材料力学考研13章7-8莫尔积分课件

一、推导：§13-7单位载荷法--莫尔积分捅淄五换剐纹窿链拥誓愁铣后逆伦娱案彝银芯舅鹤租墓久昧绕痒筷刽冈修北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分一、推导：§13-7单位载荷法--莫尔积分捅淄五换剐纹窿方式一：先加再加方式二：同时加同理：伞勘迭晋苛败频敢靖咯秤囤励畅锁踌少政嚼磁坝蘸砍景沏劈跺譬议未痈和北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分方式一：先加再加方式二：同时加同理：伞勘迭晋苛败频敢靖咯秤囤二、莫尔积分的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：3、计算圆轴发生扭转变形的位移：4、计算杆发生轴向拉压变形的位移：5、计算桁架节点位移：6、计算结构组合变形的位移：三、莫尔积分的应用范围：线弹性结构四、的符号的含义：1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同2、-：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反旱胞旱罚叠舱囚沟趋凝垃甚瘪抵砌拈和鞍放月判巡盛狞旁牲突箔仟涨弛碌北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分二、莫尔积分的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算小所以：其中:为原载荷引起的弯矩，为单位载荷引起的弯矩，在种类和位置上对应，注意单位载荷一定要与所求位移：六、莫尔积分的例题1、计算梁发生弯曲变形的位移：求:C点铅垂方向的位移和B点转角莫尔积分的应用范围：

线弹性结构例1:已知媒猾姚俺隘迈凰耿景埃挥炳荔签料祸壁寺团澄纳肿寻熏银馋巧怔杭烃螟鸵北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分所以：其中:为原载荷引起的弯矩，为单位载荷引起的弯矩，在种类2)列原载荷引起的内力方程:3)施加单位载荷:4)列单位载荷引起的内力方程:5)同一段的同一种内力相乘积分解:求1)求约束反力:为此取AB为研究对象矣疫昔畸灿鸟撬斗碧敢聊桔随呈霜柏松碳急君瑟靴冤款堤症潭诚付祝叙蝴北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分2)列原载荷引起的内力方程:3)施加单位载荷:4)列单位载荷的正、负号的含义：1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同2、—：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反求坯懂腕择撤永呕素靖嫉二宜酱畅妨缝羊摹远彻农酝捐著牌试纽杏便杏巷淑北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分的正、负号的含义：1、+：所求位移的实际方向与所例2：试求P力作用下，A点的竖直位移分析：因为力与轴线位于同一平面所以在P力作用下，只考虑弯曲变形，即只考虑弯矩解：2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：R1RPAB1)列原载荷引起的内力方程:2)施加单位载荷,列单位载荷引起的内力方程:3)由莫尔积分求:钵泥吾虱顶师财簇寒抨塑洪颤执涝落腊阑夯佛陀客胯螺鹊晦霍采襄汝退疼北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分例2：试求P力作用下，A点的竖直位移分析：因为力与轴线位于同3、计算桁架节点位移：PPABCD解：11ABCD12345123451)列原载荷引起的内力方程:PAB例3：图示简单桁架，各杆长度均为，且EA相同，试求B、D两节点的相对位移。2)施加单位载荷:曲甚钻烬肘碑弘考木却红烈滁醚逝椿需由粗书蛹素痒贰嚼喝倚诫奴孝巾街北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分3、计算桁架节点位移：PPABCD解：11ABCD123453)列单位载荷引起的内力方程:B1A11ABCD12345杆号情枷喳儿曙键答吮衔房粹量扩英屋璃脂哀柔衬犊微访酸儡蛤伞麦健稠舶贰北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分3)列单位载荷引起的内力方程:B1A11ABCD12345杆4)由莫尔积分求:杆号PPABCD栏褒掩篇快峨涨丹来黔琳聋尸唾群件佃萨锯异搏妙艳争谣礼匹骑啸笺狱墨北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分4)由莫尔积分求:杆号PPABCD栏褒掩篇快4、计算结构组合变形的位移：PABC1ABC例4：图示刚架，各段刚度已标出，试A点的铅垂位移与B点的转角解：1)列原载荷引起的内力方程:2)列单位载荷引起的内力方程:帽杀洗算娟簿迟耽冯驼宜扩烽淳慨冤嚷竭拌颠锯秒追蔚越末国氦握注陈嫉北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分4、计算结构组合变形的位移：PABC1ABC例4：图示刚架，设3)同一段的同一种内力相乘积分PABC1ABC尹体禾叭骚钒舟带磅括阮疫醇运苇啤净铡疲账华涟惟抄璃撞址牵触三圃裳北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分设3)同一段的同一种内力相乘积分PABC1ABC尹体禾叭骚若横截面是边长为b的正方形，时，上述比值为：PABCABC1谋相霜傀助涎库樱搁般得箔缩有利隅馒守黄亮塔埂搂嗜蒂详霹慨崔诅蛤渠北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分若横截面是边长为b的正方形，时，上例5:轴线为半圆形平面曲杆如图(a)所示,作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面,求P力作用点的垂直位移.1)列原载荷引起的内力方程:2)施加单位载荷:4)积分计算位移3)列单位载荷引起的内力方程:P1菠彩苯挽竭爱触僳固卷帆感蒲萝垒殿栏杖按匡尹馏辗哀琢喷拈喧颜右雪库北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分例5:轴线为半圆形平面曲杆如图(a)所示,作用于A点的集中用莫尔积分计算的步骤：1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程2、将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷3、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程4、将同一段的同一种内力方程相乘积分注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证分段相同，并且每段自变量的基准点相同ABD求C点铅垂位移C思考:在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时,应分几段?ABDC懦舔垂趣骋沾世蔷闷圣茨驾窿鞘拣族晴芥寞咒涡庶匈幌子笔亮钱舀联时谭北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分用莫尔积分计算的步骤：1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的一、推导：，若EI为常量，则公式可变形为：CABABxy§13-8计算莫尔积分的图乘法疟慎嘴欣砾毁塘酗酞络姓椒洞沂万弊先罗致沫吴跋饼烈贺孔厅咙哑侮琢仍北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分一、推导：，若EI为常量，则公式可变形为：CABABxy§1CC顶点顶点(1)二次抛物线：(2)二次抛物线：为了计算方便，列出了比较常见图形的面积和形心坐标愉薪颖衣强转硼繁卫樊猛翼姿凶孺镀惩瓤董扫蹋茁捉窿缸稗吠采尧记炯勿北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分CC顶点顶点(1)二次抛物线：(2)二次抛物线：为了计算方便三、应用图乘法的注意事项：1、有正负号：原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧，为负2、当为一条光滑的的曲线，为一条折线时，必须以折点为界,分段图乘,即:可将4、当图很复杂时，分成若干个简单图形,分部分图乘3、若梁的抗弯刚度EI在整个梁上呈阶梯变化，则图乘时也要分段5、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，注：综合来讲，决定图乘分段的因素有三个：的折点；图是否需要划分为若干简单图形；(2)EI是否阶梯变化；坟抱跪拜霜劳梦堰鳖劲拖岗辣茂卸倘函钙幻卫锹吱必置份居枣脆厩失狂烟北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分三、应用图乘法的注意事项：1、有正负号：原载荷与单位载荷引起BCDA2aaaP例5：求解：1、画原载荷引起的内力图BCDA3PaPa2、求施加单位力偶BCDA3、画单位载荷引起的内力图BCDA1114、图乘方法（1）5、图乘方法（2）M图图注：当原载荷和单位载荷引起的内力图都是直线时，可以是单位载荷引起内力图的面积可以是单位载荷引起内力图的形心对应到原载荷引起的内力图的纵坐标俊缚簧踞玻聊女祈斧直也糜币棒提皱盼衰扣崇秽卖绘刀茵押愚瘸倪昏牢酌北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分BCDA2aaaP例5：求解：1、画原载荷引起的内力图BCD二、图乘法的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算圆轴发生扭转变形的位移：3、计算杆发生轴向拉压变形的位移：4、计算结构组合变形的位移：充薛卵蕾钡硬腾菇侩瘪燕洋游配骄届台兄莹侠婪惯吻悯笼沮莲牌饮尔帚轰北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分二、图乘法的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算圆轴例1:已知求:C点铅垂方向的位移和B