第53讲-离散型随机变量及其分布列(讲义版)2021年新高考数学一轮专题复习(新高考专版)

12ini1n12ini1nijii1jMNM12ini1n12ini1nijii1jMNM第53离型随机变量及其布列1.解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.解超几何分布，并能解决简单的实际问题1.离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列及性质离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X有可能取的值为x，，…，x，…x，取每一个值x(i＝1，2，…，n)的概率为p，，…，p，则表

x

x

…

x

…

x

p

1

p

2

…

p

i

…

p

n称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X分布列.离散型随机变量分布列的性质：①p≥0(i＝1，2，3…，n；②p＋＋…＋p＝；③(x≤≤x)＝p＋＋…＋＋3.常见离散型随机变量的分布列二点分布：如果随机变量的分布列为

1p

0q其中<1，q＝1－p，则称离散型随机变量服从参数为的二点分布超几何分布设有总数为件的两类物品其中一类有M件从所有物品中任取件(≤N，这n件中所含这类物品件X是一个离散型随机变量，当X＝时的概率为P(X＝m＝

C

m－Cn(0≤m≤l，l为和M中较小的一个)，称离散型随机变量X这种形式的概率分布为超几何分布，也称服从参数为NM，n超几何分布.

k551010124555515311k5510101245555153115551515210105551515151245612118C181166C42C21考点一

离散型随机变量分布列的性质【例1】随机变量的分布列为P(＝1，2，3，4，5).求a的值；求P求P<≤解

由分布列的性质，得X＝1)＝a＋2a3a4a1＋5a＝1，所a＝.P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝P<X≤＋＋＝.规律方法

分布列性质的两个作用利用分布列中各事件概率之和为1求参数的值及检查分布列的正确性.随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.考点二

超几何分布的应用

典例迁移【例2】(经典母在心理学研究中常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有名男志愿者，A，A，A，和名女志愿者，B，B，B，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5接受乙种心理暗示.求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含B的概率；用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X分布列.解

C4记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含B的事件为，则P(＝＝510由题意知X可取的值为，12，3，4，则C115(X＝＝＝，＝1)＝＝，510

66C21C6C4266C42C2166C21C216C42446C42C21446C21C66C21C6C4266C42C2166C21C216C42446C42C21446C21C216C42C3210235(X＝＝＝，＝3)＝＝，510C141(X＝＝＝510因此的分布列为

0142

1521

21021

3521

4142【迁移探究1】用X示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列.解

由题意可知的取值为1，2，3，4，5，则C141C35(X＝＝＝，＝2)＝＝，510C3210415(X＝＝＝，＝4)＝＝，510C1(X＝＝＝510因此的分布列为

1142

2521

31021

4521

5142【迁移探究2】用X示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求的分布列.解

由题意知可取的值为3，1，－1，－3，－5，C4C1135则(X＝＝＝，＝1)＝＝，510C2C3101(X＝－1)＝，＝－3)＝＝，510C5(X＝－＝＝，510因此的分布列为

3142

1521

－11021

－3521

－5142规律方法

1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的特征是：考察对象分两类；(2)知各类对象的个数；(3)中抽取若干个个体，考查某类个体X的概率分布.

20100CC1992080C20100CC1992080C19920100C1992.几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型考点三

求离散型随机变量的分布列【例3】创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；从这名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求的分布列.解

由统计图得200名司机中送考1次的有人，送考2次的有100人，送考次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为

201＋100×2＋×3200

＝2.3.从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1，另一人送考2次”为事件，“这两人中一人送考2另一人送考3次”为事件“这两人中一人送考1次另一人送考3”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知的所有可能取值为，，，C1C1C1C1100(X＝＝PA＋＝＋＝，2200200C1C116(X＝＝P)＝＝，2200C2＋C2＋83(X＝＝PD＝＝2200∴的分布列为

，083199

1100199

216199

规律方法

求随机变量分布列的主要步骤明确随机变量的取值并确定随机变量服从何种概率分布；求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量对应的概率[法技巧]1.对于随机变量X的研究要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量的取值范围以及取这些值的概率.2.求离散型随机变量的分布列首先要根据具体情况确定的取值情况然后利用排列组合与概率知识求出X取各个值的概率浙高三二模知机量满足

1PxP(2)x3

，则随增（）A

增大

D

增大

B

减小

D

增大C．

减(

减小

D．

增(

减小2020·广湛江二十一中高三月考）新型冠状病毒肺炎的潜伏期X（单位：日）近似服从正分布：

3)0.872

，则可以估计潜伏期大于等于11天概率为（）AB．．0.128D四省遂宁市第二中学校高三其他（理）“学强国”是一个网络学习平台给们提供了丰富的学习素材．某单位为了鼓励职工加强学习，组织了名职工对“学习强”中的内容进行了测试，并统计了测试成绩（单位：分测成绩服从正态分布

