高考数学一轮复习专题10.5离散型随机变量及其分布列讲解

专题10.6二项分布及其应用【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测1.考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及其性质；2.考查两点分布、n次独立重段试验的模型离散型随撼矮1强!幽及其应用口3.备考重点：(1)掌握取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及其性质；n(2)掌握两点分布、n次独立重复试验的模型及其应用计算方法.随机变量及其分布列解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能进行简单的应用.2013?浙江理19;2014?浙江理12;2017?浙江8.【知识清单】.离散型随机变量及其分布列.离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X,Y,E,刀等表木.(2)离散型随机变.量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若《是随机变量，刈=a之+b,其中a,b是常数，则也是随机变量.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布:若随机变量X服从两点分布，即其分布列为X01P1-PP其中0<p<1,则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布.其中p=P(X=1)称为成功概率.(2)超几何分布:knk

CMCN51cN在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有Xknk

CMCN51cNk=0,1,2,1H,m,其中m=min(M,n},且n^N,MWN,n,M,NWN冲，称分布列为超几何分布列0n_0CMCNJMcN0n_0CMCNJMcN1n_1

CMCNJMcNm「n5CMCNJMcN(3)设离散型随机变量X可能取得值为x1,x2,…，xi,…xn,X取每一个值xi(i=1,2,用，n)的概率为P(X=x)=p,则称表XXiX2…xi…XnPP1P2…pi…Pn为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列.有时为了表达简单，也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,111,n表小X的分布列.分布列的两个性质①R之0,i=1,2,用，n；②P1+P2+"|+Pn=1.对点练习:【2017-2018学年湖北省松滋市第一中学】若随机变量X的概率分布如下表所示，则表中的a的值为()X1234P111———a266A.1B.1C.1D.1一，选D.6【考点深度剖析】离散型随机变量的分布列及其概率分布是高考命题的热点，与离散型随机变量的数字特征结合命题是主要命题方式.【重点难点突破】考点1离散型随机变量及其分布列【1-1】随机变量.X【1-1】随机变量.X的概率分布规律为 P(X=n)=—an(n1)1(n=1,2,3,4)，其中a是常数，则P(—vXV5）的值为（22XV5）的值为（22A.—3B.C.D.【解析】因为随机变量冀的概率分布规律为产=（口=1,2/,4月所以—1)+Hx=2)+=3)+尹(刀=4)==1g=—,所以54k【1-2】【2017-2018学年湖北省松滋市第一中学】设随机变量X的分布列为P（X=k）=m1-,k=1,2,3,3则m的值为A.生18【答案】B.2738C.1719D.2719【解析】因为24m—3927=1,所以mA.生18【答案】B.2738C.1719D.2719【解析】因为24m—3927=1,所以m28，选B.X01P2百1J.m【1-3】若随机变量X的分布列为2 1【解析】由分布列的性质可得一+m=16m=—,由两点分布的方差可得3 3dx=p1-p=|【1-4】本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人独立来该租车点骑游（各组一车一次）、…有甲、乙两人独立来该租车点骑游（各组一车一次）、… —一，…，，，，…… 1 1.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 一，一；1两小时以上且不超过三小 时还车的概率分别为 1两小时以上且不超过三小 时还车的概率分别为 121 一，一，一1;两人租车时间都不会超过四小时4(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量自，求£的分布列.5【答案】(1)一(2)见解析16【解析】试题分析：(1)由题意可得，甲、乙使用时间情况,(0,2](2,3](3,4]甲111424111乙244所以车叠相同，即使用时间一样，分成三个互斥事件，有时M2],⑵3],⑶4]根据互后事件的和事件和相互独立事件同时发的概率公式可得(/)=:乂1+?*]+1乂!=1/2)由题42244416意可得4可能取得值为。，常％6,8,其中0元包含C%0),2元包含(0,2),(2,0b4元包含(0,4).区口)，(2,2),6元包含(4,2),⑵4),g元包含(4,4),根据互斥事件的和事件和相互独立事件同时发的枇率公式分别计算可得。试题解析：(1)由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件A,则P(A)=1x1+1x1+1x1=ATOC\o"1-5"\h\z42244416~一5所以，甲、乙两人所付得租车费用相同的概率为—.16(2)设甲、乙两个所付的费用之和为J可能取得值为0,2,4,6,8pk=0)W，8P=2=4111 5pk=0)W，8P=2=4111 51 42216P=4=411124242516，P=6」4111424316，P-844116，【领悟技法】.求分布列的三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y,并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数.据.由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义.