题型分类突破理科Y版模块五

模块五概率与统计考查角度1排列、组合与二项式定理(见学生用书P62)分类透析1计数原理的应用例1如图所示,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有().A.72种 B.48种C.24种 D.12种答案A解析(法一)首先A有4种涂法,则B有3种涂法,C与A,B相邻,则C有2种涂法,D只与C相邻,则D有3种涂法,所以共有4×3×2×3=72种涂法.(法二)按要求涂色至少需要3种颜色,故分为两类:一是4种颜色都用,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有1种涂法,共有4×3×2×1=24种涂法;二是用3种颜色,这时A,B,C的涂法有4×3×2=24种,D只要不与C同色即可,故D有2种涂法.所以不同的涂法共有24+24×2=72种.小结利用两个计数原理解决应用问题的一般思路:(1)弄清完成一件事是做什么;(2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类;(3)弄清分步、分类的标准是什么;(4)利用两个计数原理求解.分类透析2排列与组合的问题例2为配合国家精准扶贫战略,某省示范性高中安排6名高级教师(不同姓)到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教,每所学校至少有1人,因工作需要,其中李老师不去甲校,则分配方案种数为.

答案360解析根据到甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教,每所学校至少有1人,可分为四种情况:①甲校安排1名教师,分配方案种数为C51(C51C②甲校安排2名教师,分配方案种数为C52(C41C③甲校安排3名教师,分配方案种数为C53④甲校安排4名教师,分配方案种数为C5由分类加法计数原理,可得共有150+140+60+10=360种分配方案.小结解决排列组合问题的基本方法有直接法和间接法.直接法就是采用分类、分步的方法逐次求解,间接法就是从问题的对立面求解.不论是直接法还是间接法,都要遵循“特殊元素、特殊位置优先考虑”的原则.注意几种典型的排列组合问题:相邻问题(捆绑法)、不相邻问题(插空法)、定序问题(组合法)、分组分配问题(先分组后分配)等.分类透析3二项式定理的应用例3二项式2x-1答案60解析展开式的通项公式为Tr+1=C6r·(2x)6-r·-1xr=C6r·26-r·令6-32r=0,解得r=4,所以该二项式的展开式中常数项为C64·26-4·(-1)4小结利用二项式的通项求出符合条件的项,整合后最终得出所求.(见学生用书P62)1.(2020年全国Ⅰ卷,理T8改编)x+y2x(x+ay)5的展开式中x3y3的系数为15,则实数a的值为A.-4B.-2C.1D.2答案C解析因为(x+ay)5的展开式的通项公式为Tr+1=C5rx5-r(ay)r(r∈N且r≤所以x+y2x中的各项与(x+ay)5展开式的通项的乘积可表示为xTr+1=xC5rx5-r(ay)r=C5rx6-r(ay)r,y2xTr+1=y2xC5rx5-r在xTr+1=C5rx6-r(ay)r中,令r=3,可得xT4=a3C53x3y3,该项中x3y3的系数为在y2xTr+1=C5rx4-raryr+2中,令r=1,可得y2xT2=aC51x3y3,所以x3y3的系数为10a3+5a=15,解得a=1,故选C.2.(2020年全国Ⅲ卷,理T14改编)x2+2x6的展开式中x6项的系数是答案60解析x2+2x6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r·(x2)6-r·2xr=C6令12-3r=6,解得r=2,所以x2+2x6的展开式中x6项的系数是C63.(2020年全国Ⅱ卷,理T14改编)5名环卫工作人员到4个小区参加垃圾分类宣传活动,每名工作人员只去1个小区,每个小区至少安排1名工作人员,则不同的安排方法共有种.

