2022版高考数学3-2-1系列专题09立体几何理（教师版1）

2022版高考数学3-2-1优选系列专题09立体几何理（教师版1）【考点定位】2022考纲解读和近几年考点散布2022考纲解读考纲原文：1）空间几何体①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的构造特点，并能运用这些特点描绘现实生活中简单物体的构造②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合）的三视图，能辨别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图③会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不相同表示形式④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特点的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）⑤认识球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）关性质与判判断理理解以下判判断理◆若是平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行◆若是一个平面内的两条订交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行◆若是一条直线与一个平面内的两条订交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直◆若是一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直理解以下性质定理，并能够证明◆若是一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面订交，那么这条直线就和交线平行◆若是两个平行平面同时和第三个平面订交，那么它们的交线互相平行◆垂直于同一个平面的两条直线平行◆若是两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直③能运用公义、定理和已获得的结论证明一些空间图形的地点关系的简单命题考纲解读：空间几何体的三视图是察看的重点，以小题为主；由给出的三视图（或其一部分），尔后想像其直观图并求其体积与表面积，是常有题型；注意由给出的三视图（或其一部分），然后想像或作出其直观图，进而与点、线、面的地点关系问题相联合；注意由空间几何体能够画出它的三视图，反之由三视图也可复原几何体，两者之间互相转变；注意与球有关的问题（表面积、体积、组合体及其三视图）；注意三视图与不等式（求棱长的范围、体积的最值等）的联合；点、线、面的地点关系是察看的重点，特别是文科；注意符号语言、文字语言、图形语言的变换（特别在选择填空题中）；注意总结常有的一些几何体，以及它们特别规放置的情况；理科要注意与空间向量的联合。【考点图1zADOxBECyS(0,]2S图1ABC316π=3.14159316d32VdVdV99的体积等于___________cm3【答案】1

AB6D3DP1α3CO43222俯视正视图4侧视图22图正视侧视图3图俯视图3300V321d157dV11以以下图,则该三棱锥【剖析】察看三视图知该三棱锥的底面为素来角三角形,右侧面也是素来角三角形故体积等于11D1111a23D1C1A1B1CNDBCADCMABAB323233333333【答案】6【考点】正方形的性质,棱锥的体积【剖析】∵长方体底面ABCD,错误!不决义书签。它也是ABB1D1DAD,AC,APx,y,zAxyz1,1,0),P(0,0,2)PD(2,0,0),C(0,1,0),B(22PC(0,1,2),AD(2,0,0)PCAD0PCADPC(0,1,2),CD(2,1,0)n(x,y,z)BACDnPC0y2z0y2zz1n(1,2,1)nCD02xy0xzAD(2,0,0)cosAD,nADn630ADnsinAD,n6630APCDAEh[0,2]AE(0,0,2)6BE(1,1,h),CD(2,1,0)22cosBECD3310BE,CD20h2hBECD10210AE10AEh[0,2]AE(0,0,2)BE(1,1,h),CD(2,1,0)1022cosBECD331010BE,CD1020h22hAEBECD1010PC1PPCA1B1FEEADDAABBCBCCDAMBABCA/B/C/BAC90ABACAA/,A/ACC/A/MNCAB',AC'BAC=90,AB=ACABC-A'B'C'MN//AC'MNA'ACC'AC'A'ACC'MN//平面AACC''AB,AC,AA'O-xyzAA'=1,AB=AC=A0,0,0,B,0,0,C0,,0,A'0,0,1,B',0,1,C'0,,1M,0,1,N,,1m=x1,y1,z1A'MNmA'M=0,2mMN=022212x1-2z1=0m=1,-1,n=x2,y2,z2MNCnNC=0,-2x2+2y2-z2=01nMN=012y1+2z1=02y2+2z2=0n=-3,-1,A'-MN-Cmn=0,即-3+-1-1+2=0=2PA1C1B1ADEE

