《立体几何初步》阶段复习课-完整版课件

阶段复习课第一章【核心解读】1.多面体的性质(1)棱柱的侧面、过不相邻侧棱的截面都是平行四边形.(2)棱锥、棱台的高与其侧棱(或其他线段)能共处于同一三角形中.2.旋转体的有关性质(1)球面无法展开成平面；圆柱、圆锥、圆台的侧面可以展开成平面.(2)圆柱、圆锥、圆台中与底面平行的截面是圆面.3.球的有关概念(1)球的截面都是圆面.(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面.(3)设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面圆的距离就是球心O到截面圆心O1的距离，它们的关系是：OO1=4.几种常见几何体的三视图(1)直立放置的圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图为圆.(2)直立放置的圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆及圆心.(3)直立放置的圆台的主视图和左视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆.(4)球的三视图都是圆.5.表面积与体积公式(1)柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②体积：V=S底h(h为柱体的高).(2)锥体：①表面积：S=S侧+S底；②体积：V=S底h(h为锥体的高).(3)台体：①表面积：S=S侧+S上底+S下底；②体积：V=(S上底++S下底)h(h为台体的高).(4)球体：①表面积：S=4πR2；②体积：V=πR3.6.三棱锥顶点在底面的投影与三角形三心的关系(1)三棱锥中：侧棱长相等(或侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底面投影为底面三角形的外心.(2)侧棱两两垂直(或对棱垂直)⇔顶点在底面的投影为底面三角形的垂心.(3)斜高相等(或侧面与底面所成角相等)⇔顶点在底面的投影为底面三角形的内心.7.球与两种几何体之间的关系(1)球与正方体的组合体：①球内切于正方体：此时球半径R与正方体棱长a有关系式2R=a成立.②球外接于正方体：2R=a.③球与正方体的12条棱相切：2R=a.(2)球与正四面体的组合体：①球内切于正四面体：球半径R与正四面体的高h有关系式R=h(可以用分割法).②球外接于正四面体：R=h.即一个正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3.8.面面平行的性质定理的几个有用推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面之间的平行线段相等.(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.9.关于直线与平面垂直的其他性质：(1)如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内的任意一条直线垂直.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面.(3)若l⊥α于点A，AP⊥l，则APα.(4)垂直于同一条直线的两个平面平行.(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面.主题一直观图与三视图【典例1】(1)(2014·亳州高一检测)平面图形的直观图如图所示，它原来的面积是________.(2)一几何体的三视图如图所示.计算该几何体的体积与表面积.【自主解答】(1)由直观图知原图是直角三角形，两直角边的长为2，4，故面积为4.答案：4(2)由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底圆锥拼接而成的组合体，其直观图如图所示.由三视图中尺寸知，组合体下部是底面直径为8cm，高为20cm的圆柱，上部为底面直径为8cm，母线长为5cm的圆锥.易求得圆锥高h==3(cm)，所以V=π·42·20+π·42·3=336π(cm3)，S=π·42+2π·4·20+π·4·5=196π(cm2).所以该几何体的体积为336πcm3，表面积为196πcm2.【方法技巧】1.画空间几何体的直观图的基本步骤(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中作对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中平行于z′轴且长度不变.2.画空间几何体的三视图要注意的问题(1)三个视图要配合画，并做到“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”.(2)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，分界线和可见轮廓线都用实线画出，看不见的轮廓线画成虚线.(3)与视线垂直的平面内的线段，其在三视图中的长度与其实际长度相同.提醒：简单几何体的三视图与直观图的互化问题应注意确定主视、俯视、左视的方向与直观图的对应性，同一物体放置位置的不同，其三视图可能会有不同.【补偿训练】(2013·山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是(

