专题08 立体几何中的计算(解析版)

专题08立体几何中的计算1、【2019年江苏数】.如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.【答案】10.【解析】因为长方体的体积为120，所以，因为为的中点，所以，由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.2、【2018年高考江苏数】.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为3、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．【答案】【解析】作分别垂直于，平面，连接，由题意可知，，平面，又平面，，，，，，又易知，为的平分线，，又，．本题主要考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，利用勾股定理解决．注意画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题则很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．4、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）【答案】26，【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与的延长线交于点，延长交正方体的棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，，，即该半正多面体的棱长为．本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．5、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥O−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118.8【解析】由题意得，，∵四棱锥O−EFGH的高为3cm，∴．又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量为．本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.6、【2019年高考北京卷文数】已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m，正确；（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α，不正确，有可能m在平面α内；（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α，不正确，有可能l与α斜交、l∥α.故答案为：如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断，分别作为条件、结论加以分析即可.7、【2019年高考天津卷文数】已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.【答案】【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，圆柱的底面半径为，故圆柱的体积为.本题主要考查空间几何体的结构特征以及圆柱的体积计算问题，解答时，根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.注意本题中圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半.8、【2018年高考全国II卷文数】已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．【答案】8π【解析】如下图所示，，又，解得，所以，所以该圆锥的体积为.此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.一、柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱台S侧＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3注意：(1)在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.二、在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法.在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积.(1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题.(2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上.如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题.三、方法与技巧(1)棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状.(2)要注意将空间问题转化为平面问题.(3)求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.(4)一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决.四、失误与防范（1）几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.（2）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.题型一多面体的表面积与体积求多面体的表面积与体积常用方法：1、公式法：可以运用规则的几何体；2、割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或者把几何体补成熟悉的几何体。3、等积法：通过转换顶点，换成底面积或者高易求的几何体。例1、(2017徐州、连云港、宿迁三检）．如图，在正三棱柱中，已知，点在棱上，则三棱锥的体积为▲．AABCPA1B1C1)【答案】【解析】因为正三棱柱中，，因为，，所以，因为点在棱上，所以点到平面的距离就是点到平面的距离．作，垂直为点，因为正三棱柱中，面，面，所以，而，，，所以．因为正三棱柱中，，所以，的面积，所以三棱锥的体积．点评：对于立体几何中求表面积和求体积的问题，一定要遵循“一作二证三计算”的原则，推理证明不能忽视．例2、(2019南京、盐城一模）如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝eq\r(3)，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥BEFC的体积为________．【答案】eq\f(\r(3),6)【解析】VBEFC＝VFBEC＝eq\f(1,2)VPBEC＝eq\f(1,2)·(eq\f(1,3)·S△BEC·PA)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×4＝eq\f(\r(3),6).eq\a\vs4\al(解后反思)求空间几何体的体积的本质就是找几何体的高(即找线面垂直)，常见的空间几何体体积的求法有：作高法、转换顶点法、割补法.例3、(2018南通、泰州一调）如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm，圆柱的底面积为9eq\r(3)cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm(不计损耗)．【答案】2eq\r(10)【解析】由题意知，熔化前后的体积相等，熔化前的体积为6×eq\f(\r(3),4)×42×4－9eq\r(3)×4＝60eq\r(3)，设所求正三棱柱的底面边长为xcm，则有eq\f(\r(3),4)x2·6＝60eq\r(3)，解得x＝2eq\r(10)，所以所求边长为2eq\r(10)cm.题型二旋转体的表面积与体积旋转体主要就是圆柱、圆锥、球等几何体，根据不同的几何体运用不同的求法。例4、(2019苏州期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．【答案】.2eq\r(3)【解析】正三棱锥的底面正三角形的边长为a＝2eq\r(3)，面积S＝eq\f(\r(3),4)a2＝3eq\r(3)，高h＝2.所以正三椎锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh＝2eq\r(3).例5、(2019常州期末）已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________．【答案】.eq\f(3,8)【解析】设圆锥底面半径为2r，高为2h，则圆柱底面圆半径为r，高为h，所以eq\f(V圆柱,V圆锥)＝eq\f(πr2h,\f(1,3)π（2r）2·2h)＝eq\f(3,8).例6、(2019苏北四市、苏中三市三调）已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3cm，BC=1cm，CD=2cm．将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为▲cm3．【答案】【解析】所求几何体的体积为例7、(2018盐城三模）若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为▲．【答案】：【解析】：设圆锥的高为，母线为，由得，，即，，故该圆锥的体积为.题型三几何体展开与折叠问题几何体的折叠问题和展开问题要紧紧抓住折叠或展开的前后过程中不变的量来处理。解决这类组合体的问题基本方法就是讲组合体分解若部分，分别计算。例8、(2018南京、盐城、连云港二模）在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为eq\r(2)的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH的体积为________．（图1）（图2）【答案】eq\f(4,3)【解析】连结EG，HF，交点为O，正方形EFGH的对角线EG＝2，EO＝1，则点E到线段AB的距离为1，EB＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).SO＝eq\r(SE2－OE2)＝eq\r(5－1)＝2，故正四棱锥SEFGH的体积为eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×2＝eq\f(4,3).例9、(2017南京三模）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为▲．AACBA1B1C1D【答案】．eq\f(1,3)【解析】将侧面展开如下图，所以由平面几何性质可得：，当且仅当三点共线取到.此时，所以.在直三棱柱ABC－A1B1C1中有，又，易得平面，所以平面，即是三棱锥的高，所以【解后反思】对于求空间几何体中在两个侧面上两个有公共点距离之和最小值的问题，一般都可以转化为同一个平面上问题.本题也是数学中最有名的“将军饮马”的问题，有兴趣的同科可以用网络搜索查阅这个问题.1、(2019扬州期末）底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________．【答案】eq\f(2\r(2)π,3)【解析】圆锥的高为h＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2)，圆锥的体积V＝eq\f(1,3)×π×12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2)π,3).2、(2019镇江期末）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．【答案】eq\f(\r(3)π,3)【解析】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(πr2＝π，,πrl＝2π，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝2.))所以h＝eq\r(3).圆锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(\r(3)π,3).3、(2019宿迁期末）设圆锥的轴截面是一个边长为2cm的正三角形，则该圆锥的体积为________cm3.【答案】eq\f(\r(3),3)π【解析】圆锥的底面半径R＝1，高h＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，故圆锥的体积为V＝eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.4、(2019南通、泰州、扬州一调）已知正四棱柱的底面长是3cm，侧面的对角线长是3eq\r(5)cm，则这个正四棱柱的体积为________cm3.【答案】.54【解析】由题意知，正四棱柱的高为eq\r(（3\r(5)）2－32)＝6，所以它的体积V＝32×6＝54，故答案为54.5、(2019泰州期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1MBC的体积V1，四棱锥A1BB1C1C的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是________．