答案240解析先取2名工作人员作为一组,选法有C52=10种,然后将4组工作人员分配到4个小区,分法有A44=24种,根据分步乘法计数原理,可得不同的安排方法共有10×24(见学生用书P62)1.(2020届银川一中三模)为了加强精准扶贫,实现伟大复兴的中国梦.某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加A,B,C三个贫困县的调研工作,每个县至少去1人,且甲、乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有()种.A.24 B.36 C.48 D.64答案B解析当按照3∶1∶1进行分配时,则有C31A33=18种不同的方案;当按照2∶2∶1进行分配时,则有C32A33=18种不同的方案.故共有2.(2020届棠湖中学一模)五名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革:庆祝改革开放40周年大型展览”,参观结束后五名同学排成一排照相留念.若甲、乙二人不相邻,则不同的排法共有().A.36种 B.48种C.72种 D.120种答案C解析除甲、乙二人外,其他3名同学先排成一排,共有A33=6这3名同学排好后,留下4个空位,安排甲、乙二人,共有A42=12所以不同的排法共有6×12=72种,故选C.3.(2020届河南省开封市高三第四次教学质量检测)从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为().A.48 B.72C.90 D.96答案D解析因为甲不能参加生物竞赛,所以可分为两种情况:安排甲参加另外3场比赛或甲不参加任何比赛.①当甲参加另外3场比赛时,共有C31·A43=72种参赛方案;②当甲不参加任何比赛时,共有A44=24种参赛方案.综上所述,4.(2020届北京市丰台区期末)在1x-x26的展开式中,A.-20 B.-15C.15 D.30答案C解析1x-x26的展开式的通项公式为Tr+1=C6r1x6-r(-x2)r令3r-6=0,解得r=2,故常数项为T3=(-1)2C62=15,5.(2020届山东省烟台市高三考试)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,则所有可能的排法种数为().A.216 B.480C.504 D.624答案C解析当课程“御”排在第一周时,共有A55=120当课程“御”“乐”均不排在第一周,且“御”不排在最后一周时,共有C41×C41×综上所述,所有可能的排法有120+384=504种.6.(2020届河南省大联考)将3个黑球,3个白球和1个红球排成一排,各小球除了颜色以外其他属性均相同,则相同颜色的小球不相邻的排法共有().A.14种 B.15种C.16种 D.18种答案D解析首先将黑球和白球排列好,再插入红球.情况1:黑球和白球按照黑白相间排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此时将红球插入6个球组成的7个空中即可,因此共有2×7=14种.情况2:黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起(“黑白白黑白黑”“黑白黑白白黑”“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”),此时红球只能插入两个相同颜色的球之中,共有4种.综上所述,共有14+4=18种,故选D.7.(2020届山西省大同市模拟)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应着十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马的吉祥物,乙同学喜欢牛、狗和羊的吉祥物,丙同学每个吉祥物都喜欢.如果让三位同学都满意选取的礼物,那么选法共有().A.30种 B.50种C.60种 D.90种答案B解析如果甲同学选牛,那么乙同学只能选狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10种任意选,所以共有C21·C101=20种;如果甲同学选马,那么乙同学能选牛、狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10种任意选,所以共有C31·C101=30种,所以共有20+8.(2020届湖南省益阳市高三期末)x+1x(x-3)5的展开式中含x的项的系数为(A.-112 B.112C.-513 D.513答案C解析展开式中含x的项为xC55x0(-3)5+1xC53x2·(-3所以含x的项的系数为-513.故选C.9.(2020届重庆市巴蜀中学期末)如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余两所学校均只参观一天,那么不同的安排方法共有().A.50种 B.60种C.120种 D.210种答案C解析先安排甲学校的参观时间,因为甲学校连续参观两天,所以共有A61种方法,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两校参观,共有A52种方法.按照分步乘法计数原理可知,共有A610.(2020届安徽省高三二模)为了实施“科技下乡,精准脱贫”战略,某县科技特派员带着A,B,C三个农业扶贫项目进驻某村,对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶.经过前期实际调研得知,这四个贫困户选择A,B,C三个扶贫项目的意向如下表:扶贫项目ABC贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项,且每个项目至多有两个贫困户选择,则不同的选法有().A.24种 B.16种C.10种 D.8种答案B解析分两类:第一类,只有一个项目有2个贫困户选,C项目有2个贫困户选,甲、乙分别选取A,B项目,方法有A22=2种,B项目有2个贫困户选,方法有A22+1+1=4种,A项目有2个贫困户选,丙、丁不能同时选A,方法有1+1+1+1+1=5种,共有2+4+5=11种;第二类,只选2个项目,每个项目有2个贫困户选,先AB,有C31=3种,选AC只有1种,选BC只有1种,共有3+1+1=5种.综上,共有1111.(2020届四川省宜宾市模拟)某高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口,高考完后某班3名同学从该进站口检票进站到外地旅游,如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同,或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同,都视为不同的进站方式,那么这3名同学的不同进站方式有().A.24种 B.36种C.42种 D.60种答案D解析若3名同学从3个不同的检票通道口进站,则有A33=6若3名同学从2个不同的检票通道口进站,则有C32A若3名同学从1个不同的检票通道口进站,则有C31A综上,这3名同学的不同进站方式有60种,故选D.12.(2020届四川省成都市高三第二次模拟)(x+1)4的展开式中x2的系数为.

答案6解析(x+1)4的展开式的通项为Tr+1=C4r·x4令4-r=2,得r=2,因此,(x+1)4的展开式中x2的系数为C42=13.(2020届河南省郑州市一模)《中国诗词大会》(第三季)亮点颇多,在“人生自有诗意”的主题下,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若《沁园春·长沙》《蜀道难》《敕勒歌》《游子吟》《关山月》《清平乐·六盘山》排在后六场,且《蜀道难》排在《游子吟》的前面,《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后,则六场的排法有种.

答案144解析将《沁园春·长沙》《蜀道难》《敕勒歌》《游子吟》《关山月》《清平乐·六盘山》分别记为A,B,C,D,E,F,由已知得B排在D的前面,A与F不相邻且不排在最后.第一步,在B,C,D,E中选一个排在最后,共C41=4第二步,将剩余五个节目按A与F不相邻排序,共A55-A22·A第三步,在前两步中B排在D的前面与后面机会相等,则B排在D的前面,只需除以A22=2故六场的排法有4×72÷2=144种.14.(2020届广东省惠州市高三第三次调研)若(1+x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a1+a2+a3+…+a8的值是.

答案-3解析令x=0,得a0=1;令x=1,得a0+a1+a2+…+a8=-2.所以a1+a2+…+a8=-3.15.(2020届福建省南平市高三第一次综合质量检查)将5名志愿者分派到2个不同社区参加公益活动,要求每个社区至少安排2人参加活动,则不同的分派方案共有种.

答案20解析由题意得,2个社区的志愿者分别为2人与3人,或者3人与2人,则不同的分派方案共有C52C3316.(2020届天津市滨海新区七所学校高三期末)第三届世界智能驾驶挑战赛在天津开幕,现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作,若小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有种.

答案36解析根据题意可分两种情况讨论:(1)若小张和小赵只有一人入选,则有C21C(2)若小张,小赵都入选,则有A22A综上可得,共有24+12=36种不同的选法.17.(2020届北京市昌平区高三期末)2019年11月5日,第二届中国国际进口博览会在上海开幕.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动,每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中,甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有种.

答案144解析先安排丁、戊、己三个企业共有A33=3×2×1=6再安排甲、乙、丙三个企业,插入四个空位中,共有A43=4×3×2=24由分步乘法计数原理可得,甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有6×24=144种.考查角度2概率、随机变量及其分布(见学生用书P64)分类透析1古典概型与几何概型例1(1)从1,2,3,4,5中任取5个数字组成没有重复数字的五位数,则组成的五位数是偶数的概率是().A.23B.35C.12(2)三国时代吴国数学家赵爽所著《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.右边是赵爽的弦图,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱实+黄实=弦实,化简得勾2+股2=弦2.设勾股形中勾股比为1∶3,若向弦图内随机抛掷1000颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约为().A.134 B.866 C.300 D.500答案(1)D(2)A解析(1)由题意可知,基本事件总数n=A55=120,这个五位数是偶数包含的基本事件个数m=C2所以这个五位数是偶数的概率P=mn=48120=25(2)设三角形的直角边长分别为1,3,则弦为2,故而大正方形的面积为4,小正方形的面积为(3-1)2=4-23.所以图钉落在黄色图形内的概率为4-23所以落在黄色图形内的图钉数大约为1000×2-32小结(1)古典概型中基本事件数的探求方法:①列举法.②排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.(2)对于几何概型的计算,首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积、体积或时间),其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量,最后计算P(A).分类透析2相互独立事件例2已知甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球,现随机地从甲袋中取出一个球放入乙袋中,再从乙袋中随机地取出一个球,则从乙袋中取出的球是红球的概率是().A.29 B.13 C.12答案C解析分两种情况讨论如下:(1)甲袋中取出黄球,则乙袋中有3个黄球和2个红球,那么从乙袋中取出的球是红球的概率为12×25=(2)甲袋中取出红球,则乙袋中有2个黄球和3个红球,那么从乙袋中取出的球是红球的概率为12×35=综上,所求概率为15+310=12小结利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路:(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和.(2)将彼此互斥的简单事件转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件.(3)代入概率的积、和公式求解.分类透析3独立重复试验与二项分布例3(2019年全国Ⅰ卷,理T6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“——”,右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是().A.516 B.1132 C.2132 答案A解析因为每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,每个爻是阳爻的概率是12,故该重卦恰有3个阳爻的概率是C63×123小结一般地,在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数.设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,其中0<p<1,k=0,1,2,…,n,此时称随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p),且期望E(X)=np,方差D(X)=np(1-p分类透析4正态分布例4已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.74,则P(0≤ξ≤2)=().A.0.26 B.0.24 C.0.48 D.0.52答案B解析因为随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ≤4)=0.74,所以μ=2,P(ξ≤0)=0.26,所以P(0≤ξ≤2)=P(ξ≤4)-P(ξ小结正态分布下的概率计算常见的两类问题:(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个.(见学生用书P64)1.(2020年全国Ⅱ卷,理T3改编)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压600份订单未配货,预计第二天的新订单超过1800份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者().A.10名 B.18名C.24名 D.32名答案C解析由题意,第二天积压订单数为600+1800-1200=1200,至少需要志愿者1200÷50=24名,故选C.2.(2018年全国Ⅰ卷,理T10改编)折纸艺术是我国古代留下来的宝贵民间艺术,具有很高的审美价值和应用价值.右图是一个折纸图案,由一个正方形内切一个圆形,然后在四个顶点处分别嵌入半径为正方形边长一半的扇形.向图中随机投入一个质点,则质点落在阴影部分的概率P1与质点落在正方形内且在圆形区域外的概率P2的大小关系是().A.P1>P2 B.P1<P2C.P1=P2 D.不能确定答案C解析将正方形内圆形区域外的四个直角进行沿直角边重新组合,恰好得到的图形就是阴影部分图形,所以阴影部分区域的面积等于正方形内圆形区域外的面积,故P1=P2.3.(2020年全国新高考Ⅰ卷,T5改编)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学喜欢足球但不喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是().A.62% B.56% C.46% D.14%答案D解析记“该中学学生喜欢足球”为事件A,“该中学学生喜欢游泳”为事件B,则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B,“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件AB,则P(A)=0.6,P(B)=0.82,P(A+B)=0.96,所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.6+0.82-0.96=0.46,故该中学喜欢足球但不喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是60%-46%=14%.(见学生用书P65)1.(2020届山西省大同市高三一模)洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数.如图,若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数,则其和等于11的概率是().A.15 B.25 C.310答案A解析由题意可知,基本事件总数n=4×5=20,其和等于11包含的基本事件有(9,2),(3,8),(7,4),(5,6),共4个,所以其和等于11的概率P=420=12.(2020届石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽检一件产品是甲级品的概率为().A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08答案C解析记“抽检的产品是甲级品”为事件A,“抽检的产品是乙级品”为事件B,“抽检的产品是丙级品”为事件C,这三个事件彼此互斥,因而所求概率P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92,故选C.3.(2020年福建省漳州市二模)已知边长为23的正方形的中心为点P,在正方形内任取一点Q,则点Q满足|PQ|≤2的概率为().A.π+339 C.2π+39答案A解析在Rt△PAO中,由题意可知,|PA|=2,|PO|=3,则∠APO=π6从而∠APB=π3,|AB|=2,则阴影部分的面积S=12×2π3×22+12×2×3×4=故所求概率P=S阴S正=44.(2020届河南省驻马店市高三第二次模拟)山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计,烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位:mm)服从正态分布N(80,52),则直径在(75,90]内的概率为().附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8186 D.0.9544答案C解析由题意,μ=80,σ=5,则P(75<X≤85)≈0.6827,P(70<X≤90)≈0.9545,所以P(85<X≤90)≈12×(0.9545-0.6827)=0.1359,所以P(75<X≤90)≈0.6827+0.1359=0.8186故果实直径在(75,90]内的概率为0.8186,故选C.5.(2020届深圳外国语学校月考)2021年广东新高考将实行3+1+2模式,即语文、数学、英语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史,若他们都对后面四科没有偏好,则他们选课相同的概率为().A.136 B.116 C.18答案D解析由题意可知,基本事件总数n=C42=6,他们选课相同包含的基本事件个数m=1,所以他们选课相同的概率P=mn=16.(2020年陕西省高三二模)现将甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为().A.12 B.13 C.16答案B解析由题意,基本事件总数n=C42C22A22×A22=6,其中乙、丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数m=C7.(2020届吉林省长春市高三质量检测)一名信息员维护甲、乙两公司的5G网络,一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立,它们需要维护的概率分别为0.4和0.3,则至少有一个公司不需要维护的概率为.

答案0.88解析“至少有一个公司不需要维护”的对立事件是“两公司都需要维护”,所以至少有一个公司不需要维护的概率P=1-0.3×0.4=0.88.8.(2020届辽宁省实验中学期末)为了弘扬我国优秀传统文化,某中学广播站在中国传统节日:春节,元宵节,清明节,端午节,中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵,那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是.

答案0.7解析设事件A={春节和端午节至少有一个被选中},则A-={两个节日都没被选中所以P(A)=1-P(A-)=1-C32C59.(2020届四川省宜宾市第四中学高三模拟)已知随机变量ξ~B(6,p),且E(ξ)=2,则D(3ξ+2)=.