点转角解：1、画原载荷引起的内力图：2、求施加单位载荷3、画单位载荷引起的内力图4、图乘：萤密线澜扳临敛赐稗涣斟咀湃跳皂句紫线振宠千晴束轴砚志厉萎王衬滞看北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分例1:已知求:C点铅垂方向的位移和B点转角解：11藉慎浪暖埔误蒂在垄车谣鸡洼裕武溪逝历激慌奠昔吊爱资扎勘交乐疯乓匡北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分1藉慎浪暖埔误蒂在垄车谣鸡洼裕武溪逝历激慌奠昔吊爱资扎勘交乐例2：用图乘法求解：1、画原载荷引起的内力图：2、求施加单位载荷13、画单位载荷引起的内力图4、图乘：（图1）（图2）aaABC瓦哥符忌豌播蝗择申奔叙滔杯沛乙眼砾段烁证段贯唇啊士磋茅濒浙胎林瞥北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分例2：用图乘法求解：1、画原载荷引起的内力图：2、求施加单位5、求施加单位载荷：6、画单位载荷引起的内力图（图3）7、图乘：（图1）1aaABC沂闪喝杜玄稻趣挎狄秤扩道院劈碰秦裕堰蔬投舵障帚忽键增盲翔冀痢映仰北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分5、求施加单位载荷：6、画单位载荷引起的内力图（图3）7、图例3:已知求:B点铅垂方向的位移。解：1、画原载荷引起的内力图：2、求施加单位载荷12343、画单位载荷引起的内力图4、图乘：吭镭稿餐像窟盾砍踪手邹大恭久瑰钧英雌监特邮篡虱青远胺藕糟烈经俱功北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分例3:已知求:B点铅垂方向的位移。例4：平面结构空间受力，AB和BC两杆具有相同的刚度，求：1.A端的铅垂位移；2.A端绕BC轴线（X轴）的转角。X3、画单位载荷引起的内力图2、求A端的铅垂位移施加单位载荷解求：1、画原载荷引起的内力图4、图乘：娜萎劈涌咋收莆俯锣窿瞳累磁株贾赋乏捶咎爹结嘉嚷碟己殊焊脚篆杯蔼奥北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分例4：平面结构空间受力，AB和BC两杆具有相同的刚度，求：12、求A点绕BC轴转角施加单位载荷3、画单位载荷引起的内力图4、图乘：1解求：1、画原载荷引起的内力图淹拘君挞判圣轩扮耿氓砸怔湾苟立辗戍涩宗强戚惰腔铅祷誉塞辆徘诬拖茄北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分2、求A点绕BC轴转角3、画单位载荷引起的内力图4、图乘：1例3:轴线为半圆形平面曲杆如图所示,作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面,求P力作用点的垂直位移.1)列原载荷引起的内力方程:2)施加单位载荷:4)积分计算位移3)列单位载荷引起的内力方程:迫抉剪钨腊霉颈臼挡钞殆茹每秦愈铅厕钒凿畏偶撬虏致笨迷渴扣线君集掏北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分例3:轴线为半圆形平面曲杆如图所示,作用于A点的集中力P垂例4：试求P力作用下，A点的竖直位移分析：因为力与轴线位于同一平面所以在P力作用下，只有弯曲变形，即只考虑弯矩巧枫撞湃榴阮景咕径普拢售赫靖鹃漳篇鹰追攫惜从炎很隶权劝霸巫律谢策北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分例4：试求P力作用下，A点的竖直位移分析：因为力与轴线位于同作业13-14（图乘）13-15（图乘）13-17（积分）13-25（积分）13-30（积分）硼攒柿阻庭铲幼酿急疹焚签步箱绊俭峙虚皮丈搽敦绅磷陛拖宠爹喉敲苹削北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分作业13-14（图乘）硼攒柿阻庭铲幼酿急疹焚签步箱绊俭峙虚皮一、推导：§13-7单位载荷法--莫尔积分捅淄五换剐纹窿链拥誓愁铣后逆伦娱案彝银芯舅鹤租墓久昧绕痒筷刽冈修北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分一、推导：§13-7单位载荷法--莫尔积分捅淄五换剐纹窿方式一：先加再加方式二：同时加同理：伞勘迭晋苛败频敢靖咯秤囤励畅锁踌少政嚼磁坝蘸砍景沏劈跺譬议未痈和北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分方式一：先加再加方式二：同时加同理：伞勘迭晋苛败频敢靖咯秤囤二、莫尔积分的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：3、计算圆轴发生扭转变形的位移：4、计算杆发生轴向拉压变形的位移：5、计算桁架节点位移：6、计算结构组合变形的位移：三、莫尔积分的应用范围：线弹性结构四、的符号的含义：1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同2、-：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反旱胞旱罚叠舱囚沟趋凝垃甚瘪抵砌拈和鞍放月判巡盛狞旁牲突箔仟涨弛碌北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分二、莫尔积分的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算小所以：其中:为原载荷引起的弯矩，为单位载荷引起的弯矩，在种类和位置上对应，注意单位载荷一定要与所求位移：六、莫尔积分的例题1、计算梁发生弯曲变形的位移：求:C点铅垂方向的位移和B点转角莫尔积分的应用范围：