BC图51C1CCAOBACB45BC3ADBCBDC90ABCDABCDAAMBCDC·DBE图1图22x3xBD1ABCDVABCD1SBCD1(31x(313AD3x)x)(xA3A261321f(x)9x)f(x)(x1)(x3)00x3x(0,1)f(x)0(x6x26MMf(x)0BD1ABCDDxyzABCDBD1AD2D(0,0,0)CDC(0,2,0)A(0,D0,N2)M(0,1,1)1,1,0)BM(1,1,1)N(0,,0)EN(E(BEC2DNFC1111BEENBMENBM0(1,0)(1N(0,,0)DN,1,1,1)2022图a2图bnBN,y2x,Mn(x,y,z)BN(1,1,0)n(1,2,1)EN(1,1,0)nnzx.BM,222DNFCGHnEN|11|3Nsincos(90)260ABCDBD1ADCD|n|E|EN|226BEBP2图c图dFPBFENBFMFENBFFBMDBDBPFDPMFENMFENBMENBFDN1ENBMNBNMEBEM5BMEH22ENHEGGNNE22

26x9x)x(1,3)B(1,0,0)11,0)2ENBM(1,2,1)MFENBMGNEHENH60PEABDCACBDOA(2,0,0),C(2,0,0),P(2,0,2),B(0,a,0),D(0,a,0),E(x,y,z)E(2,0,2)PC(22,0,2)BE(2,a,2)BD(0,2a,0)333322PCBE(22,0,2)(3,a,3)0PCBD(22,0,2)(0,2a,0)0PCBEPCBDn(x,y,z)AP(0,0,2),AB(2,a,0)nAP0,nAB0n(1,2,0)m(x,y,z)BC(2,a,0),CP(22,0,2)mBC0,mCP0am(1,2,2)|PDm|10a2PD(2,2,2)m(1,1,2)|PD||m|261amnC1Cl1l2,l2l3

zA1(0,0,23)ME(-2,2,0)D(-2,0,0)C(0,0,0)yxB(0,3,0)l1l2l1l3αAABCDlHDCGDEβBE3C第8题图32FA1B2C9423618991218224（339V2）+332=18323m2m1mONojB60°AMDCo1AB(第16题图)1C1CpzzSPpCHOAE2aFO2aBF6aay222DCDCaDCa223CODRtCOHCx1BB263OHAA2a2aBCAAxBy1Ci）若直线ii）在线段AD上可否存在一个点G，使得点G到点是平面=1,1,1,所以cos15m,n5D1C1A1B1ODCAB1A1A2A1A1A2A3A2A3A1A2A1A2A3A1C1F1F1A2A3A1M1MA1B1C1D12326VDACD1VD1ACD1SACD1DO1SACDDD1333333ASACD1ACAD1sin601(2a)233a212222OSACD1ADCD1a2MN22BDSACDDD1a33DO3CDOasinSACD13a23DD13cos6234383V周围体ABCD1212h2hhmax22212233333323Vmax43ABCD-A1B1C1D1EFGHEFGHB1C1EFGHBCBC1BCBC1EFGH311EFGHBCBC11A1D1ABB1A1ABB1A1ABB1A1292CS2(10810282)2(6882)3603ABC2BCD1718412545454Rarccos25Rarccos2515R255R5R5ROM2ON2MN217Rarccos177a211a22OMON252533A1B2ABCA'B'C'ABAC,AB2,AC133CBO3D1QA1O2NOPCBMVSABCAA'1ABCDA1BC11D121212

DASABCDSA23ABCDA1BC11D16262626+232342332166+23141424108的水，43333若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水碰巧吞没最上面的球（如图所示，则球的半径是cm．【剖析】设球半径为r，则由3V球V水V柱可得328r2,解得r=44rr6r34．（2022年四川理15）如图，二面角l的大小是60°，?A线段AB，与所成的角为30°则与平面?所成的角的正弦值是B剖析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作的垂线?A垂足为D连结AD，有三垂线定理可知AD⊥，C故∠ADC为二面角l的平面角，为60°又由已知，?D∠ABD＝30°连结CB，则∠ABC为与平面所成的角设BADAD＝2，则AC＝，CD＝1，AB＝sin300＝4∴in∠ABC＝AC3答案：3AB4452022年宁夏14）正视图为一个三角形的几何体能够是______（写出三种）【剖析】三棱锥、三棱柱、圆锥等．6．（2022年江西理16）如图，在三棱锥OABC中，三条棱，，两两垂直，且OAOBOC，分别经过三条棱，，作一个截面均分

OCBA三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为．【答案】S27．（2022年浙江12）若某几何体的正视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是_______cm3【答案】144剖析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为144，此题主要察看了对三视图所表达示的空间几何体的辨别以及几何体体积的计算，属简单题8．（2022年辽宁理15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______【答案】9．2022年全国