答案12解析因为E(ξ)=np=6p=2,所以p=13,又因为D(ξ)=np(1-p)=2×23=43,所以D(3ξ+2)=9D(ξ)10.(2020届江西名师联盟第二次月考)中国男子篮球职业联赛将20支球队平均分为4组,常规赛中小组内球队之间交手4次(2主2客),小组外球队之间交手2次(1主1客),已知常规赛A,B两队同组,由前几赛季结果知A队主场获胜的概率为0.7,客场获胜的概率为0.4,则常规赛A对B的比赛结果为2∶2的概率为.

答案0.3924解析由题意知,A队在2主2客的4场比赛中获胜两场,胜场可以是2主,2客或1主1客,所以概率P=0.72×0.62+0.32×0.42+C21×0.7×0.3×C11.(2020届黑龙江省哈尔滨市高三第一次调研)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加文明城市创建志愿服务活动,服务活动共有“走进社区”“环境监测”“爱心义演”“交通宣传”四个项目,每人限报其中一项,记事件A为“4名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学一人报‘走进社区’项目”,则P(A|B)的值为.

答案2解析根据题意得P(B)=3344=27256,P(AB)=所以P(A|B)=P(AB)考查角度3随机抽样、总体估计、统计案例(见学生用书P66)分类透析1抽样方法的应用例1(1)某学校高一、高二、高三年级的学生人数成等差数列,现用分层抽样的方法从这三个年级中抽取90人,则应从高二年级抽取的学生人数为.

(2)某校高三(1)班共有48人,学号依次为1,2,3,…,48,现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为().A.27 B.26 C.25 D.24答案(1)30(2)A解析(1)设高一、高二、高三年级的学生人数分别为a,b,c,∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,∴ba+b+c=b3b=13,∴(2)∵从48名学生中抽取一个容量为6的样本,∴系统抽样的分段间隔为48/6=8.∵学号为3,11,19,35,43的同学在样本中,∴抽取的另一个同学的学号应为27.小结分层抽样的特点是同比例,计算可利用公式:抽样比=样本容量总体个数=某层抽取的个体数某层个体数.系统抽样的特点是等距,将总体均分成几部分,分类透析2用样本估计总体例2(1)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是().A.46,45,56 B.46,45,53C.47,45,56 D.45,47,53(2)如图,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为x-A和x-B,样本标准差分别为sA和sB,则A.x-A>x-B,sA>sB B.x-A<C.x-A>x-B,sA<sB D.x-A<(3)为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第2小组的频数为12,则报考飞行员的学生人数是.

答案(1)A(2)B(3)48解析(1)由茎叶图可知,中位数为46,众数为45,极差为68-12=56.故选A.(2)x-A=2.x-B=15+10+12.显然x-A<x-B,s是标准差,反映的是数据的波动程度,可以看出A图中数据的波动较大,而B图中数据较为集中,所以B的稳定性好,(3)据图可得第4小组及第5小组的频率之和为5×(0.0375+0.0125)=0.25,故前3个小组的频率之和为1-0.25=0.75,即第2小组的频率为0.75×26=0.25.又第2小组的频数为12,故样本容量为120.小结(1)平均数反映了数据取值的平均水平,而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小,标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,越稳定.(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.分类透析3统计案例例3(1)已知某种商品的广告费支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)之间有下表对应的数据,根据表中数据可得回归方程y＾=b＾x+a＾,其中b＾=11,据此估计,当投入6万元广告费时,x12345y1015304550(2)为了考察某种病毒疫苗的效果,现随机抽取100只小鼠进行试验,得到如下2×2列联表:感染未感染总计使用疫苗104050未使用疫苗203050总计3070100在犯错误的概率最多不超过(填百分比)的前提下,可认为“该疫苗有预防此病毒感染的效果”.

