2023届高考数学一轮复习作业变量间的相关关系统计案例新人教B版

PAGEPAGE9变量间的相关关系、统计案例一、选择题1．如图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))1x＋eq\o(a,\s\up7(^))1，相关系数为r1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))2x＋eq\o(a,\s\up7(^))2，相关系数为r2．则()A．0＜r1＜r2＜1 B．0＜r2＜r1＜1C．－1＜r1＜r2＜0 D．－1＜r2＜r1＜0D[根据相关变量x，y的散点图知，变量x，y具有负线性相关关系，且点(10,21)是离群值．方案一中，没剔除离群值，线性相关性弱些，成负相关；方案二中，剔除离群值，线性相关性强些，也是负相关．所以相关系数－1＜r2＜r1＜0．故选D．]2．(2020·全国卷Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnxD[根据散点图，用光滑的曲线把图中各点依次连起来(图略)，由图并结合选项可排除A，B，C，故选D．]3．为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系．设其回归直线方程为eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))．已知xi＝225，yi＝1600，eq\o(b,\s\up7(^))＝4．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为()A．160cmB．163cmC．166cmD．170cmC[∵xi＝225，∴eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)xi＝22.5．∵yi＝1600，∴eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)yi＝160．又eq\o(b,\s\up7(^))＝4，∴eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up7(^))eq\x\to(x)＝160－4×22.5＝70．∴回归直线方程为eq\o(y,\s\up7(^))＝4x＋70．将x＝24代入上式得eq\o(y,\s\up7(^))＝4×24＋70＝166．故选C．]4．现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的()A．样本中的女生数量多于男生数量B．样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量C．样本中的男生偏爱两理一文D．样本中的女生偏爱两文一理D[由条形图知女生数量多于男生数量，有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，男生偏爱两理一文，女生中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故选D．]5．某医疗所为了检查新开发的流感疫苗对甲型H1N1流感的预防作用，把1000名注射疫苗的人与另外1000名未注射疫苗的人半年的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用”，并计算得P(K2≥6.635)≈0.01，则下列说法正确的是()A．这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的有效率为1%B．若某人未使用疫苗，则他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1流感C．有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”D．有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”C[因为P(K2≥6.635)≈0.01，这说明假设不合理的程度为99%，即这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用不合理的程度约为99%，所以有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”，故选C．]二、填空题6．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其线性回归方程是eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\f(1,3)x＋eq\o(a,\s\up7(^))，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数eq\o(a,\s\up7(^))的值为．eq\f(1,8)[依题意可知样本点的中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,8)))，则eq\f(3,8)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\o(a,\s\up7(^))，解得eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\f(1,8)．]7．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m，如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性．丁[r越大，m越小，线性相关性越强．]8．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05．则下列结论中，正确结论的序号是．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%．①[K2≈3.918＞3.841，而P(K2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．]三、解答题9．(2021·陕西西安高三模拟)某社区随机选取了部分居民，调查他们对今年春节期间社区组织文艺和体育活动的意见(每人只选择其中一项)，调查结果如下表所示：文艺活动体育活动男性居民1520女性居民2510(1)估计该社区男性居民中选择体育活动的概率和全体居民中选择文艺活动的概率；(2)判断能否有95%的把握认为居民选择的活动类型与性别有关．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解](1)由表格中的数据可知，该社区男性居民中选择体育活动的概率为eq\f(20,15＋20)＝eq\f(4,7)，该社区全体居民中选择文艺活动的概率为eq\f(40,40＋30)＝eq\f(4,7)．(2)由表格中数据可得K2＝eq\f(70×15×10－20×252,40×30×35×35)≈5.833>3.841，因此，有95%的把握认为居民选择的活动类型与性别有关．1．(2021·南昌市八一中学高三三模)已知变量y关于x的回归方程为eq\o(y,\s\up7(^))＝ebx－0.5，其一组数据如表所示，若x＝5，则预测y值可能为()x1234yee3e4e6A．e5B．eeq\s\UP12(eq\f(11,2))C．e7D．eeq\f(15,2)D[由eq\o(y,\s\up7(^))＝ebx－0.5得：lny＝bx－0.5，∴eq\f(lne＋lne3＋lne4＋lne6,4)＝b·eq\f(1＋2＋3＋4,4)－0.5，解得：b＝1.6，∴回归方程为eq\o(y,\s\up7(^))＝e1.6x－0.5，若x＝5，则eq\o(y,\s\up7(^))＝e8－0.5＝eeq\s\UP12(eq\f(15,2))．]2．在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：x4m81012y12356由表中数据求得y关于x的回归方程为eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65x－1.8，则(4,1)，(m,2)，(8,3)这三个样本点中落在回归直线下方的有()A．1个B．2个C．3个D．