专题11 圆锥曲线的基本量（原卷版）

专题11圆锥曲线的基本量1、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则M的坐标为___________.2、【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是.3、【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是____________．4、【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（）A． B．1 C． D．25、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（）A．2sin40° B．2cos40°C． D．6、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（）A．2 B．3 C．4 D．87、【2019年高考北京卷文数】已知双曲线（a>0）的离心率是，则a=（）A． B．4C．2 D．8、【2019年高考天津卷文数】已知抛物线的焦点为F，准线为l.若l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（O为原点），则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．9、【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（）A． B．C． D．10、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│−│MP│为定值？并说明理由．11、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．（1）若为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围．一、椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距F1F2＝2c离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2焦半径公式：称到焦点的距离为椭圆的焦半径①设椭圆上一点，则（可记为“左加右减”）②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为，最小值为焦点三角形面积：（其中）二、双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x准线x＝±eq\f(a2,c)y＝±eq\f(a2,c)离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)通径：①内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦轴，焦半径公式：设双曲线上一点，左右焦点分别为，则①（可记为“左加右减”）②由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为焦点三角形面积：设双曲线上一点，则（其中）三、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径公式：设抛物线的焦点为，，则焦点弦长：设过抛物线焦点的直线与抛物线交于，则（，再由焦半径公式即可得到）题型一圆锥曲线的基本量圆锥曲线的基本量涉及到椭圆的长轴、短轴、焦距等基本量、双曲线的实轴、虚轴、焦距、渐近线等基本量，以及抛物线焦点坐标、准线方程等知识。求圆锥曲线标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便例1、（2019年泰州学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：EQ\F(x2,a2)＋EQ\F(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，若点P的坐标为(1，EQ\F(3,2))，且△PQF2的周长为8，则椭圆C的方程为．xxOyPF1F2Q例2、(2019常州期末）已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，直线x＋y＋2＝0经过双曲线C的焦点，则双曲线C的渐近线方程为________．例3、(2019无锡期末）以双曲线eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．例4、（2017·天津卷）已知双曲线E：的左焦点为，离心率为，若经过和两点的直线l平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为．题型二圆锥曲线的离心率问题圆锥曲线的离心率是圆锥曲线的一个最重要的性质，在江苏高考中多次考到，是江苏高考的热点问题。求离心率的值关键就是找到a,b,c之间的关系；求离心率的取值范围问题时，除了要根据条件来确定离心率的取值范围外，不要忘记离心率的本身的范围，即椭圆的离心率在(0，1)上，双曲线的离心率在(1，＋∞)上，这也是求离心率的范围问题的常见错误例5、(2019南京三模）平面直角坐标系xOy中，过双曲线eq\F(x2,a2)－eq\F(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P．若线段PF的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为▲．例6、（2014年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.(1)若点C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3)))，且BF2＝eq\r(2)，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．例7、(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B.(1)已知椭圆的离心率为eq\f(1,2)，线段AF中点的横坐标为eq\f(\r(2),2)，求椭圆的标准方程；(2)已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝－x上，求椭圆的离心率e的值．例8、（2018年徐州铜山调研）如图所示，椭圆E的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别是F1，F2，延长B2F2交A2B1于点P，若∠B2PA2是钝角，求椭圆E离心率e的取值范围．题型三圆锥曲线中点坐标及范围例9、(2019苏州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上，离心率为eq\f(1,2)的椭圆E的左顶点为A，点A到右准线的距离为6.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点A且斜率为eq\f(3,2)的直线与椭圆E交于点B，过点B与右焦点F的直线交椭圆E于M点，求M点的坐标．例10、(2019泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q.已知椭圆C的离心率为eq\f(1,2)，点A到右准线的距离为6.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点Q的横坐标为x0，求x0的取值范围．1、(2019苏锡常镇调研）已知双曲线C的方程为，则其离心率为．2、(2019南京、盐城一模）若双曲线eq\f(x2,2)－eq\f(y2,m)＝1的离心率为2，则实数m的值为________．3、已知椭圆C的焦点坐标为F1(4，0)，F2(4，0)，且椭圆C过点A(3，1)，则椭圆C的标准方程为

．4、(2019苏州期末）在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3，1)，则该双曲线的离心率为________．5、(2019通州、海门、启东期末）已知经过双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,8)＝1的一个焦点，且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A，B两点，则线段AB的长为________．6、(2019南通、泰州、扬州一调）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l，直线l与双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的两条渐近线分别交于A，B两点，AB＝eq\r(6)，则p的值为________．7、(2019南京、盐城二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是抛物线y2＝4x与双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的一个交点．若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为________．8、(2019宿迁期末）已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，右焦点与抛物线y2＝16x的焦点重合，则双曲线C的顶点到渐近线的距离为________.9、(2018常州期末）在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x＋y＋1＝0与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．10、(2018扬州期末）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋y2－6y＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．11、设，是椭圆E：的左、右焦点，若在右准线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆E的离心率e的取值范围是________．12、(2018南京、盐城、连云港二模）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝2的四个交点依次为A，B，C，D.若矩形ABCD的面积为b，则b的值为________．13、(2019南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，且直线l：x＝2被椭圆E截得的弦长为2.与坐标轴不垂直的直线交椭圆E于P，Q两点，且PQ的中点R在直线l上．点M(1，0)．(1)求椭圆E的方程；(2)求证：MR⊥PQ.14、(2018苏中三市、苏北四市三调）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，为右准线上一点．点在椭圆上，且．（1）若椭圆的离心率为，短轴长为．=1\*GB3①求椭圆的方程；（2）若在轴上方存在两点，使四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．15、(2017南京学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点(在x轴上方)，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设eq\o(PF1,\s\up6(→))＝λeq\o(F1Q,\s\up6(→)).(1)若点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；(2)若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，求实数λ的取值范围．16