)【解析】选B.由图知，此棱锥高为2，底面正方形的边长为2，V=×2×2×2=，侧面积需要计算侧面三角形的高h=，S侧=主题二空间几何体的表面积、体积【典例2】(1)(2014·焦作高一检测)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.将该正方体沿对角面BB1D1D切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的表面积为________.(2)四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图，则四棱锥P-ABCD的体积为________.【自主解答】(1)由题意可知，组成新的四棱柱后的表面积是由原来的四个相同正方形的面积和两个阴影部分的面积组成的，则所得四棱柱的表面积为4a2+a·a×2=(4+2)a2.答案：(4+2)a2(2)易知该四棱锥中，PA⊥底面ABCD，PA=a，底面是边长为a的正方形，故体积V=a2×a=a3.答案：

a3【方法技巧】空间几何体体积与表面积的计算方法(1)等积法.(2)割补法.(3)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题.(4)构造法：对于某些几何体的表面积和体积求解较困难时，我们可以将它构造成我们熟悉的几何体，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来解决.【拓展延伸】求几何体的体积、表面积的题型分类(1)已知几何体的三视图求其体积、表面积.(2)与线面垂直关系结合命题.(3)组合体问题，考查割补转化思想.(4)旋转体问题.【补偿训练】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为________.【解析】答案：主题三空间中的共点、共线、共面问题【典例3】(1)已知A∈l，B∈l，C∈l，D∉l(如图)，求证：直线AD，BD，CD共面.(2)如图，O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点.求证：O1，M，A三点共线.【自主解答】(1)因为直线l与点D可以确定平面α，所以只需证明AD，BD，CD都在平面α内即可.因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD

α.同理BD

α，CD

α.所以AD，BD，CD都在平面α内，即它们共面.(2)因为上底面中A1C1∩B1D1=O1，A1C1

平面A1C1CA，B1D1

平面AB1D1，所以，O1是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点.又因为A1C∩平面AB1D1=M，A1C

平面A1C1CA，所以，M是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点.又因为A∈平面AB1D1，A∈平面A1C1CA，所以，A是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点.所以，O1，M，A都是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点，所以O1，M，A三点共线.【方法技巧】1.证明共面问题的方法(1)由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内.(2)分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合.2.证明三点共线问题的方法证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是这两个平面的公共点，当然必在这两个平面的交线上.3.证明三线共点问题的方法证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题.【补偿训练】(2014·咸阳高一检测)如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.求证：(1)E，F，G，H四点共面.(2)GE与HF的交点在直线AC上.【证明】(1)因为BG∶GC=DH∶HC，所以GH∥BD，又EF∥BD，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面.(2)因为G，H不是BC，CD的中点，所以EF≠GH.又EF∥GH，所以EG与FH不平行，则必相交，设交点为M.⇒M∈平面ABC且M∈平面ACD，所以M在平面ABC与平面ACD的交线上，即M∈AC.所以GE与HF的交点在直线AC上.EG平面ABCHF平面ACD主题四平行关系的判定与性质【典例4】(1)设α，β是两个平面，l，m是两条直线，下列命题中，可以判断α∥β的是(

)A.lα，mα且l∥β，m∥βB.lα，mβ且l∥mC.l∥α，m∥β且l∥mD.l⊥α，m⊥β且l∥m(2)如图，在四面体A-BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.证明：PQ∥平面BCD.【自主解答】(1)选D.A中当l与m相交时，才能得出α∥β，故A不能；B中，α∩β=a，l∥a，m∥a，如图，故B不能；同样C也不能；D中，当l⊥α，l∥m时，m⊥α，又m⊥β，所以α∥β.(2)取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连结OP，OF，FQ，因为AQ=3QC，所以QF∥AD，且QF=AD.因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP为△BDM的中位线，所以OP∥DM，且OP=DM，由点M为AD的中点，所以OP∥AD，且OP=AD，从而OP∥QF，且OP=QF，所以四边形OPQF为平行四边形，故PQ∥OF.又PQ⊈平面BCD，OF平面BCD，所以PQ∥平面BCD.【方法技巧】1.线线平行、线面平行、面面平行之间的关系2.证明线线平行的依据(1)平面几何法(常用的有三角形中位线、平行线分线段成比例、平行四边形对边平行).(2)线面平行的性质定理.(3)面面平行的性质定理.3.判断或证明线面平行的方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a⊈α，b

