＝AD2＋DM2－2AD·DM·cos120°＝12，故eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)AM2＝6.题型四运用基底转化法研究向量数量积的范围向量的数量积是高考中的C级要求，对于此类问题的处理方法通常有两种手段，一是应用基底的方法来进行研究，一般地，用基底的方法进行研究时，过程较为简洁、明快，但它的难点在于如何将所要研究的向量表示为基底的形式．为方便问题的研究，有时要充分利用图形的性质来研究问题；例8、(2017苏北四市一模）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB＝8，CD＝6，则eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的取值范围是________．【答案】[－9,0]【解析】思路分析1注意到圆是中心对称图形，因此，利用圆心来将所研究的向量关系进行转化，进而将问题转化为研究eq\o(MO,\s\up6(→))的模的问题来进行求解．思路分析2注意到这是与圆有关的问题，而研究与圆有关的问题在坐标系中研究较为方便，因此，通过建立直角坐标系，将问题转化为向量的坐标来进行求解．解法1因为eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，因此eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))2＋eq\o(MO,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＋eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))2－eq\o(OA,\s\up6(→))2＝eq\o(MO,\s\up6(→))2－16.因为M是弦CD上的动点，所以MOmax＝4，此时点M在圆上，MOmin＝eq\r(16－9)＝eq\r(7)，此时点M为弦CD的中点，故eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))∈[－9,0]．二、达标训练1、(2018南京学情调研）.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→)).若eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(17,3)，则实数λ的值为________．【答案】eq\f(1,3)【解析】解法1(基底法)因为eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝[λeq\o(AC,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))]·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝λ|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋(λ－1)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋(1－2λ)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝4λ＋9(λ－1)＋(1－2λ)×2×3×cos120°＝19λ－12＝－eq\f(17,3)，解得λ＝eq\f(1,3).2、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝4，CD＝2，DA＝3，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))的值为________．【答案】10【解析】eq\a\vs4\al(思路分析1)注意到所求的向量的数量积为对角线的乘积，而已知条件是四条边的长度，为此，将所求的向量转化为边的形式，即eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2，因而问题就转化为研究相关的向量的数量积，利用eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(DA,\s\up6(→))平方可得．eq\a\vs4\al(思路分析2)注意到在△ABC中，边AC上的中线为BO，则有eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，利用此结论来进行转化．这一结论的本质是一种对称性．解法1因为eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(DA,\s\up6(→))，平方得eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋eq\o(CD,\s\up6(→))2＋2(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(－eq\o(DA,\s\up6(→)))2＝eq\o(DA,\s\up6(→))2，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－6，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝－6＋16＝10.解法2如图，取AC中点O，连结BO，DO.所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))2－eq\o(BA,\s\up6(→))2－eq\o(DC,\s\up6(→))2＋eq\o(DA,\s\up6(→))2)＝eq\f(1,2)×(16－1－4＋9)＝10.3、(2017南京学情调研）在△ABC中，已知AB＝3，BC＝2，D在边AB上，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).若eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝3，则边AC的长是________．【答案】eq\r(10)【解析】解法1因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\f(4,9)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝4－eq\f(2,3)×3×2cos∠ABC＝3，解得cos∠ABC＝eq\f(1,4)，因此AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝10，即AC＝eq\r(10).4、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模）在△ABC中，A＝120°，AB＝4.若点D在边BC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，AD＝eq\f(2\r(7),3)，则AC的长为________．【答案】3【解析】由题意得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝4bcos120°＝－2b，因为点D在边BC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，从而eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up6(→))))2，又因为AD＝eq\f(2\r(7),3)，所以eq\f(28,9)＝eq\f(16,9)＋eq\f(4b2,9)－eq\f(8b,9)，整理得b2－2b－3＝0，解之得b＝3(b＝－1舍)，即AC的长为3.5、(2017扬州期末）已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，则|eq\o(BQ,\s\up6(→))|的最小值是________.【答案】eq\r(7)－eq\f(2,3)【解析】思路分析求|eq\o(BQ,\s\up6(→))|的最小值，就是求线段BQ长的最小值，因为点B为定点，而点Q是随着点P的运动而运动的，那么就要关注点Q是如何运动的，即要先求出点Q的轨迹方程，通过建系运用相关点法即可求得点Q的轨迹方程，通过点Q的轨迹方程发现其轨迹是一个圆，接下来问题就转化为定点与圆上的动点的距离的最小值问题，那就简单了．一般与动点有关的最值问题，往往运用轨迹思想，首先探求动点的轨迹，在了解其轨迹的基础上一般可将问题转化为点与圆的关系或直线与圆的关系或两圆之间的关系．解法1以A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，设Q(x，y)，P(x′，y′)，由eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，得eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x′＋\f(1,2)，\f(2,3)y′＋\f(\r(3),2)))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)x′＋\f(1,2)，,y＝\f(2,3)y′＋\f(\r(3),2)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x′＝x－\f(1,2)，,\f(2,3)y′＝y－\f(\r(3),2)，))两式平方相加得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))2＝eq\f(4,9)(x′2＋y′2)，因为点P(x′，y′)在以A为圆心的单位圆上，所以x′2＋y′2＝1，从而有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))2＝eq\f(4,9)，所以点Q是以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))为圆心，R＝eq\f(2,3)的圆上的动点，因此BQmin＝BM－R＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(\r(3),2)))2)－eq\f(2,3)＝eq\r(7)－eq\f(2,3).解法2eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))－\f(3,2)\o(AB,\s\up6(→)))).令eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→)))，那么|eq\o(BQ,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3)|eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))|，求|eq\o(BQ,\s\up6(→))|的最小值，就转化为求|eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))|的最小值，根据不等式的知识有：|eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))|≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|\o(AN,\s\up6(→))|－|\o(AP,\s\up6(→))|))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|\o(AN,\s\up6(→))|－1))，而|eq\o(AN,\s\up6(→))|2＝eq\o(AN,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(AB,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))))2＝eq\f(9,4)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))2＝eq\f(9,4)×32－eq\f(3,2)×3×3×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×32＝eq\f(63,4)，即|eq\o(AN,\s\up6(→))|＝eq\f(3\r(7),2)，所以|eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))|≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(7),2)－1))＝eq\f(3\r(7),2)－1，从而|eq\o(BQ,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3)|eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))|≥eq\r(7)－eq\f(2,3)，当且仅当eq\o(AN,\s\up6(→))与eq\o(AP,\s\up6(→))同向时，取等号．解法3eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，设eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))，则eq\o(A