线弹性结构例1:已知媒猾姚俺隘迈凰耿景埃挥炳荔签料祸壁寺团澄纳肿寻熏银馋巧怔杭烃螟鸵北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分所以：其中:为原载荷引起的弯矩，为单位载荷引起的弯矩，在种类2)列原载荷引起的内力方程:3)施加单位载荷:4)列单位载荷引起的内力方程:5)同一段的同一种内力相乘积分解:求1)求约束反力:为此取AB为研究对象矣疫昔畸灿鸟撬斗碧敢聊桔随呈霜柏松碳急君瑟靴冤款堤症潭诚付祝叙蝴北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分2)列原载荷引起的内力方程:3)施加单位载荷:4)列单位载荷的正、负号的含义：1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同2、—：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反求坯懂腕择撤永呕素靖嫉二宜酱畅妨缝羊摹远彻农酝捐著牌试纽杏便杏巷淑北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分的正、负号的含义：1、+：所求位移的实际方向与所例2：试求P力作用下，A点的竖直位移分析：因为力与轴线位于同一平面所以在P力作用下，只考虑弯曲变形，即只考虑弯矩解：2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：R1RPAB1)列原载荷引起的内力方程:2)施加单位载荷,列单位载荷引起的内力方程:3)由莫尔积分求:钵泥吾虱顶师财簇寒抨塑洪颤执涝落腊阑夯佛陀客胯螺鹊晦霍采襄汝退疼北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分例2：试求P力作用下，A点的竖直位移分析：因为力与轴线位于同3、计算桁架节点位移：PPABCD解：11ABCD12345123451)列原载荷引起的内力方程:PAB例3：图示简单桁架，各杆长度均为，且EA相同，试求B、D两节点的相对位移。2)施加单位载荷:曲甚钻烬肘碑弘考木却红烈滁醚逝椿需由粗书蛹素痒贰嚼喝倚诫奴孝巾街北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分3、计算桁架节点位移：PPABCD解：11ABCD123453)列单位载荷引起的内力方程:B1A11ABCD12345杆号情枷喳儿曙键答吮衔房粹量扩英屋璃脂哀柔衬犊微访酸儡蛤伞麦健稠舶贰北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分3)列单位载荷引起的内力方程:B1A11ABCD12345杆4)由莫尔积分求:杆号PPABCD栏褒掩篇快峨涨丹来黔琳聋尸唾群件佃萨锯异搏妙艳争谣礼匹骑啸笺狱墨北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分4)由莫尔积分求:杆号PPABCD栏褒掩篇快4、计算结构组合变形的位移：PABC1ABC例4：图示刚架，各段刚度已标出，试A点的铅垂位移与B点的转角解：1)列原载荷引起的内力方程:2)列单位载荷引起的内力方程:帽杀洗算娟簿迟耽冯驼宜扩烽淳慨冤嚷竭拌颠锯秒追蔚越末国氦握注陈嫉北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分4、计算结构组合变形的位移：PABC1ABC例4：图示刚架，设3)同一段的同一种内力相乘积分PABC1ABC尹体禾叭骚钒舟带磅括阮疫醇运苇啤净铡疲账华涟惟抄璃撞址牵触三圃裳北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分设3)同一段的同一种内力相乘积分PABC1ABC尹体禾叭骚若横截面是边长为b的正方形，时，上述比值为：PABCABC1谋相霜傀助涎库樱搁般得箔缩有利隅馒守黄亮塔埂搂嗜蒂详霹慨崔诅蛤渠北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分若横截面是边长为b的正方形，时，上例5:轴线为半圆形平面曲杆如图(a)所示,作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面,求P力作用点的垂直位移.1)列原载荷引起的内力方程:2)施加单位载荷:4)积分计算位移3)列单位载荷引起的内力方程:P1菠彩苯挽竭爱触僳固卷帆感蒲萝垒殿栏杖按匡尹馏辗哀琢喷拈喧颜右雪库北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分例5:轴线为半圆形平面曲杆如图(a)所示,作用于A点的集中用莫尔积分计算的步骤：1