高三数学教案：圆锥曲线经典例题及总结

27/27高三数学教案：圆锥曲线经典例题及总结【】鉴于大家对查字典数学网十分关注,小编在此为大家搜集整理了此文高三数学教案：圆锥曲线经典例题及总结,供大家参考!本文题目：高三数学教案：圆锥曲线经典例题及总结圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视括号内的限制条件：椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,当常数小于时,无轨迹;双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数,且此常数一定要小于|FF|,定义中的绝对值与|FF|不可无视。假设=|FF|,那么轨迹是以F,F为端点的两条射线,假设﹥|FF|,那么轨迹不存在。假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程)：(1)椭圆：焦点在轴上时(),焦点在轴上时=1()。方程表示椭圆的充要条件是什么?(ABC0,且A,B,C同号,AB)。(2)双曲线：焦点在轴上：=1,焦点在轴上：=1()。方程表示双曲线的充要条件是什么?(ABC0,且A,B异号)。(3)抛物线：开口向右时,开口向左时,开口向上时,开口向下时。3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断)：(1)椭圆：由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。(2)双曲线：由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;(3)抛物线：焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中,最大,,在双曲线中,最大,。4.圆锥曲线的几何性质：(1)椭圆(以()为例)：①范围：;②焦点：两个焦点;③对称性：两条对称轴,一个对称中心(0,0),四个顶点,其中长轴长为2,短轴长为2;④准线：两条准线;⑤离心率：,椭圆,越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。(2)双曲线(以()为例)：①范围：或;②焦点：两个焦点;③对称性：两条对称轴,一个对称中心(0,0),两个顶点,其中实轴长为2,虚轴长为2,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为;④准线：两条准线;⑤离心率：,双曲线,等轴双曲线,越小,开口越小,越大,开口越大;⑥两条渐近线：。(3)抛物线(以为例)：①范围：;②焦点：一个焦点,其中的几何意义是：焦点到准线的距离;③对称性：一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线：一条准线;⑤离心率：,抛物线。5、点和椭圆()的关系：(1)点在椭圆外;(2)点在椭圆上=1;(3)点在椭圆内6.直线与圆锥曲线的位置关系：(1)相交：直线与椭圆相交;直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。(2)相切：直线与椭圆相切;直线与双曲线相切;直线与抛物线相切;(3)相离：直线与椭圆相离;直线与双曲线相离;直线与抛物线相离。提醒：(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线=1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题：,当即为短轴端点时,的最大值为bc;对于双曲线。如(1)短轴长为,8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦,M为准线与x轴的交点,那么AMF=(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A,B,假设P为AB的中点,那么PA(4)假设AO的延长线交准线于C,那么BC平行于x轴,反之,假设过B点平行于x轴的直线交准线于C点,那么A,O,C三点共线。9、弦长公式：假设直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,那么=,假设分别为A、B的纵坐标,那么=,假设弦AB所在直线方程设为,那么=。特别地,焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。抛物线：在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=;在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=。提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验!11.了解以下结论(1)双曲线的渐近线方程为;(2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为为参数,0)。(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为;(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相应准线的距离)为,抛物线的通径为,焦准距为;(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;(6)假设抛物线的焦点弦为AB,,那么①;②(7)假设OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦,那么直线AB恒经过定点12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：(1)给出直线的方向向量或;(2)给出与相交,等于过的中点;(3)给出,等于是的中点;(4)给出,等于与的中点三点共线;(5)给出以下情形之一：①;②存在实数;③假设存在实数,等于三点共线.(6)给出,等于,即是直角,给出,等于是钝角,给出,等于是锐角,(8)给出,等于是的平分线/(9)在平行四边形中,给出,等于是菱形;(10)在平行四边形中,给出,等于是矩形;(11)在中,给出,等于是的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);(12)在中,给出,等于是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);(13)在中,给出,等于是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);(14)在中,给出等于通过的内心;(15)在中,给出等于是的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);(16)在中,给出,等于是中边的中线;(3)A,B为抛物线x2=2py(p0)上异于原点的两点,,点C坐标为(0,2p)(1)求证：A,B,C三点共线;(2)假设=()且试求点M的轨迹方程。(1)证明：设,由得,又,,即A,B,C三点共线。(2)由(1)知直线AB过定点C,又由及=()知OMAB,垂足为M,所以点M的轨迹为以OC为直径的圆,除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x0,y0)。13.圆锥曲线中线段的最值问题：例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,那么点P的坐标为______________(2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,那么点Q的坐标为。分析：(1)A在抛物线外,如图,连PF,那么,因而易发现,当A、P、F三点共线时,距离和最小。