2理

16）已知球的半径为

4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，

AB

4．若

OM

ON

3，则两圆圆心的距离

．【答案】3【命题妄图】本试题主要察看球的截面圆的性质，解三角形问题【剖析】设E为AB的中点，则O，E，M，N四点共面，如图，∵AB4，R2AB2所以OE23，∴ME=3，由球的截面性质，有2OMME,ONNE，三、解答题1．（2022年山东理19）（本小题满分12分）如图，在五棱锥ABCAC2=(22)2+42-2224cos45=8AC=22AB2+AC2=8+8=16=BC2ABACACAAB平面PACCD平面PACCD平面PCDAHPCAH平面PCDPBOAH=BOAH=2sinPBO=12PBOABC-A1B1C1A1ACC1B1BCC1ABC-A1B1C1A1ACC1B1OC(0<90)BCACAA1AA1ACC1BCB1BCC1A1ACC1B1BCC1AA1=2rABC-A1B1C1V1=1ACBC2rACBCrAC2BC2=AB2=4r2ACBCAC2+BC222AC=BC=2rV12r3V=r22r=2r3V12r33=1,AC=BC=2rOCAB1V2rOCABO-xyzA1ACC1BC=(r,-r,0)A1ACC1B1OCn=(x,y,z)nOC得rx0x0B1OCn=(0,-2,1)0<90nOB1ry2rz0y2zcos|cosn,BC|=nBC2r10ABCDABCD|n||BC|52r51111CFAB2CEAB:AD:AA11:2:4A1EDA1EDFAB1D(0,2,0)F(1,2,1)A1(0,0,4)E1,3,0EF0,1,1A1D(0,2,4)cosEF,A1DEFA1D322EFA1D53AF(1,2,1)EA11,3,4ED1,1,0AFEA1AFEDEA1EDE5221z0uEF0y51AFA1EDu(x,y,z)2A1EDA1-ED-FuED0131C1C,易知A1Dx02y2B1C，由CE=CF=1CBCC14

,可知EF∥BMC所成的角，易知1,所以BM=CM=B1C=52cosBMCBM2CM2BC23,所以异面直线32BMCM5FE与A1D所成角的余弦值为5Ⅱ证明：连结AC，设AC与DE交点N由于CDEC1，所以RtDCERtCBA，BCAB2进而CDEBCA，又由于CDECED90,所以BCACED90，故AC⊥DE,又由于CC1⊥DE且CC1ACC，所以DE⊥平面ACF，进而AF⊥，同理可证B1C⊥平面ABF,进而AF⊥BC,所以AF⊥AD由于DEA1DD，所以AF⊥平面AED111Ⅲ解：连结AN，FN由（Ⅱ）可知DE⊥,AN平面ACF，所以DE⊥NF，11DE⊥AN，故A1NF为二面角A-ED-F的平面角易知RtCNE∽RtCBA，所以11所以二面角A-DE-F正弦值为51342022年湖北理18）本小题满分12分如图,在周围体ABOC中，OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1Ⅰ设ABA11D1AQAD1B1CFB1E1C1EADADBB图5CC1CAF，连结EM,是错误!不决义书签。∥AD又在正方体ABCD－ABCD中。AD⊥平面111111ABBA，所以EM⊥ABBA，进而BM为直线BE在平面ABBA上的射影，∠EBM直线BE与111111平面ABB1A1所成的角设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝22＋21＋12＝3，于是在RT△BEM中，EM2直线BE和平面sinEBM即BE3ABB1A1ABCDEFABCDEFFBAB2EFBFC90EFDCHBFFCABBDEC