α，a∥b⇒a∥α).(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a

α⇒a∥β).(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊈β，a∥α⇒a∥β).4.证明面面平行的方法(1)面面平行的定义.(2)面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.【补偿训练】(2013·陕西高考)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1.(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.【解析】(1)连接A1C1，交B1D1于点O1，连接O1C，由题意知BD∥B1D1，A1O1∥OC且A1O1=OC⇒四边形A1OCO1为平行四边形⇒A1O∥O1C.且A1O∩BD=O，O1C∩B1D1=O1⇒平面A1BD∥平面CD1B1.(2)因为A1O⊥底面ABCD，所以A1O是三棱柱A1B1D1-ABD的高.在正方形ABCD中，AO=1.在Rt△A1OA中，A1O=1.三棱柱A1B1D1-ABD的体积所以，三棱柱A1B1D1-ABD的体积为1.主题五垂直关系的判定与性质【典例5】(2013·大纲版全国卷)如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形.(1)证明：PB⊥CD.(2)求点A到平面PCD的距离.【自主解答】(1)取BC的中点E，连接DE，则四边形ABED为正方形.过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.连接OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD，所以OA=OB=OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OE⊥BD，又OE⊥PO，PO∩BD=O，则OE⊥平面PBD，从而PB⊥OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD，因此PB⊥CD.(2)取PD的中点F，连接OF，则OF∥PB.由(1)知，PB⊥CD，故OF⊥CD.又OD=BD=，OP=故△POD为等腰三角形，因此OF⊥PD.又PD∩CD=D，所以OF⊥平面PCD.因为AE∥CD，CD

平面PCD，AE⊈平面PCD，所以AE∥平面PCD.因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而OF=PB=1，所以A到平面PCD的距离为1.【方法技巧】1.线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的关系，如图所示2.两条异面直线相互垂直的证明方法(1)定义.(2)线面垂直的性质定理.3.直线和平面垂直的证明方法(1)线面垂直的判定定理.(2)面面垂直的性质定理.4.平面和平面相互垂直的证明方法(1)定义.(2)面面垂直的判定定理.【补偿训练】(2013·广东高考)如图，在边长为1的等边△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图所示的三棱锥A-BCF，其中BC=.(1)证明：DE∥平面BCF.(2)证明：CF⊥平面ABF.(3)当AD=时，求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG.【解题指南】本题以折叠问题为背景，考查线面平行与垂直的证明及空间几何体体积的求法，对于立体几何中的折叠问题要注意折叠前后变与不变的量.【解析】(1)在等边△ABC中，AD=AE，所以，在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立，所以DE∥BC.因为DE⊈平面BCF，BC

平面BCF，所以DE∥平面BCF.(2)在等边△ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥FC，BF=CF=.因为在三棱锥A-BCF中，BC=，所以BC2=BF2+CF2，CF⊥BF.因为BF∩AF=F，所以CF⊥平面ABF.(3)易知GE∥CF，结合(2)可得GE⊥平面DFG.VF-DEG=VE-DFG=·

·DG·FG·GE=【强化训练】1.(2014·驻马店高一检测)如图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是(

)①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱A.④③② B.②①③ C.①②③ D.③②④【解析】选A.由于甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因主视图和左视图均是矩形，则甲是圆柱；由于乙的俯视图是三角形，则该几何体是多面体，又因主视图和左视图均是三角形，则该多面体的各个面都是三角形，则乙是三棱锥；由于丙的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因主视图和左视图均是三角形，则丙是圆锥.2.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊈α，l⊈β，则(

)A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l【解析】选D.因为m，n为异面直线，所以过空间内一点P，作m′∥m，n′∥n，则l⊥m′，l⊥n′，即l垂直于m′与n′确定的平面γ，又m⊥平面α，n⊥平面β，所以m′⊥平面α，n′⊥平面β，所以平面γ既垂直于平面α，又垂直于平面β，所以α与β相交，且交线垂直于平面γ，故交线平行于l，选D.3.已知三棱柱ABC-A′B′C′的体积为V，P，Q分别在侧棱AA′，CC′上，且AP=C′Q，则四棱锥B-ACQP的体积是(

)【解析】选B.连接BA′，BC′.如图，VB-A′B′C′＝V，VB-ACQP＝VB-A′C′QP，所以VB-ACQP＝V.4.(2013·江西高考改编)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=________.【解析】取CD中点G，连接EG，FG，可知CD⊥平面EFG，因为AB∥CD，所以AB⊥平面EFG，容易知道平面EFG与正方体的左右两个侧面平行，所以EF与正方体的两个侧面平行，观察可知n=4；又正方体的底面与正四面体的底面共面，所以过点A可作AH∥CE，易知CE与正方体的上底面平行，在下底面内，与其他四个面相交，所以m=4，即得m+n=8.答案：85.(2013·福建高考改编)如图，在四棱柱P-ABC