附:K2=n(adP(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828答案(1)63(2)5%解析(1)由表中数据可得x-=15×(1+2+3+4+5)=3,y-=15×(10+15+30+45+50)=30,又回归方程y＾=b＾x+∴a＾=y--b＾x-=30-11×3=-3,∴回归方程为y＾=11x-3.当x=6时,y＾=11×6-3=63,∴可估计当投入(2)由题意可得,K2的观测值k=100×(10×30-20×40)250×50×30×70≈4.762>3.841,参照附表可得小结(1)线性回归分析问题的解题方法:①利用公式,求出回归系数b＾,a②待定系数法:利用回归直线过样本点中心求系数.③把回归直线方程看作一次函数,求函数值.(2)解决独立性检验的应用问题,一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤:①根据样本数据制成2×2列联表;②根据公式K2=n(ad-bc)2③比较观测值k与临界值的大小,得出结论.(见学生用书P67)1.(2020年全国Ⅰ卷,理T5改编)某市为深入分析该市当前扶贫领域存在的突出问题,从2016年6月底到2019年6月底共进行了七次统计,做成了如下条形图,统计时间用序号t表示,例如:2016年12月底(时间序号为2)的贫困户为5.2万户.若y关于序号t的线性回归方程为y＾=-0.5t+a,则a=()A.2.2 B.4.2 C.6.2 D.6.4答案C解析t-=1+2+…+7y-=5.4+5.2+4.8+4.4+3.4+3.3+2.97=4.2,由y-2.(2020年全国Ⅲ卷,理T3改编)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且∑i=14pi=1,则下面四种情形中,对应样本波动最小的一组是(A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2答案A解析对于A选项,该组数据的平均数x-A=(1+4)×0.1+(2+3)×0.4=2.方差sA2=(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=0.对于B选项,该组数据的平均数x-B=(1+4)×0.4+(2+3)×0.1=2.方差sB2=(1-2.5)2×0.4+(2-2.5)2×0.1+(3-2.5)2×0.1+(4-2.5)2×0.4=1.对于C选项,该组数据的平均数x-C=(1+4)×0.2+(2+3)×0.3=2.方差sC2=(1-2.5)2×0.2+(2-2.5)2×0.3+(3-2.5)2×0.3+(4-2.5)2×0.2=1.对于D选项,该组数据的平均数x-D=(1+4)×0.3+(2+3)×0.2=2.方差sD2=(1-2.5)2×0.3+(2-2.5)2×0.2+(3-2.5)2×0.2+(4-2.5)2×0.3=1.因此,A选项这一组数据的波动最小.(见学生用书P67)1.(2020届四川省成都市高三第二次模拟)某中学有高中生1500人,初中生1000人,为了了解该校学生自主锻炼的时间,采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n的样本.若样本中高中生恰有30人,则n的值为().A.20B.50C.40D.60答案B解析由题意,30=1500×n1500+1000,解得n=502.(2020届四川二模)采用系统抽样的方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后某组抽到的号码为41.抽到的32人中,编号落入区间[401,731]的人数为().A.10 B.11 C.12 D.13答案C解析∵960÷32=30,∴每组30人,∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列,又某组抽到的号码为41,可知第一组抽到的号码为11,∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、30为公差的等差数列,∴等差数列的通项公式an=11+30(n-1)=30n-19,由401≤30n-19≤731,n为正整数可得14≤n≤25,∴编号落入区间[401,731]的人数为25-14+1=12.故选C.3.(2020届山东省新高考质量测评联盟联考)总体由编号为01,02,…,49,50的50个个体组成,利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字,则选出的第4个个体的编号为().附:第6行至第9行的随机数表27486198716441487086288885191620747701111630240429797991968351253211491973064916767787339974673226357900337091601620388277574950A.3 B.19 C.38 D.20答案B解析由题意,编号为01~50的才是需要的个体,由随机数表依次可得41,48,28,19,16,20,故第4个个体的编号为19.故选B.4.(2020届安徽省芜湖市高三上学期期末)某学校组织学生参加宪法日答题活动,成绩的频率分布直方图如图所示,数据的分组区间是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],该校参与答题活动的学生共1000人,则答题分数不低于80分的人数为().A.15 B.30 C.150 D.300答案D解析因为不低于80分的人数所占频率为0.015×20=0.3,所以不低于80分的人数为1000×0.3=300,故选D.5.(2020届云南昆明一中月考)甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图,甲、乙两组数据的平均数分别为x-甲,x-乙,标准差分别为σ甲,σ乙,则A.x-甲<x-乙,σ甲<σ乙 B.x-甲<C.x-甲>x-乙,σ甲<σ乙 D.x-甲>答案C解析由图可知,甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,其他每次考试成绩都远高于乙同学,可知x-甲>x-乙.图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定,故σ甲<σ乙6.(2020届安徽名校高考冲刺模拟)为了了解学生课外使用手机的情况,某学校收集了本校500名学生2019年12月课余使用手机的总时间(单位:小时)的数据.从中随机抽取了50名学生,将数据进行整理,得到如图所示的频率分布直方图.已知这50名学生中,恰有3名女生课余使用手机的总时间在[10,12],现在从课余使用手机总时间在[10,12]的样本对应的学生中随机抽取3名,则至少抽到2名女生的概率为().A.1556 B.38 C.27答案C解析∵这50名学生中,恰有3名女生的课余使用手机总时间在[10,12],课余时间使用手机总时间在[10,12]的学生总数为50×0.08×2=8名,∴从课余使用手机总时间在[10,12]的样本对应的学生中随机抽取3名,基本事件总数n=C83=56,至少抽到2名女生包含的基本事件个数m=C33+∴至少抽到2名女生的概率P=mn=1656=277.(2020届银川一中模拟)某口罩厂一年中各月份的收入、支出(单位:万元)情况如图所示,下列说法中错误的是().(注:月结余=月收入-月支出)A.上半年的平均月收入为45万元B.月收入的方差大于月支出的方差C.月收入的中位数为70D.月结余的众数为30答案C解析由图可得,上半年的平均月收入为40+60+30+30+50+606=45(万元),所以A正确;由图可得,月收入的方差大于月支出的方差,所以B正确;由图可得,1~12月的月收入(单位:万元)分别为40,60,30,30,50,60,80,70,70,80,90,80,所以月收入的中位数为60+702=65,所以C错误;由图可得,1~12月的月结余(单位:万元)分别为20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,所以月结余的众数为30,所以D正确.故选8.(2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考)随着人口老龄化的不断加快,我国出现了一个特殊的群体——“空巢老人”.这些老人或经济困难或心理寂寞,亟需来自社会的关心关爱.为此,社区志愿者开展了“暖巢行动”,其中A,B两个小区“空巢老人”的年龄如图所示,则A小区“空巢老人”年龄的平均数和B小区“空巢老人”年龄的中位数分别是().A.83.5,83 B.84,84.5C.85,84 D.84.5,84.5答案B解析A小区“空巢老人”年龄的平均数为78+78+81+85+84+85+90+918=84B小区“空巢老人”年龄的中位数为84+852=84.5.故选B9.(2020届安徽省芜湖市高三下学期教育教学质量检测)为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为y＾=b＾x+a＾.已知110i=110xi=22.5,110i=110yi=160A.170 B.166 C.163 D.160答案A解析由题意知x-=110i=110xi=22.5,y-所以a＾=y--b＾x-=160-4×22.5=70,所以y当x=25时,y＾=4×25+70=170.故选10.(2020届山东省淄博市3月教学质量检测)某城市为了了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是().A.年接待游客量逐年增加B.各年的月接待游客量高峰期大致在8月C.2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳答案C解析由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得,年接待游客量虽然逐月波动,但总体上逐年增加,故A正确;各年的月接待游客量高峰期大致在8月,故B正确;2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30万人,故C错误;各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳,故D正确.11.(2020届临川一中第一次联合考试)某创业公司共有36名职工,为了了解该公司职工的年龄构成情况,随机采访了9位代表,得到的数据分别为36,36,37,37,40,43,43,44,44,若用样本估计总体,年龄在(x--s,x-+s)内的人数占公司人数的百分比是((其中x-是平均数,s为标准差,结果精确到1%A.22% B.44% C.56% D.67%答案C解析因为x-=36+36+37+37+40+43+43+44+449=s2=19×(16+16+9+9+0+9+9+16+16)=1009,即s=年龄在(x--s,x-+s),即1103,1303内的有5人,所以百分比为12.(2020届江苏省徐州市高三上学期期末)若一组数据7,x,6,8,8的平均数为7,则该组数据的方差是.

答案4解析由题意知,平均数为7+x+6+8+85=7,故方差为(7-713.(2020届江西省上饶市高三第三次模拟考试)在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是地.