(2)B在抛物线内,如图,作QRl交于R,那么当B、Q、R三点共线时,距离和最小。解：(1)(2,)(2)()1、椭圆C1的方程为,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。(1)求双曲线C2的方程;(2)假设直线l：与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点),求k的取值范围。解：(Ⅰ)设双曲线C2的方程为,那么故C2的方程为(II)将由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即①.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B得解此不等式得③由①、②、③得故k的取值范围为在平面直角坐标系xOy中,点A(0,-1),B点在直线y=-3上,M点满足MB//OA,MAAB=MBBA,M点的轨迹为曲线C。(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值。(Ⅰ)设M(x,y),由得B(x,-3),A(0,-1).所以=(-x,-1-y),=(0,-3-y),=(x,-2).再由愿意得知(+)=0,即(-x,-4-2y)(x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=x-2.(Ⅱ)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点,因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为,即。那么O点到的距离.又,所以当=0时取等号,所以O点到距离的最小值为2.设双曲线(a0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,那么该双曲线的离心率等于()设双曲线的一条渐近线,那么双曲线的离心率为().过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,假设,那么椭圆的离心率为双曲线的左、右焦点分别是、,其一条渐近线方程为,点在双曲线上.那么=()0直线与抛物线相交于两点,为的焦点,假设,那么()直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是()设抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点。假设AB的中点为(2,2),那么直线l的方程为_____________.椭圆的焦点为,点P在椭圆上,假设,那么;的大小为.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点,假设线段AB的长为8,那么________________【解析】设切点,那么切线的斜率为.由题意有又解得:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线,双曲线方程是,于是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0),且或.不妨去,那么,.【解析】设抛物线的准线为直线恒过定点P.如图过分别作于,于,由,那么,点B为AP的中点.连结,那么,点的横坐标为,故点的坐标为,应选D1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.2.PT平分△PF1F2在点P处的外角,那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.假设在椭圆上,那么过的椭圆的切线方程是.6.假设在椭圆外,那么过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,那么切点弦P1P2的直线方程是.7.椭圆(a0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点,那么椭圆的焦点角形的面积为.8.椭圆(a0)的焦半径公式：9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,那么MFNF.10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,那么MFNF.11.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,那么,即。12.假设在椭圆内,那么被Po所平分的中点弦的方程是.13.假设在椭圆内,那么过Po的弦中点的轨迹方程是.二、双曲线1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2.PT平分△PF1F2在点P处的内角,那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支;外切：P在左支)5.假设在双曲线(a0)上,那么过的双曲线的切线方程是.6.假设在双曲线(a0)外,那么过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,那么切点弦P1P2的直线方程是.7.双曲线(ao)的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意一点,那么双曲线的焦点角形的面积为.8.双曲线(ao)的焦半径公式：(,当在右支上时,,.当在左支上时,,9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,那么MFNF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,那么MFNF.11.AB是双曲线(a0)的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,那么,即。12.假设在双曲线(a0)内,那么被Po所平分的中点弦的方程是.13.假设在双曲线(a0)内,那么过Po的弦中点的轨迹方程是.椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)椭圆1.椭圆(ao)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.2.过椭圆(a0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,那么直线BC有定向且(常数).3.假设P为椭圆(a0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,,,那么.4.设椭圆(a0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记,,,那么有.5.假设椭圆(a0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,那么当06.P为椭圆(a0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,那么,当且仅当三点共线时,等号成立.7.椭圆与直线有公共点的充要条件是.8.椭圆(a0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且.(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为;(3)的最小值是.9.过椭圆(a0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,那么.10.椭圆(a0),A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,那么.11.设P点是椭圆(a0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,那么(1).(2).12.