波利亚和其解题理论名师优质课赛课一等奖市公开课获奖课件

波利亚及其解题理论主讲人:李忠如西南大学数学与统计学院第1页波利亚(1887.12.13-1985.9.7)第2页波利亚(1887-1985)生平美国著名数学家、教育家。出生于匈牙利布达佩斯。早在中课时代，就显示出卓越数学才能，曾先后在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理学和哲学。19在布达佩斯获约特沃斯·洛伦得大学哲学博士学位。19，在苏黎世瑞士联邦理工学院任教,1928年任教授，1938年任数理学院院长。1940年移居美国，先在布朗大学任教。1942年后一直在斯坦福大学任教。1953年起，任该校退休教授。第3页波利亚(1887-1985)生平波利亚在众多数学分支：函数论、变分学、概率论、数论、组合数学以及计算数学和应用数学领域中都颇有建树，共发表200多篇著名论文，以他名字命名波利亚计数定理则是近代组合数学主要工具。波利亚还是出色数学教育家，他对数学思维普通规律研究，堪称是对人类思想宝库特殊贡献。为了表彰波利亚对数学出色贡献，1963年美国数学协会授予他以功勋奖(DistinguishedServicesAward),1968年美国教育电影图书协会授予他以数学物理最高荣誉奖(TopHonorofMathematicsandPhysics)。他并先后当选为美国国家科学院院士和法国科学院通讯院士等。第4页波利亚(1887-1985)生平波利亚主要数学著作有《怎样解题》、《不等式》(与哈代、李特伍德合著)、《数学发觉》多卷、《数学与猜测》多卷、《数学分析中问题和定理》(与塞格合著)、《数学物理中等周不等式》(与塞格合著)等。

第5页<怎样解题表>搞清题意确定计划执行计划检验回顾变换,推广,类比,作出新数学发觉.概括方法论原因,建立数学模型.第6页搞清题意1)已知是什么?2)未知是什么?3)题目要求你干什么?4)可否画一个图形?5)可否数学化?第7页确定计划(关键)6)你能否一眼看出结果?7)是否见过形式上稍有不一样题目?8)你是否知道与此相关题目,是否知道用得上定义,定理公式?9)有一个与你现在题目相关且你已解过题目,你能利用它吗?10)已知条件A,B,C……可否转化?可否建立一个等式或不等式?11)你能否引入辅助元素?12)假如你不能解这个题,可先解一个相关题,你能否想出一个较易下手,较普通,特殊,类似题?第8页执行计划13)把你想好解题过程详细地用术语,符号,图形,式子表述出来.14)修正解题方向以及原来确定不恰当方案.15)解题要求是:严密含有逻辑性.第9页检验回顾16)你能确定其它解题方案吗?17)你能利用它吗?你能用它结果吗?你能用它方法吗?18)你能找到什么方法检验你结果吗?第10页数学终究是由什么组成？“问题是数学心脏.”——P．R．Halmos“最有吸引力题材莫过于展望数学未来，列出在新世纪里数学家应该努力处理问题.”——Minkowski某类问题对于普通数学进展深远意义以及它们在研究者个人工作中所起主要作用是不容否定．只要一门科学分支能提出大量问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展衰亡或中止．正如人类每项事业都追求着确定目标一样，数学研究也需要自己问题．正是经过这些问题处理，研究者锻炼其钢铁般意志和力量，发觉新方法和新观点，到达更辽阔、更自由境界.——希尔伯特(1900)第11页解题是数学特点“夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法，必设一题．”——杨辉“从来没有像现在这么，美国人需要为生存而思索，他们需要进行数学式思维．”——美国数学科学委员会(1989)学数学如同下围棋，必须实践(做习题)，必须和较高水平人切磋(做有一定难度题)，棋力(数学水平)才有长进．