2

间占人数的

1725

，则此次测试成绩不低于130分职工人数大约为（）AB．32．

D．372020·新高三三模（理）某有甲、乙两个数学建模兴趣.其中甲班有，乙班有50人现析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是)AB．C．D．

BB12020·黑江哈九中高二月考（理）已知随机变量

，则该变量的方差

D

（）A

B

C．

D．

2020·苏州大学附属中学高二月考）校园内栽4棵花树，已知每棵树成活的概率为X的方差是（）

，那么成活棵数A

B

C．

D．

四川宜

高三其他（理）某同学投篮命的概率

，且各次投篮是否命中相互独立，他投次，至少连续2次中的概率是（）A

B

C．

D．0.6482020·辽辽

高三三模（理）已知随机变量服正态分布

，且

，则

（）A0.60.2．．2020·大市普兰店区第三十八中学高三开学考试）已知随机变量服从正态分布

，若(

，则

（）ABC．0.68D．2020·湖高三其他（理）纹是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．集了如下9枚纹样微章，其中凤纹徽章枚纹微章．小楠从枚徽中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（A

34

B

C．

2137

D．

11江南

高三开学考试）某校有1000人加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,

)(

，试卷满分150分，统计结果显数学成绩优秀（高于120）的人数占总人数的，此次数学考试成绩在90分105分之的人数约为（）

BBA．150

B．200

C．300

D．4002020·湖益阳

高三月考）已知随机变量正态分布

，若

P(

，则P

（）A0.2

B0.4

C．

D．

2020·浙高三月考）袋子中装有若干个均匀的红球白球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，1摸出一个红球的概率是有次摸到红球即停.记5之内含)摸到红球的次数为的学期望3E

（）A

B

C．

D．

2020·福高三其他）某校在一次月考中共有800人加考试，其数学考试成绩X近服从正态分布(105,2)

试满分150分已同学甲的数学成绩为校排名为720学乙的数学成绩为分，那么他的学校排名约为（）AB．70．D．2020·全开学考试（理）宋代文学家欧阳修在《卖油翁》中写“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不”，由此诠释出熟能生巧的道理已知铜钱是直径为的圆，正中间有一边长为1cm的方形小孔现先后两次随机向铜钱上滴一滴油滴的大小忽略不计)两次油滴均落入孔中的概率为（）A

1

2

B

116

C．

1

2

D．

π沙坪坝

重庆一中高三月考（理）已知机变量服从二项分布

25

，则

（）A

125

B8

D．2020·山高三开学考试）已知参加年某省夏季高考的53万考生的成绩近似地服从正态分布N生成绩落在

的人数约为（）

(附：

Z

，则

P

，

)A

B．D．选山青岛高开学考试）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫若个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布

N(

2)

和

(280,)

，则下列选项正确的是（）附：若随机变量X服从正分布

，则

P(

.A若红玫瑰日销售量范围在

(

30,280)

的概率是0.6826，红玫瑰日销售量的平均数约为

2B红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C．玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中0.3413D．玫日销售量范围在(280,320)的率约为题2020·广珠海高月考）已知随机变量的取值为不大于分布列为

n(n

的非负整数，它的概率X

1

…

p0

…

p

n其中

(i,)满[0,1]，且pii1

．定义由生的函数f()pxx012

2

px3

3

piin

n，(x)

为函数

f()

的导函数，

EX)

为随机变量的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有，2，，4个数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为，时由生成的函数为

f)1

，则（）AC．

E(X)(2)(X)(1)

BD．

f1f1

选题2020·湖葛洲坝中学高三月考下列命题中正确的是（）A命题：

，否定：

，

B若随机变量服从正态分布

，

4)，P(

；

C据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关小乘求得其回归直线方程为y0.3，若样本中心点为

，则m4D．随变量

Xp云南师附中高三月考（理）华为机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜.据调查数据显示，年度华为手机（含荣耀）在中国市占有率接近0%.小明为了考查购买新手机时选华为是否与年龄有一定关系，于是随机调查个购买新手机的人，得到如下不完整的列定义30岁下为年轻用户”，以上为非年轻用户.购买华为

购买其他

总计年轻用户

非年轻用户总计

附：

K

0.0106.63510.828（1将列表填充完整，并判断是否有

90%

的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？（2若采用分层抽样的方法从购买华为手机用户中抽出人，再随机抽3人其中年轻用户的人数为，求X的布列和期望2020·云高三月考（理）某从高三年级中选拔一个班级代表学校参“学习强国知识大”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决