设A、B是椭圆(a0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,,,,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,那么有(1).(2).(3).13.椭圆(a0)的右准线与x轴相交于点,过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,那么直线AC经过线段EF的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线1.双曲线(a0)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.2.过双曲线(ao)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,那么直线BC有定向且(常数).3.假设P为双曲线(a0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,,,那么(或).4.设双曲线(a0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2中,记,,,那么有.5.假设双曲线(a0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,那么当16.P为双曲线(a0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,那么,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时,等号成立.7.双曲线(a0)与直线有公共点的充要条件是.8.双曲线(b0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且.(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为;(3)的最小值是.9.过双曲线(a0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,那么.10.双曲线(a0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,那么或.11.设P点是双曲线(a0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,那么(1).(2).12.设A、B是双曲线(a0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,,,,c、e分别是双曲线的半焦距离心率,那么有(1).(2).(3).13.双曲线(a0)的右准线与x轴相交于点,过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,那么直线AC经过线段EF的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,利用方程的根与系数关系来计算弦长,常用的弦长公式：2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式。3、知直线横截距,常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)与直线垂直的直线可表示为。4、两平行线间的距离为。5、假设直线与直线平行那么(斜率)且(在轴上截距)(充要条件)6、圆的一般方程：,特别提醒：只有当时,方程才表示圆心为,半径为的圆。二元二次方程表示圆的充要条件是且且。7、圆的参数方程：(为参数),其中圆心为,半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元：;8、为直径端点的圆方程切线长：过圆()外一点所引圆的切线的长为()9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距,弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：;②过两圆、交点的圆(公共弦)系为,当时,方程为两圆公共弦所在直线方程.。攻克圆锥曲线解答题的策略:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题,提高成绩,战胜高考,可从四个方面着手：知识储藏、方法储藏、思维训练、强化训练。：知识储藏方法储藏思维训练强化训练第一、知识储藏：1.直线方程的形式(1)直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2)与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率②点到直线的距离③夹角公式：(3)弦长公式直线上两点间的距离：或(4)两条直线的位置关系①=-1②2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式)标准方程：距离式方程：参数方程：(2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：距离式方程：(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?如：是椭圆的两个焦点,平面内一个动点M满足那么动点M的轨迹是()A、双曲线;B、双曲线的一支;C、两条射线;D、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：(其中)(6)、记住焦半径公式：(1),可简记为左加右减,上加下减。(2)(3)(6)、椭圆和双曲线的根本量三角形你清楚吗?第二、方法储藏1、点差法(中点弦问题)设、,为椭圆的弦中点那么有,;两式相减得2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什么?如果有两个参数怎么办?设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判别式,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点,将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子,然后○1-○2,整体消元,假设有两个字母未知数,那么要找到它们的联系,消去一个,比方直线过焦点,那么可以利用三点A、B、F共线解决之。假设有向量的关系,那么寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为,就意味着k存在。例1、三角形ABC的三个顶点均在椭圆上,且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).(1)假设三角形ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC的方程;(2)假设角A为,AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住重心,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率,从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为可得出ABAC,从而得,然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程;解：(1)设B(,),C(,),BC中点为(),F(2,0)那么有两式作差有(1)F(2,0)为三角形重心,所以由,得,由得,代入(1)得直线BC的方程为2)由ABAC得(2)设直线BC方程为,得代入(2)式得,解得或直线过定点(0,,设D(x,y),那么,即所以所求点D的轨迹方程是。