0个B[由表中数据，得eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(4＋m＋8＋10＋12)＝eq\f(34＋m,5)，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(1＋2＋3＋5＋6)＝3.4，代入回归方程eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65x－1.8中，得3.4＝0.65×eq\f(34＋m,5)－1.8，计算得出m＝6．所以x＝4时，eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65×4－1.8＝0.8＜1，点(4,1)在回归直线eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65x－1.8上方；x＝6时，eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65×6－1.8＝2.1＞2，点(6,2)在回归直线eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65x－1.8下方；x＝8时，eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65×8－1.8＝3.4＞3，点(8,3)在回归直线eq\o(y,\s\up7(^))＝0.65x－1.8下方．综上，(4,1)，(6,2)，(8,3)这三个样本点中落在回归直线下方的有2个．故选B．]3．针对时下的“游戏热”，某校团委对“学生性别和喜欢打游戏是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的eq\f(1,3)，女生喜欢打游戏的人数占女生人数的eq\f(1,6)，男生喜欢打游戏的人数占男生人数的eq\f(2,3)．若有95%的把握认为是否喜欢打游戏和性别有关，则男生至少有人．附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818[设男生人数为x，由题意可得列联表如下：喜欢打游戏不喜欢打游戏总计女生eq\f(x,18)eq\f(5,18)xeq\f(x,3)男生eq\f(2,3)xeq\f(x,3)x总计eq\f(13,18)xeq\f(11,18)xeq\f(4x,3)若有95%的把握认为是否喜欢打游戏和性别有关，则k≥3.841，即k＝eq\f(\f(4x,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,18)·\f(x,3)－\f(5x,18)·\f(2x,3)))\s\UP12(2),x·\f(x,3)·\f(13x,18)·\f(11x,18))＝eq\f(36x,143)≥3.841，解得x≥15.257．因为各部分人数均为整数，所以x是18的倍数，所以若有95%的把握认为是否喜欢打游戏和性别有关，则男生至少有18人．]4．碳达峰就是二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；碳中和是指在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量通过植树造林、节能减排等方式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．2020年9月，中国向世界宣布了2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和的目标．某城市计划通过绿色能源(光伏、风电、核能)替代煤电能源，智慧交通，大力发展新能源汽车以及植树造林置换大气中的二氧化碳实现碳中和．该城市某研究机构统计了若干汽车5年内所行驶的里程数(万千米)的频率分布直方图，如图．(1)求a的值及汽车5年内所行驶里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)据“碳中和罗盘”显示：一辆汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近200棵树用1年时间来吸收．根据频率分布直方图，该城市每一辆汽车平均需要多少棵树才能够达到“碳中和”；(3)该城市为了减少碳排量，计划大力推动新能源汽车，关于车主购买汽车时是否考虑对大气污染的因素，对300名车主进行了调查，这些车主中新能源汽车车主占eq\f(1,6)，且这些车主在购车时考虑大气污染因素的占20%，燃油汽车车主在购车时考虑大气污染因素的占10%．根据以上统计情况，补全下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关．考虑大气污染没考虑大气污染合计新能源汽车车主燃油汽车车主合计附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．P(K2≥k)0.100.0250.0100.0050.001k2.7065.0246.6357.87910.828[解](1)由(0.05＋a＋0.35＋0.25＋a＋0.05)×1＝1，解得a＝0.15．设eq\o(x,\s\up7(－))为汽车5年内所行驶里程的平均值，则eq\o(x,\s\up7(－))＝3.5×0.05＋4.5×0.15＋5.5×0.35＋6.5×0.25＋7.5×0.15＋8.5×0.05＝5.95(万千米)．(2)由(1)可知，一辆汽车1年内所行驶里程的平均值为eq\f(5.95,5)＝1.19(万千米)．因为一辆汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近200棵树用1年时间来吸收，所以每一辆汽车平均需要1.19×200＝238(棵)树才能够达到“碳中和”．(3)补全的2×2列联表如下：考虑大气污染没考虑大气污染合计新能源汽车车主104050燃油汽车车主25225250合计35265300所以K2＝eq\f(300×10×225－25×402,35×265×250×50)≈4.04．因为4.04<6.635，所以没有99%的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关．(2021·湖北孝感高中高三月考)红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①y＝ebx＋a，②y＝cx2＋d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．图1产卵数散点图图2两种模型的残差图根据收集到的数据，计算得到如下值：eq\o(x,\s\up7(－))eq\o(z,\s\up7(－))eq\o(t,\s\up7(－))eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up7(－)))2eq\i\su(i＝1,8,)(ti－eq\o(t,\s\up7(－)))2eq\i\su(i＝1,8,)(zi－eq\o(z,\s\up7(－)))(xi－eq\o(x,\s\up7(－)))eq\i\su(i＝1,8,)(yi－eq\o(y,\s\up7(－)))(ti－eq\o(t,\s\up7(－)))252.8964616842268848.4870308表中zi＝lnyi；eq\o(z,\s\up7(－))＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,z)i；ti＝xeq\o\al(2,i)；eq\o(t,\s\up7(－))＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,t)i．(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；(2)根据(1)中所选择的模型，求出y关于x的回归方程(计算过程中四舍五入保留两位小数)，并求温度为34℃时，产卵数y的预报值．参考数据：e5.41≈224，e5.50≈245，e5.59≈268．附：对于一组数据(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回归直线eq\o(v,\s\up7(^))＝eq\o(α,\s\up7(^))＋eq\o(β,\s\up7(^))ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(β,\s\up7(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,ω)ivi－n\o(ω,\s\up7(－))\o(v,\s\up7(－)),\i\su(i＝1,n,ω)\o\al(2,i)－n\o(ω,\s\up7(－))2)，eq\o(α,\s\up7(^))＝eq\o(v,\s\up7(－))－eq\o(