ACFBDF5a是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积本小题主要察看异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识，并察看空间想象能力和逻辑推理能力，察看应用向量知识解决数学识题的能力。解法一：（Ⅰ）连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK．由于点M是棱错误!不决义书签。与异面直线错误!不决义书签。为异面直线错误!不决义书签。N，则MNH，则由三垂线定理得，BCMH是棱AA的中点,点O是BD的中点,到平面OBC的距离BMn11122d.2222n3HA,HB,HPx,y,zA(1,0,0),B(0,1,0)C(m,0,0),P(0,0,n)(m0,n0)D(0,m,0),E(1,m,0).PE(1,m,n),BC(m,1,0).PEBCmm00222222PEBCm3,n1,故C(3,0,0)3,0),E(1333D(0,,,0),P(0,0,1)326nHEo,1x3y02n(x,y,x)PEH26n(1,3,0)PA(1,0,1)cosPA,nnHPo,z04PEH21EGCF22,1)BE(0,2,1)DE(2,0,1)42(,22CFBE0110CFDE1010CFBECFDECFCF(22,1)n(x,y,z)nBA0nBE0(x,y,z)(2,0,0)0x0,,2(x,y,z)(0,2,1)02z2y,y1,z2n(0,1,2)cosn,CFnCF3|n||CF|2ABEDABEDBCDMCDMCDABA6AB23MBCACM，则OB=OM=，OB⊥，MO⊥．又平面CDCDMMCD平面,则MO⊥平面，所以MO∥AB，MO∥平面ABC．M、O到BD平面ABC的距离相等．作OH⊥BC于H，连MH，则MH⊥BC．求得OH=OC?cos30=3，MH=(3)2(3)215．222

AC设点到平面MBC的距离为d，由VAMBCVM1SMBC1SABCOH．MABC得dBD33即1115d11332HO3223222，解得d15．225ECF（2）延伸AM、BO订交于E，连CE、DE，CE是平面ACM与平面的交线．由（1）知，O是BE的中点，⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为由于∠BCE=120°所以∠BCF=60°BF2sin603，tanAB2，sin25则所求二面角的正弦值为25BF55解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD．又平面MCD平面,则MO⊥平面Az取O为原点，直线OC、BO、OM为轴、轴、轴，成立空间直角坐标系如图．OB=OM=，则各点坐标分别为C（1，0，0），M（0，0，），B（0，，0），A（0，-，）M（1）设n(x,y,z)是平面MBC的法向量，则BDBC(1,3,0),BM(0,3,3)由nBC得x3y0；O由nBM得3y3z0．y取n(3,1,1)BA(0,0,23)，则CBAn．x23215d．n55（2）CM(1,0,3)，CA(1,3,23)设平面ACM的法向量为n1(x,y,z)，由n1CM得x3z0解得x3z，，n1(3,1,1)的法向量为n1CAx3y23z0n2(0,0,1)所以cosn1,n1n21，设所求二面角为，则sin25n1n25515．（2022年辽宁理19）（本小题满分12分）已知三棱锥,S分别为⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小证明：设（1,0,1⊥SN6分2（Ⅱ）NC(1,1,0)N2xy1z0,的一个法向量，则2N所成角为45°12分1y0.x216．（2022年浙江理科20）（此题满分15分）如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在线段AB,AD上，AE=EB=AF=2FD=4。沿直线EF将AEF‘‘3翻着成AEF，使平面AEF平面BEF。（Ⅰ）求二面角A‘-FD-C的余弦值；（Ⅱ）点M,N分别在线段FD,BC上，若沿’直线MN将四边形MNCD向上翻着，使C与A重合，求线段FM的长。用，同事察看空间想象能力和运算求解能力。满分15分。（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结，由于=及H是EF的中点，所以A'HEF,又由于平面A'EF平面如图成立空间直角坐标系A-则（2，2，），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）=（-2，2，2），（6，0，0）设=（,,）为平面A'FD的一个法向量，所以2x2y22z02n(0,2,2)m(0,0,1)6xz0CPC1KzDHBCB1PC1GEAEDA1BB1yEEADAA1xFBADA'G,A'H,GHA'HEFA'EFA'HAFA'HA'GH题19图CBG答（19）图2CA'GHA'DHCRtA'GHcosA'GH3A'DFC333FMxCMA'MCM2DC2DM282(6x)2A'M2A'H2MH2A'H2MG2GH2(22)2x21FM2144ABCA1B1C1ACBCAA1ABAE3EB1A1AC1B11C1C1C1Ca,b,c,d1ac,bc,ad,bda,b,c,da,b,c,d222b,c//b,b//cc//,cc//,c4816264324816233216234816230C为棱AB的中点，则所成角的余弦值为（）3333A2B4C6D3【答案】C【福建省南安一中