4、设而不求法例2、如图,梯形ABCD中,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点当时,求双曲线离心率的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系,如图,假设设C,代入,求得,进而求得再代入,建立目标函数,整理,此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,建立目标函数,整理,化繁为简.解法一：如图,以AB为垂直平分线为轴,直线AB为轴,建立直角坐标系,那么CD轴因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于轴对称依题意,记A,C,E,其中为双曲线的半焦距,是梯形的高,由定比分点坐标公式得设双曲线的方程为,那么离心率由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和代入双曲线方程得由①式得,③将③式代入②式,整理得故由题设得,解得所以双曲线的离心率的取值范围为分析：考虑为焦半径,可用焦半径公式,用的横坐标表示,回避的计算,到达设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一,,,又,代入整理,由题设得,解得所以双曲线的离心率的取值范围为5、判别式法例3双曲线,直线过点,斜率为,当时,双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为,试求的值及此时点B的坐标。分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从有且仅有这个微观入手,对照草图,不难想到：过点B作与平行的直线,必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式.由此出发,可设计如下解题思路：解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓有且仅有一点B到直线的距离为,相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：简解：设点为双曲线C上支上任一点,那么点M到直线的距离为：于是,问题即可转化为如上关于的方程.由于,所以,从而有于是关于的方程由可知：方程的二根同正,故恒成立,于是等价于例4椭圆C:和点P(4,1),过P作直线交椭圆于A、B两点,在线段AB上取点Q,使,求动点Q的轨迹所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,学生往往不知从何入手。其实,应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此,首先是选定参数,然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达,最后通过消参可到达解题的目的.由于点的变化是由直线AB的变化引起的,自然可选择直线AB的斜率作为参数,如何将与联系起来?一方面利用点Q在直线AB上;另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线,不难得到,要建立与的关系,只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程,利用韦达定理即可.通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决此题,已经做到心中有数.在得到之后,如果能够从整体上把握,认识到：所谓消参,目的不过是得到关于的方程(不含k),那么可由解得,直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。简解：设,那么由可得：,解之得：(1)设直线AB的方程为：,代入椭圆C的方程,消去得出关于x的一元二次方程：(2)代入(1),化简得：(3)与联立,消去得：在(2)中,由,解得,结合(3)可求得6、求根公式法例5设直线过点P(0,3),和椭圆顺次交于A、B两点,试求的取值范围.分析：此题中,绝大多数同学不难得到：=,但从此后却一筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程),这只需利用对应的思想实施;其二那么是构造关于所求量的一个不等关系.分析1:从第一条想法入手,=已经是一个关系式,但由于有两个变量,同时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利用第3个变量直线AB的斜率k.问题就转化为如何将转化为关于k的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆方程,消去y得出关于的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.简解1：当直线垂直于x轴时,可求得;当与x轴不垂直时,设,直线的方程为：,代入椭圆方程,消去得解之得因为椭圆关于y轴对称,点P在y轴上,所以只需考虑的情形.当时,,,所以===.由,解得,所以,综上.分析2:如果想构造关于所求量的不等式,那么应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与联系起来.一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但此题无法直接应用韦达定理,原因在于不是关于的对称关系式.原因找到后,解决问题的方法自然也就有了,即我们可以构造关于的对称关系式.简解2：设直线的方程为：,代入椭圆方程,消去得那么令,那么,在(*)中,由判别式可得,从而有,所以,解得.解题犹如打仗,不能只是忙于冲锋陷阵,一时局部的胜利并不能说明问题,有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在,只有见微知著,树立全局观念,讲究排兵布阵,运筹帷幄,方能决胜千里.第三、推理训练：数学推理是由的数学命题得出新命题的根本思维形式,它是数学求解的核心。以的真实数学命题,即定义、公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解题方法,到达解题目标,得出结论的一系列推理过程。在推理过程中,必须注意所使用的命题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等),做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑,快速提高解题能力。例6椭圆长轴端点为,为椭圆中心,为椭圆的右焦点,且,.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)记椭圆的上顶点为,直线交椭圆于两点,问：是否存在直线,使点恰为的垂心?假设存在,求出直线的方程;假设不存在,请说明理由。思维流程：解题过程：(Ⅰ)如图建系,设椭圆方程为,那么又∵即,故椭圆方程为(Ⅱ)假设存在直线交椭圆于两点,且恰为的垂心,那么设,∵,故,于是设直线为,由得,∵又得即由韦达定理得解得或(舍)经检验符合条件.点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边,然后转化为两向量乘积为零.例7、椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过、、三点.(Ⅰ)求椭圆的方程：(Ⅱ)假设点D为椭圆上不同于、的任意一点,,当内切圆的面积最大时,求内心的坐标;思维流程：解题过程：(Ⅰ)设椭圆方程为,将、、代入椭圆E的方程,得解得.椭圆的方程.(Ⅱ),设边上的高为当点在椭圆的上顶点时,最大为,所以的最大值为.设的内切圆的半径为,因为的周长为定值6.所以,所以的最大值为.所以内切圆圆心的坐标为.点石成金：例8、定点及椭圆,过点的动直线与椭圆相交于两点.(Ⅰ)假设线段中点的横坐标是,求直线的方程;(Ⅱ)在轴上是否存在点,使为常数?假