甲地:总体均值为3,中位数为4.乙地:总体均值为1,总体方差大于0.丙地:中位数为2,众数为3.丁地:总体均值为2,总体方差为3.答案丁解析由于甲地总体均值为3,中位数为4,即中间两个数(第5,6天)人数的平均数为4,因此后面的人数可以大于7,故甲地不符合;乙地中总体均值为1,因此这10天的感染人数总数为10,又由于方差大于0,故这10天中不可能每天都是1,可以有一天大于7,故乙地不符合;丙地中中位数为2,众数为3,3出现的最多,并且可以出现8,故丙地不符合;丁地符合.14.(2020届南昌一中月考)有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于或等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩,得到如下的2×2列联表:优秀非优秀总计甲班10b乙班c30总计附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(已知在全部105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为27,则下列说法正确的是.(填序号①列联表中c的值为30,b的值为35;②列联表中c的值为15,b的值为50;③根据2×2列联表中的数据,在犯错误的概率不超过0.025的前提下,能认为“成绩与班级有关系”;④根据2×2列联表中的数据,在犯错误的概率不超过0.025的前提下,不能认为“成绩与班级有关系”.答案③解析由题意知,成绩优秀的学生数是105×27=30,成绩非优秀的学生数是105-30=75,所以c=30-10=20,b=75-30=45,故①②错误;根据2×2列联表中的数据,得到K2的观测值k=105×(10×30-20×45)255×50×30×75≈6.1>5.024,因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下,能认为“成绩与班级有关系”考查角度4离散型随机变量及其分布列、期望与方差(见学生用书P69)分类透析1求离散型随机变量的分布列例1某地的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉,在推出的第二季名师云课中,数学学科共计推出36节云课,为了更好地将课程内容呈现给学生,现对某一时段云课的点击量进行统计:点击量[0,1000](1000,3000](3000,+∞)节数61812(1)现采用分层抽样的方式从36节云课中选出6节,求选出的点击量超过3000的节数.(2)为了更好地搭建云课平台,现将云课进行剪辑,若点击量在区间[0,1000]内,则需要花费40分钟进行剪辑;若点击量在区间(1000,3000]内,则需要花费20分钟进行剪辑;若点击量超过3000,则不需要剪辑.现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑,求剪辑时间X的分布列.解析(1)根据分层抽样可知,选出的6节课中点击量超过3000的节数为1236×6=2(2)由分层抽样可知,(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1000]内的有1节,点击量在区间(1000,3000]内的有3节,故X的可能取值为0,20,40,60.P(X=0)=C22CP(X=20)=C31C21P(X=40)=C11C21P(X=60)=C31C11故X的分布列为X0204060P1211小结离散型随机变量分布列的求解步骤:(1)明取值:明确随机变量的可能取值有哪些,及每一个取值所表示的意义.(2)求概率:要弄清楚随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率.(3)画表格:按规范要求的形式写出分布列.(4)做检验:利用分布列的性质检验分布列是否正确.分类透析2以相互独立事件为背景的期望问题例2为激发学生加强体育活动,保障学生健康成长,某校开展了校级排球比赛,现有甲、乙两人进行比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止.设甲在每局中获胜的概率为pp>12,且各局胜负相互独立.(1)求p的值;(2)设X表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量X的分布列和数学期望E(X).解析(1)依题意,当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止.所以有p2+(1-p)2=59,解得p=23或p=13(不合题意,(2)依题意,X的所有可能值为2,4,6,8.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为59.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有P(X=2)=59,P(X=4)=1-59×P(X=6)=1-59×1-59×59=80729,P(X=8)=1-所以随机变量X的分布列为X2468P5208064则E(X)=2×59+4×2081+6×80729+8×64小结求相互独立事件概率的步骤:第一步,先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和;第二步,求出这些彼此互斥的事件的概率;第三步,根据互斥事件的概率计算公式求出结果.此外,也可以从对立事件入手计算概率.分类透析3二项分布的简单应用例3甲、乙、丙3人均以游戏的方式决定是否参加学校音乐社团、美术社团,游戏规则如下:①先将一个圆8等分(如图),再将8个等分点A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8分别标注在8个相同的小球上,并将这8个小球放入一个不透明的盒子里,每个人从盒内随机摸出两个小球,然后用摸出的两个小球上标注的点与圆心O构造三角形.若能构成直角三角形,则两个社团都参加;若能构成锐角三角形,则只参加美术社团;若能构成钝角三角形,则只参加音乐社团;若不能构成三角形,则两个社团都不参加.②前一个同学摸出两个小球记录下结果后,把两个小球都放回盒内,下一位同学再从盒中随机摸取两个小球.(1)求甲能参加音乐社团的概率;(2)记甲、乙、丙3人能参加音乐社团的人数为随机变量X,求X的分布列、数学期望和方差.解析(1)从盒中随机摸出两个小球,即从8个等分点中随机选取两个不同的分点,共有C82=28种,其中与圆心O构成直角三角形的取法有A1A3O,A2A4O,A3A5O,A4A6O,A5A7O,A6A8O,A7A1O,A8A2O,共8种,与圆心O构成钝角三角形的取法有A1A4O,A2A5O,A3A6O,A4A7O,A5A8O,A6A1O,A7A2O,A8A3O,共8所以甲能参加音乐社团的概率P=8+828=4(2)由题意可知,X~B3,47,X的可能取值为0,1,2P(X=0)=C30470373=27343,P(X=1)=C31471372=108343,P(所以X的分布列为X0123P2710814464数学期望E(X)=np=3×47=127,方差D(X)=np(1-p)=3×47×3小结(1)独立重复试验是相互独立事件的特例.利用公式P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k可简化概率的计算,但要注意检查概率模型是否满足三个条件:①在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;②n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;③该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k(2)求随机变量X的期望与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,若X~B(n,p),则用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可减少计算量.(见学生用书P70)1.(2020年全国Ⅰ卷,理T19改编)甲、乙、丙三人按下面的规则进行羽毛球比赛:第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为0.5,且各局胜负相互独立.(1)求打满3局比赛还未停止的概率;(2)求比赛停止时已打局数ξ的分布列与数学期望.