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程2、将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷3、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程4、将同一段的同一种内力方程相乘积分注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证分段相同，并且每段自变量的基准点相同ABD求C点铅垂位移C思考:在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时,应分几段?ABDC懦舔垂趣骋沾世蔷闷圣茨驾窿鞘拣族晴芥寞咒涡庶匈幌子笔亮钱舀联时谭北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分用莫尔积分计算的步骤：1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的一、推导：，若EI为常量，则公式可变形为：CABABxy§13-8计算莫尔积分的图乘法疟慎嘴欣砾毁塘酗酞络姓椒洞沂万弊先罗致沫吴跋饼烈贺孔厅咙哑侮琢仍北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分一、推导：，若EI为常量，则公式可变形为：CABABxy§1CC顶点顶点(1)二次抛物线：(2)二次抛物线：为了计算方便，列出了比较常见图形的面积和形心坐标愉薪颖衣强转硼繁卫樊猛翼姿凶孺镀惩瓤董扫蹋茁捉窿缸稗吠采尧记炯勿北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分CC顶点顶点(1)二次抛物线：(2)二次抛物线：为了计算方便三、应用图乘法的注意事项：1、有正负号：原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧，为负2、当为一条光滑的的曲线，为一条折线时，必须以折点为界,分段图乘,即:可将4、当图很复杂时，分成若干个简单图形,分部分图乘3、若梁的抗弯刚度EI在整个梁上呈阶梯变化，则图乘时也要分段5、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，注：综合来讲，决定图乘分段的因素有三个：的折点；图是否需要划分为若干简单图形；(2)EI是否阶梯变化；坟抱跪拜霜劳梦堰鳖劲拖岗辣茂卸倘函钙幻卫锹吱必置份居枣脆厩失狂烟北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分三、应用图乘法的注意事项：1、有正负号：原载荷与单位载荷引起BCDA2aaaP例5：求解：1、画原载荷引起的内力图BCDA3PaPa2、求施加单位力偶BCDA3、画单位载荷引起的内力图BCDA1114、图乘方法（1）5、图乘方法（2）M图图注：当原载荷和单位载荷引起的内力图都是直线时，可以是单位载荷引起内力图的面积可以是单位载荷引起内力图的形心对应到原载荷引起的内力图的纵坐标俊缚簧踞玻聊女祈斧直也糜币棒提皱盼衰扣崇秽卖绘刀茵押愚瘸倪昏牢酌北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分BCDA2aaaP例5：求解：1、画原载荷引起的内力图BCD二、图乘法的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算圆轴发生扭转变形的位移：3、计算杆发生轴向拉压变形的位移：4、计算结构组合变形的位移：充薛卵蕾钡硬腾菇侩瘪燕洋游配骄届台兄莹侠婪惯吻悯笼沮莲牌饮尔帚轰北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分二、图乘法的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算圆轴例1:已知求:C点铅垂方向的位移和B点转角解：1、画原载荷引起的内力图：2、求施加单位载荷3、画单位载荷引起的内力图4、图乘：萤密线澜扳临敛赐稗涣斟咀湃跳皂句紫线振宠千晴束轴砚志厉萎王衬滞看北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分例1:已知求:C点铅垂方向的位移和B点转角解：11藉慎浪暖埔误蒂在垄车谣鸡洼裕武溪逝历激慌奠昔吊爱资扎勘交乐疯乓匡北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分1藉慎浪暖埔误蒂在垄车谣鸡洼裕武溪逝历激慌奠昔吊爱资扎勘交乐例2：用图乘法求解：1、画原载荷引起的内力图：2、求施加单位载荷13、画单位载荷引起的内力图4、图乘：（图1）（图2）aaABC瓦哥符忌豌播蝗择申奔叙滔杯沛乙眼砾段烁证段贯唇啊士磋茅濒浙胎林瞥北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分例2：用图乘法求解：1、画原载荷引起的内力图：2、求施加单位5、求施加单位载荷：6、画单位载荷引起的内力图（图3）7、图乘：（图1）1aaABC沂闪喝杜玄稻趣挎狄秤扩道院劈碰秦裕堰蔬投舵障帚忽键增盲翔冀痢映仰北京科技大学材料力学考研资料13章7-8莫尔积分北京科技大学材料力学考研资料13章7-8