2022届高三上期末】已知，，表示三条不相同的直线，

表示平面，给出以下命题：①若∥，∥，则∥；③若∥，∥，则∥；A．①②

②若⊥，⊥，则⊥；④若⊥，⊥，则∥．B．②③

其中正确的命题为（C①④

）D．③④【答案】C【北京市东城区△ABC是边长为

2022高三第一学期期末】一个几何体的三视图以以下图，其中正主视图中2的正三角形，俯视图的界线为正六边形，那么该几何体的侧左视图的面积为13（A）2（B）（C）2（D）【答案】C【北京市东城区2022高三第一学期期末】以下命题中正确的选项是（A）若是两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行（B）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直（C）若是一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面（D）若是两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面【答案】D【北京市西城区2022第一学期期末】某几何体的三视图以以下图，该几何体的体积是（）84（A）（B）3（C）（D）3【答案】D【浙江省名校新高考研究结盟2022届第一次联考】设是两条异面直线，以下命题中正确的是A．过且与平行的平面有且只有一个B．过且与垂直的平面有且只有一个0，C．与所成的角的范围是D．过空间一点与、均平行的的平面有且只有一个【答案】A【浙江省杭州第十四中学2022届高三完好相同的等腰直角三角形（以以下图）

12月月考】假定一个四棱锥的正视图和侧视图为两个，腰长为1，则该四棱锥的体积为．【广东省执信中学

2022第一学期期末】若是一个几何体的三视图以以下图，其中正视图中△ABC是边长为

2的正三角形，俯视图为正六边形，则该三视图中侧视图的面积为

．3【答案】2【福建省南安一中2022届高三上期末】一个几何体的三视图以以下图，则该几何体的体积为3【答案】π3【北京市旭日区2022届高三上学期期末考试】某几何体的三视图以以下图，则这个几何体的体积是【答案】【浙江省名校新高考研究结盟2022届第一次联考】已知一个几何体的三视图及其长度以以下图，则该几何体的体积为【答案】

12【浙江省名校新高考研究结盟2022届第一次联考】正三棱锥的侧面与底面所成二面角的大tan小为，侧棱与底面所成的角为，则tan【答案】2解答题1、如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1//CC1，A1BA1D，ABAD求证：（1）AA1BD；（2）BB1//DD1【试题州）2022届高三3月第一次调研测试（数学）【剖析】（1）取线段的中点，连结、，由于A1DA1B，ADAB，所以BDAM，BDA1M．3分又AMA1MM，AM、A1M平面A1AM，所以平面A1AM．而AA1平面A1AM，所以AA1BD7分（2）由于AA1//CC1，AA1平面D1DCC1，CC1平面D1DCC1，所以平面D1DCC1．9分又AA1平面A1ADD1，平面A1ADD1平面D1DCC1DD1，11分所以AA1//DD1．同理得AA1//BB1，所以BB1//DD1．14分2、在棱长为２的正方体ABCD－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，E为棱AB的中点，点DB1D1C1C1PA1A1zA1B1ADCyBMCAACBC1ENBD1(0，0，2)E(2，1，0)C(0，2，0)P(x，y，2)第19题B1xD1P(x，y，0)EP(x2，y1，2)EC(2，1，0)D1PD1PEPD1PECD1PEP0x(x2)y(y1)，xx4，48D1PEC0．．P(，,2)D1P(，,0)2xy0y08．5555y5D1P166445(2,1,0),D1P4825255DE(,,0),D1P55D1PDE164sincos5D1PDE80N⊥错误!不决义书签。N⊥CB，∴错误!不决义书签。55251A1A1A1AABCDA1B1C1D1ABCDAB1BC2ABC600AA1ABCDA1AEA1DEDEA1EBEEC1BCABCDABEAEB6002CED1(18001200)300AED900DEAEAA1ABCDDE2ABCDAA1DEAA1AEADEA1AEDEA1DEA1AEA1DEEF//B1C//A1DAEFDE3A1EA1A2AE2A1A2BF22AFEF116cosAEFAE2EF2AF26AA1aa0222AEEF6A(0,0,0)D(0,2,0)A1(0,0,a)E(3,1,0)A1AEn1(m,n,p)22n1AE3m1n00m1n3n1(1,3,0)A1DE22pn1AA1ap0n2(3,1,20A1AEA1DEDEA1E)n1n2aA(32(21203)212a2a2))(()D222231BAE(2)2,,0)A1D(0,2,2Ccos|AEA1D|6ABCDABCDPAAB4第16题|AE||A1D|6NC2PACPC//MEFPM:MAMEFNPAABCDBDABCDPABDBDACACPAABDEF//BDEFEFPACP(0,0,A4)C(4,4,0)E(4,2,0