解析令Ak,Bk,Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.(1)打满3局比赛还未停止的概率为P(A1C2B3)+P(B1C2A3)=123+12(2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6,P(ξ=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=122+12P(ξ=3)=P(A1C2C3)+P(B1C2C3)=123+12P(ξ=4)=P(A1C2B3B4)+P(B1C2A3A4)=124+12P(ξ=5)=P(A1C2B3A4A5)+P(B1C2A3B4B5)=125+12P(ξ=6)=P(A1C2B3A4C5)+P(B1C2A3B4C5)=125+12故ξ的分布列为ξ23456P11111从而E(ξ)=2×12+3×14+4×18+5×116+6×2.(2020年全国新高考Ⅰ卷,T19改编)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表:SO2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)以空气中的SO2浓度不超过50,且PM2.5浓度超过35的9天作为样本研究二者的关系,从中抽取4天,设PM2.5的浓度在(35,75]范围内的天数为X,求E(X);(2)记事件A为“对该市的空气质量指标连续抽查n天,SO2浓度不超过150,且PM2.5浓度超过75的天数为3”,以表中的数据的频率作为概率,当n为何值时,事件A的概率最大?解析(1)空气中的SO2浓度不超过50,且PM2.5浓度超过35的天数为9,随机变量X的可能取值为1,2,3,4,则P(X=1)=C61C33C94=121,PP(X=3)=C63C31C94=1021,P所以随机变量X的分布列为X1234P15105所以E(X)=1×121+2×514+3×1021+4×5(2)由表中数据可知,任意抽取1天,SO2浓度不超过150,且PM2.5浓度超过75的概率为110,所以P(A)=C令C解得29≤n≤30,所以当n的值为29或30时,事件A的概率最大.(见学生用书P71)1.(2020届黑龙江省5月模拟)甲、乙、丙三人投篮的命中率各不相同,其中乙的命中率是甲的2倍,丙的命中率等于甲与乙的命中率之和.若甲与乙各投篮一次,每人投篮的结果相互独立,则他们都命中的概率为0.18.(1)求甲、乙、丙三人投篮的命中率;(2)现要求甲、乙、丙三人各投篮一次,假设每人投篮相互独立,记三人命中总次数为X,求X的分布列及数学期望.解析(1)设甲的命中率为p,则根据题意可得p×2p=0.18,所以p=0.3,故甲、乙、丙投篮的命中率分别为0.3,0.6,0.9.(2)根据题意,X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=(1-0.3)×(1-0.6)×(1-0.9)=0.028,P(X=1)=0.3×(1-0.6)×(1-0.9)+(1-0.3)×0.6×(1-0.9)+(1-0.3)×(1-0.6)×0.9=0.306,P(X=2)=0.3×0.6×(1-0.9)+(1-0.3)×0.6×0.9+0.3×(1-0.6)×0.9=0.504,P(X=3)=0.3×0.6×0.9=0.162.故X的分布列为X0123P0.0280.3060.5040.162E(X)=0×0.028+1×0.306+2×0.504+3×0.162=1.8.2.(2020届保定市第二次模拟)我国是全球最大的口罩生产国,在2020年3月份,我国每日口罩产量超一亿只,已基本满足国内人民的需求,但随着疫情在全球范围扩散,境外口罩需求量激增,世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能.常见的口罩有KN90和KN95(分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055微米到0.095微米的氯化钠颗粒)两种.某口罩厂两条独立的生产线分别生产KN90和KN95两种口罩,为保证质量对其进行多项检测并评分(满分:100分),规定总分大于或等于85分的为合格,小于85分的为次品.现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分,结果如下:总分[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)KN9061442317KN954647358(1)试分别估计两种口罩的合格率.(2)假设生产一个KN90口罩,若质量合格,则盈利3元,若为次品,则亏损1元;生产一个KN95口罩,若质量合格,则盈利8元,若为次品则亏损2元.在(1)的前提下,设X为生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润的和,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)由题意知,生产KN90口罩的合格率P1=42+31+7100=45=生产KN95口罩的合格率P2=47+35+8100=910=(2)随机变量X的所有可能取值为-3,1,7,11,P(X=-3)=15×110=150,P(X=1)=45×110=450=225,P(X=7)=15×910=950,P(X=11)故X的分布列如下:X-31711P12918E(X)=465=9.2(元)3.(2020届唐山市第一次模拟)甲、乙两人进行一场比赛,该比赛采用三局两胜制,即先获得两局胜利者获得该场比赛的胜利.在每一局比赛中,都不会出现平局,且每局比赛甲获胜的概率都为p(0<p<1).(1)求甲在第一局失利的情况下,反败为胜的概率;(2)若p=12,比赛结束时,设甲获胜局数为X,求X的分布列和数学期望E(X(3)若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率,求p的取值范围.解析(1)设事件A为“甲在第一局失利”,事件B为“甲获得了比赛的胜利”,则P(BA)=P(AB)P((2)由题意可知,随机变量X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=(1-p)2=14,P(X=1)=C21p(1-p)2=14,P(X=2)=p2+C21(1-p随机变量X的分布列如下:X012P111则E(X)=0×14+1×14+2×12(3)甲获得该场比赛胜利的概率为p2+C21(1-p)p2,由题意得p2+C21(1-p即2p2-3p+1<0,解得12<p<1,所以p的取值范围是14.(2020届河南省驻马店市高三第二次模拟)追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量,某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据,结果统计如下表:AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272510(1)从空气质量指数属于[0,50],(50,100]的天数中任取3天,求这3天中至少有2天空气质量为优的概率.(2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y(单位:元)与空气质量指数x的关系式为y=0,0≤x≤100,220,100<x≤250,1480,250<x①记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元,求X的分布列;②试问该企业7月,8月,9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元?说明你的理由.解析(1)设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数,则P(ξ=2)=C62C141C203=738,P所以这3天中空气质量至少有2天为优的概率为738+157=(2)①随机变量X的所有可能取值为0,220,1480,P(X=0)=P(0≤x≤100)=20100=1P(X=220)=P(100<x≤250)=70100=7P(X=1480)=P(250<x≤300)=10100=1X的分布列如下:X02201480P171②由①可得,E(X)=0×15+220×710+1480×110=302故该企业9月的经济损失的数学期望为30E(X)=9060元.