另外，还需琢磨成局(学习定理证实或著名问题解法)，领会其精华(深刻数学思想)——单墫第12页解题是数学特点做习题并不只是在学完一个方法或一些知识之后．知识、方法应该尽可能地经过问题形式引人．第13页解题是数学特点例1：一大学教授向中学生介绍图论定义图G=(V，E)，由顶点集V与一些连结V中两个点边集E组成．定义假如E由连结V中每两个点边组成，那么G＝(V，E)称为完全图．定义假如图G1＝(V，E1)，G2＝(V，E2)含有相同顶点集V，而且E1∩E2＝，(V，E1∪E2)是完全图，那么称G1为G2补图．定理在|V|≥6时，G=(V，E)或它补图中必有三角形．

第14页解题是数学特点符合中学生特点教法：“任意六个人中必有三个人相互认识或三个人互不相识．为何？”为了处理这个问题，为了叙述方便，我们用六个点表示六个人．假如两个人相互认识，就将对应两点用线连结起来．这种由点及一些连结点线组成图形，就称为图．问题就成为：“六个点图中，一定有三个点两两相连(即组成三角形)，或者有三个点互不相连.”第15页中小学开设数学课程目标？数学技能就是解题能力——不但能处理普通问题，而且能处理需要某种程度独立思索、判断力、独创性和想像力问题．所以，中学数学教学首要任务就在于加强解题能力训练”——《数学发觉》第一卷序开设数学课程主要目标是教会学生怎样思索。“教会思索”意味着数学教师不但仅应该传授知识，而且也应该去发展学生利用所传授知识能力……——《数学发觉》第二卷

第16页中小学开设数学课程目标？波利亚将学生依照未来职业分为三类：数学家(包含理论物理学家、天文学家及一些专门研究领域里工程师)约占1%，用到数学人(工程师、科学家及一些社会科学家、数学教师。科学教师等)约占29%，不用数学人(实业家、律师、牧师等)约占70%，他指出数学教育应该符合于两个标准：第一，每一个学生应该能够从他学习中得到一些收获而不论他以后职业是什么．第二，那些在数学上表现出有一些资质学生应该受到勉励和吸引，而不要因为拙劣教育使他们嫌弃数学．第17页解题必须实践解题是一个实践性技能，就像游泳、滑雪或弹钢琴一样，只能经过模仿和实践学到它……你想学会游泳，你就必须下水，你想成为解题能手，你就必须去解题．——波利亚学习数学要做到熟练化．熟能生巧，进而出神入化．而要这么，就必须练。——华罗庚第18页问题种类按数学内容来分，能够分成几何、代数、数论(算术)、组合数学等．按问题结论来分，能够分为计算题、求解题、证实题．从形式上分，有选择题、填充题、综合题．从与已经有经验关系分，有固定模式、没有或较少固定模式．第19页解题步骤搞清题意．确定计划．实施计划．检验与回顾．第20页搞清问题问题应该用自己语言重新叙述．经过复述，能够发觉学生是否了解了题意，有没有忽略主要部分．凡有学生来问问题，首先让他复述，切不可急急忙忙地把解答告诉他．因为比解答更主要是解法，即怎样从已知走向未知，而将题目中“信息”重新编排，适当整理，正是走向未知第一步．第21页搞清问题例2某市有n所中学，第i所中学派出Ci名学生(1≤Ci≤39，1≤i≤n)到体育馆观看球赛，总人数=1990．看台上每一横排有199个座位．同一学校学生必须坐在同一横排，问最少要安排多少个横排才能确保学生全部坐下？第22页搞清问题例2重述为：一些学校派出学生看球赛，看台上每一排有199个座位，同一学校学生必须坐在同一排．每个学校派出学生不超出39人，学生总数为1990人，问最少要安排多少排才能确保学生全部坐下？第23页搞清问题例1还能够用填充与提问方式来加深了解：学生总数是1990人．每个学校派出人数≤39．每排可坐199人．还有什么要求？(答：同一学校学生必须坐在同一排)本题还有一个至关主要词“最少”，必须搞清楚．“最少要安排多少排才能确保学生全部坐下”，这句话是什么意思？