专题21 数列与不等式结合的问题（原卷版）

专题21数列与不等式结合的问题一、题型选讲题型一不等式恒成立中的参数的范围，求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得．例1、(2019镇江期末）设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a2a4＝64.数列{bn}满足：对任意的正整数n，都有a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)·2n＋1＋2.(1)分别求数列{an}与{bn}的通项公式．(2)若不等式λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2b1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2b2)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2bn)))<eq\f(1,\r(2bn＋1))对一切正整数n都成立，求实数λ的取值范围．(3)已知k∈N*，对于数列{bn}，若在bk与bk＋1之间插入ak个2，得到一个新数列{cn}．设数列{cn}的前m项的和为Tm，试问：是否存在正整数m，使得Tm＝2019？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．例2、(2019南京、盐城二模）已知数列{an}各项均为正数，且对任意n∈N*，都有(a1a2…an)2＝aeq\o\al(n＋1,1)aeq\o\al(n－1,n＋1).(1)若a1，2a2，3a3成等差数列，求eq\f(a2,a1)的值；(2)①求证：数列{an}为等比数列；②若对任意n∈N*，都有a1＋a2＋…＋an≤2n－1，求数列{an}的公比q的取值范围．例3、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知数列{an}的各项均不为零．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{aeq\o\al(2,n)}的前n项和为Tn，且3Seq\o\al(2,n)－4Sn＋Tn＝0，n∈N*.(1)求a1，a2的值；(2)证明：数列{an}是等比数列；(3)若(λ－nan)(λ－nan＋1)<0对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的所有值．题型二、运用放缩法证明不等式与常数的关系此类问题往往与数列和有关，通过数列求和的方法研究求和或者通过放缩法研究数列和的不等关系，一般会得出数列的和与常数与一个变量之间的关系，进而得到与常数之间的不等关系。与求和相关的不等式的放缩技巧：①在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手②在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）例4、已知数列的前项和为，，设，数列的前项和为，证明：<.QUOTE例5、设数列的各项均为正数，它的前项和为，点在函数的图像上；数列满足，其中．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设，求证：数列的前项和．题型三、运用放缩法证明数列中的不等式在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；常见的放缩：；例6：已知正项数列的前项和为，且（1）求证：数列是等差数列（2）记数列，证明：例7：已知数列的前项和，且（1）求（2）求数列的前项和（3）设数列的前项和，且满足，求证：二、达标训练1、设数列各项为正数，且，若，数列的前项和为，则使成立时的最小值为.2、在数列中，，，设，设，且数列的前项和，若，则使恒成立的的取值范围.3、(2019宿迁期末）已知数列{an}各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项的和，对任意的n∈N*，都有2Sn＝3aeq\o\al(2,n)＋an－2.数列{bn}各项都是正整数，b1＝1，b2＝4，且数列ab1，ab2，ab3，…，abn是等比数列．(1)证明：数列{an}是等差数列；(2)求数列{bn}的通项公式bn；(3)求满足eq\f(Sn,bn＋2)<eq\f(1,4)的最小正整数n.4、(2017扬州期末）已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且对任意n∈N*，an＋1－an＝2(bn＋1－bn)恒成立．(1)若An＝n2，b1＝2，求Bn；(2)若对任意n∈N*，都有an＝Bn及eq\f(b2,a1a2)＋eq\f(b3,a2a3)＋eq\f(b4,a3a4)＋…＋eq\f(bn＋1,anan＋1)＜eq\f(1,3)成立，求正实数b1的取值范围；(3)若a1＝2，bn＝2n，是否存在两个互不相等的整数s，t(1＜s＜t)，使eq\f(A1,B1)，eq\f(As,Bs)，eq\f(At,Bt)成等差数列？若存在，求出s，t的值；若不存在，请说明理由．5、(2016苏锡常镇调研）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且对任意的正整数n，都有Sn＋1＝λSn＋3n＋1，其中常数λ>0.设bn＝eq\f(an,3n)(n∈N*)﹒(1)若λ＝3，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))的通项公