设7月,8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元,可得P(Y=0)=16+13=12,P(Y=220)=16+112+112=13,P故E(Y)=0×12+220×13+1480×16=320所以该企业7月,8月这两个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望为320×(31+31)=19840(元),由19840+9060=28900>28800,即7月,8月,9月这三个月因空气质量造成经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.考查角度5统计与统计案例的综合应用(见学生用书P73)分类透析1统计图表与数字特征分析例1某学校高三年级在开学时进行了入学检测.为了了解本年级学生寒假期间历史学科的学习情况,现从年级1000名文科生中,随机抽取了200名学生本次考试的历史成绩,将数据分成6组:[35,45),[45,55),…,[85,95],并整理得到如下频率分布直方图.(1)求图中a的值;(2)根据频率分布直方图,估计这200名学生历史成绩的平均数,众数;(每组数据用该组的区间中点值作代表)(3)该学校拟对本次历史成绩排名靠后的35%的同学进行学情分析,用样本估计总体的方法,请你估计本次入学检测历史学科规定要进行学情分析的成绩的区间段.解析(1)依题意得0.02+0.03+0.1+0.25+0.4+10a=1,解得a=0.02.(2)估计这200名学生历史成绩的平均数为0.02×40+0.03×50+0.1×60+0.25×70+0.4×80+0.2×90=75.8(分),众数为80分.(3)历史成绩分布在[35,65)的频率为0.15,分布在[65,75)的频率为0.25,所以65+0.20.25×10=所以需进行学情分析的成绩的区间段为[35,73].小结在频率分布直方图中,小矩形的高表示频率/组距,而不是频率.利用频率分布直方图求平均数时,平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.分类透析2回归分析的综合应用例2某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个试验,并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据,且做了一定的数据处理(如表),得到了散点图(如图).表中wi=1xi2,w-=xywi=110(xi-i=110(wi-i=110(xi-x-)(yi=110(wi-w-)(y1.4720.60.782.350.81-19.316.2(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dx2哪一个更适宜作为烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型?((2)根据判断结果和表中数据,建立y关于x的回归方程.(3)若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比,则x为多少时,烧开一壶水最省煤气?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(u3,v3),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＾=i=1n(vi解析(1)y=c+dx2更适宜作为烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x(2)由公式可得d＾=i=110(c＾=y--d＾w-=20.6-20×0所以所求回归方程为y=5+20x(3)设t=kx,则煤气用量S=yt=kx5+20x2=5kx+20kx≥2当且仅当5kx=20kx时取等号,即当x=2时,所以当x为2时,烧开一壶水最省煤气.小结(1)在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系,若具有线性相关关系,则可通过线性回归方程来估计和预测.(2)对于非线性回归分析问题,应先进行变量代换,求出代换后的回归直线方程,再求非线性回归方程.分类透析3独立性检验的综合应用例32020年新型冠状病毒疫情暴发,贵州省教育厅号召全体学生“停课不停学”.自2月3日起,高三年级学生进行线上网络学习.为了检测线上网络学习效果,某中学随机抽取140名高三年级学生做“是否准时提交作业”的问卷调查,并组织了一场线上测试,调查发现有100名学生每天准时提交作业,记录他们的线上测试成绩,将数据分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得出频率分布直方图(如图①所示).另外40名学生偶尔没有准时提交作业,根据他们的线上测试成绩得出茎叶图(如图②所示,单位:分).(1)成绩不低于90分为A等,低于90分为非A等.完成以下列联表,并判断是否有95%以上的把握认为成绩取得A等与每天准时提交作业有关.A等非A等合计每天准时提交作业偶尔没有准时提交作业合计(2)成绩低于60分为不合格,从抽取的成绩不合格的学生中再抽取4人,其中每天准时提交作业的学生人数为X,求X的分布列与数学期望.附:K2=n(adP(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828解析(1)每天准时提交作业的A等学生人数为0.03×100×10=30,偶尔没有准时提交作业的A等学生人数为5.根据题意得到列联表如下:A等非A等合计每天准时提交作业3070100偶尔没有准时提交作业53540合计35105140K2的观测值k=140×(30×35-5×70)240×100×35×105=143≈所以有95%以上的把握认为成绩取得A等与每天准时提交作业有关.(2)成绩低于60分的学生共8人,其中每天准时提交作业的有5人,偶尔没有准时提交作业的有3人,所以随机变量X的可能取值为1,2,3,4.P(X=1)=C51·C33C84=570=114,P(X=2)=C52·C32C84=3070=37,P(随机变量X的分布列为X1234P1331所以E(X)=1×114+2×37+3×37+4×1小结独立性检验的一般步骤:(1)根据样本数据制成2×2列联表;(2)根据公式K2=n(ad-bc)2(a+b)(c(3)比较k与临界值的大小关系,作统计推断.(见学生用书P74)1.(2020年全国Ⅱ卷,理T18改编)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得∑i=120xi=60,∑i=120yi=1200,∑i=120(xi-x-)2=80,∑i=120(yi-y-)2=9000,∑(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01),并求y和x满足的线性回归方程;(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.附:相关系数r=∑i=1n(xi-x-)(yi-y-)∑i=1解析(1)样区野生动物数量的平均数为120∑i=120yi=1地块数为200,所以该地区这种野生动物的数量的估计值为200×60=12000.(2)样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数r=∑i=120(xi-x-因为b＾=∑i=120(xi-x-)(yi-y-)∑i=120所以y关于x的线性回归方程是y＾=10x+30(3)由(2)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性,由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物的数量差异很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.2.(2019年全国Ⅲ卷,理T17改编)某中学为了了解本校学生的英语学习情况,从高一年级300名学生中随机抽取45名学生的某次英语测试成绩并分性别进行统计(满分100分),其中女生25人,男生20人,绘制如下两个频率分布直方图:(1)求女生成绩的直方图中x的值;(2)根据频率分布直方图估计本校高一男生的英语平均成绩和女生的英语成绩的中位数.解析(1)由(0.008+0.016+x+0.024+0.032)×10=1得x=0.020,所以x的值是0.020.(2)由频率分布直方图知,女生的英语成绩的中位数在[80,90)内,设为y