答：(略)这两层含义，需要我们怎样去做？怎样才是完整解答？答：(略)．第24页搞清问题例3摄制组从A市到B市有一天旅程，计划早晨比下午多走100千米到C市吃午饭．因为道路堵塞，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划三分之一．过了小镇，汽车赶了400千米，黄昏才停下来休息．司机说再走从C市到这里二分之一，就抵达目标地了．问A、B两市相距多少千米？第25页搞清问题图中D是小镇，E是黄昏休息处．D、E之间距离是400千米．EB是CE二分之一，AD是AC三分之一，AC比CB多100千米．求AB长．ADCEB第26页搞清问题实际上，改变问题提法已不但是搞清题意，能够说是向问题处理进了一大步．波利亚主张“不停地变换你问题”，“我们必须一再地改变它，重新叙述它，变换它，直到最终成功地找到一些有用东西为止”．第27页搞清问题例4已知k＞a＞b＞c＞0，求证：k2－(a+b+c)k+ab+bc+ca＞0①读题，读题，重复读题，这是解题时首先要认真做事，切莫忽略．第28页确定计划问题明确后，便是通常所说真正解题阶段．熟悉问题，有一定套路问题，不需太多思索．稍深入问题，需要一点改变，波利亚表中“你是否见过相同或形式稍有不一样问题？”可用，以唤醒你记忆，从大脑信息库中找到一个能够利用模式．真正问题是不能照套，需要解题者发挥某种程度主动性与创造性．主动性与创造性程度越大，问题难度越大，质量越高．对这类问题来说，波利亚所说“你以前见过它吗？”等等，就不用再考虑了，没有多大用处．这类问题往往是竞赛性.第29页确定计划例4已知k＞a＞b＞c＞0，求证：k2－(a+b+c)k+ab+bc+ca＞0①第30页确定计划抛物线y=x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca开口向上．假如二次多项式x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca②判别式△=(a＋b＋c)2－4(ab＋bc＋ca)③满足△＜0④那么抛物线与x轴没有交点，从而在x轴上方，恒有x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＞0．⑤于是①成立．故，原问题化为证实④成立．这一计划也很清楚，不过无法证实④一定成立．第31页实现计划在解题中，这一步是最轻易，假如计划是完善，实现计划往往是“例行公事”，作一些机械性计算，但计划往往是不完善，所以又往往需要回到上一步，出现一些重复．另外，计算或操作中可能有困难存在，甚至会碰到难以逾越困难，这时原来计划必须推倒重来．第32页检验与回顾解题，如同在黑暗中走进一间陌生房间．回顾，则好像打开了电灯．这时一切都清楚了：在以前探索中，哪几步走错了，哪几步无须要，应该怎样走，等等．朦胧变成了自觉．正如波利亚所说，这是“领会方法最正确时机”，“当读者完成了任务，而且他体验在头脑中还是新鲜时候，去回顾他所做一切，可能有利于探究他刚才克服困难实质，他能够对自己提出许多有用问题：‘关键在哪里？主要困难是什么？什么地方我能够完成得更加好些？我为何没有觉察到这一点？要看出这一点我必须具备哪些知识？应该从什么角度去考虑？这里有没有值得学习诀窍可供下次碰到类似问题时应用？’第33页12条解题要诀——单撙1．要享受到解题乐趣．对解题有浓厚兴趣，能有几分痴迷更加好．2．要有充分信心．3．要有百折不回决心与坚韧不拔毅力．4．要做100道有质量题目．5．重复探索，大胆地跟着感觉走．6．从简单做起．7．从不一样角度看问题．8．学、思结合，发挥创造性，努力产生“好想法”．9．设法创造条件，不停变更问题．10．引入适当字母，向基本量靠拢．11．力争简单自然，直剖关键．12．注意总结．第34页参考