【答案】eq\f(1,4)【解析】解法1(割补法)设△ABC的面积为S，三棱柱的高为h，则V1＝VA1ABC－VMABC＝eq\f(1,3)Sh－eq\f(1,3)S×eq\f(1,2)h＝eq\f(1,6)Sh，V2＝VABCA1B1C1－VA1ABC＝Sh－eq\f(1,3)Sh＝eq\f(2,3)Sh，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(Sh,6)·eq\f(3,2Sh)＝eq\f(1,4).解法2(等积转换)V1＝VBA1MC＝eq\f(1,2)VBA1AC＝eq\f(1,2)VA1ABC，V2＝2VA1BC1B1＝2VBA1B1C1＝2VA1ABC，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,4).6、(2019通州、海门、启东期末）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三椎锥D－BB1C1的体积为________．【答案】eq\f(2\r(3),3)【解析】因为AA1‖平面BCC1B1，所以点D到平面BCC1B1的距离即为A1点到平面BCC1B1的距离，也即为正三角形A1B1C1的高，等于eq\r(3)，故VD－BB1C＝eq\f(1,3)S△BB1C·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).7、(2018无锡期末）直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．【答案】50π【解析】根据条件可知该直三棱柱的外接球即三棱锥B1ABC的外接球，也就是以BA，BC，BB1为棱的长方体的外接球，设其半径为R，则2R＝eq\r(BA2＋BC2＋BBeq\o\al(2,1))＝eq\r(32＋42＋52)，得R＝eq\f(5\r(2),2)，故该球的表面积为S＝4πR2＝50π.8、（2016苏州期末）将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1＋r2＋r3＝________.【答案】5【解析】思路分析先利用“三个圆锥的侧面积的和等于原来圆的面积”列出等式(方程)．由πr1l＋πr2l＋πr3l＝πl2，得r1＋r2＋r3＝l，本题中，l＝5.解后反思先列式，再化简，最后才代入数据．实际结果与1∶2∶3无关．9、(2018苏中三市、苏北四市三调）现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件（不计材料损耗）．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为,,则的值为▲．【答案】【解析】设正四棱柱得高为，所以底面边长为，根据体积相等，且高相等，所以正四棱锥的高为，则正棱锥侧面的高为,所以.10、(2018常州期末）已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．【答案】3【解析】设截得的小圆锥的高为h1，底面半径为r1，体积为V1＝eq\f(1,3)πreq\o\al(2,1)h1；大圆锥的高为h＝6，底面半径为r，体积为V＝eq\f(1,3)πr2h＝8.依题意有eq\f(r1,r)＝eq\f(h1,h)，V1＝1，eq\f(V1,V)＝eq\f(\f(1,3)πreq\o\al(2,1)h1,\f(1,3)πr2h)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h1,h)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,8)，得h1＝eq\f(1,2)h＝3，所以圆台的高为h－h1＝3.11、（2016南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调）在体积为eq\f(\r(3),2)的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝1，BC＝2，BD＝3，则CD长度的所有可能值为________．【答案】eq\r(7)，eq\r(19)【解析】因为AB⊥平面BCD，AB＝1，BC＝2，BD＝3，所以VABCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×3sin∠CBD×1＝eq\f(\r(3),2)，解得sin∠CBD＝eq\f(\r(3),2)，故cos∠CBD＝±eq\f(1,2)，从而在△BCD中由余弦定理得CD2＝4＋9－2×2×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(1,2)))，即CD2＝7或CD2＝19，故CD＝eq\r(7)或eq\r(19).12、(2016苏锡常镇调研）设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若eq\f(V1,V2)＝eq\f(3,π)，则eq\f(S1,S2)的值为________．【答案】eq\f(3\r(2),π)【解析】不妨设V1＝27，V2＝9π，故V1＝a3＝27，即a＝3，所以S1＝6a2＝54.如图所示，又V2＝eq\f(1,3)h×πr2＝eq\f(1,3)πr3＝9π，即r＝3，所以l＝eq\r(2)r，即S2＝eq\f(1,2)l×2πr＝eq\r(2)πr2＝9eq\r(2)π，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(54,9\r(2)π)＝eq\f(3\r(2),π).13、(2018苏锡常镇调研）在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为▲．【答案】【解析】思路分析：解决空间几何体的体积计算问题常常有两个途径：一是直接利用体积公式求解，另一种是利用等体积转化的思想进行计算.解题过程：连结，，，过点作于，因为，M为PA的中点，所以，同理，又因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，从而，故为点到平面的高.在中，，N为BC的中点，则，的面积，在中，因为，，所以，从而三棱锥的体积．14、(2019苏锡常镇调研（一））已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为________．【答案】2π【解析】设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则l＝eq\r(4－4r2)，0<r<1.圆柱的侧面积为S＝2πrl＝2πreq\r(4－4r2)＝4πeq\r(r2（1－r2）)≤2π[r2＋(1－r2)]＝2π，当且仅当r2＝1－r2，即r＝eq\f(\r(2),2)时取“＝”，所以这个圆