(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.而超几何分布就是此类问题中的一种.(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列..求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i=1,2,3,…，n);(2)求出各取值的概率RX=Xi)=pi;(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确..解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路(1)明确随机变量可能取哪些值.(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值.(3)根据分布列和期望、方差公式求解.注意解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题.【触类旁通】【变式一】已知随机变量E的分布列为0123456P0.160.220.240.100.060.01则P(E=3)=【答案】0.21【解析】P(卫=3)=1—0.16-0.22—0.24-0.1-0.06-0.01=0.21【变式二】若随机变量X只取两个值X1与X2,并且X取X1的概率是它取X2的概率的3倍，则X的分布列XX1X231P443一_1【解析】因为X取X1的概率是它取X2的概率的3倍，所以X取X1的概率是-,取X2的概率是-【易错试题常警惕】3易错典例:某种食品是经过A、B、C三道工序加工而成的，A、B、C工序的产品合格率分别为易错典例:4已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；有两道合格为二等品;为二等品;其它的为废品，不进入市场.(I)正式生产前先试生产2袋食品，求这2袋食品都为废品的概率;(n)设U为加工工序中产品合格的次数，求巴的分布列和数学期望.易错分析：随机变量U的取值错误导致出错，计算概率出错.【解析】(I)2袋食品都为废品的情况为①2袋食品的三道工序都不合格片①2袋食品的三道工序都不合格片=1x1x1)4353600②有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有两道工序不合格p=Cjx—x(-604p=Cjx—x(-604X—X—+—X—X—-F—2001136311121114③两袋都有两道工序不合格P3=()所以2袋食品都为废品的概率为p=p+巳+p3P(=0)=(1-2 4)(1-3)(北二60P(=1)=31112111P(=2)=P(=0)=(1-2 4)(1-3)(北二60P(=1)=31112111P(=2)=143P(=3)=:41133543543530,012335524:2P131326020305320TOC\o"1-5"\h\z132133320\o"CurrentDocument"2330560温馨提醒：1.对于分布列易忽视其性质P1+P2+|||+pn=1及R至0,i=1,2,用，n其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确.2.确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼，此互斥的.【学科素养提升之思想方法篇】对立统一，峰回路转一一正难则反正难则反原则是解题学中的一个重要的思维方法，就其意义来说，就是当从问题的正面去思考,问题，遇到阻力难于下手时，可通过逆向思维，从问题的反面出发，逆向地应用某些知识去解决问题.说得更具体一些，就是当我们拿到一个题目，经仔细地审题后，如感觉顺推有困难就要尝试去进行逆推，这就俗话所说的“不要一条路跑到黑”，许多事实都说明：对问题正向进行探索使问题陷入困境时，反向思维往往能使人茅塞顿开，获得意想不到效果.具体在数学解题中，分析法、反证法、逆推法、排除法、同一法、补集法等方法技巧，都是正难则反策略的应用，往往通过逆转结构、逆转运算、逆转主元、逆转角度等，实现化难为易、化繁为简..【典例】【2017届贵州省铜仁市第四中学高三适应性测试】医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标H和V.现有4三种不同配方的药剂，根据分析，4分£三种药剂能控制可指标的概率分别为0.5,0.6,0.75,能控制V指标的概率分别是0.6,0.5,0.4,能否控制U指标与能否控制歹指标之间相互没有影响.（I）求儿比三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率；（n）某种药剂能使两项指标旧和y都得到控制就说该药剂有治疗效果.求三种药剂中有治疗效果的药剂种数*的分布列..【答案】（I）0.275；（n）见解析.【解析】试题分析：（I）三种药剂中恰有一种能才讲出指标有三种情用，由相互独立事件和互斥事件的概率求解NII）计算可得4三种药剂有治疗效果的概率均内0.3可看成是独立重复试藏，即M力（30司,由二项分布的概率计算公式可得结果.试题解析：(1)乩BE三种药剂中恰有一种能控制H指标的概率为p=p^abc)+p(AbC)+p(ABc)=0.5X(l-0.6)X(l-0,75)+(1-0.S)x0.6x(l-0,75)+<1-0.5)x(1-0.6)X0.75=0.275f(n)』有治疗效果的概率为七二()*x〔L6=03,B有治疗效果的概率为瞑=0.6x05=〔)、C有治疗效果的概率为PlO-7Sx0.4=OJ,，儿民。三种药剂有治疗效果的概率均为0.3,可看成是独立重复试验，即JTB⑶0工),・•.X的可能取得为。3...P(X=A)=弓*0二八(1-0⑸③“，即??P(*=2)=《x(n~(l_03=0J89.P(X=刃-Cgx0.S3=0,027故区的分布列为X01230.3430.4410.1890.027出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑思纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之日能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也串二。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，