基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点总结向量不等式：||a||b|||ab||a||b|≤≤[注意]：a、b同向或有0|ab||a||b|≥||a||b|||ab|；a、b反向或有a、b不共线代数不等式：a,b同号或有0a,b异号或有0

0|ab||a||b|≥||a||b|||ab|；||a||b|||ab||a||b|.(这些和实数集中近似)|ab||a||b|≥|a||b||ab|；|ab||a||b|≥|a||b||ab|.绝对值不等式：a1a2a3≤a1a2a3ababab(ab0时,取等)双向不等式：ab≤ab≤ab（左边当ab≤0(≥0)时获取等号，右边当ab≥0(≤0)时获取等号.）放缩不等式：①ab0，am0，则bmbbm.[说明]：bbm（aamaamb0,m0，糖水的浓度问题）.aam0，则bbmana.[拓展]：ab0，m0，n1aambnb②a,b,cR，bd，bbdd；ac则aacc③nN，n1n1nn1；2n④nN,n111111，n1n2n1.nn⑤lnx≤1x(x0),ex≥x1(xR).函数f(x)axb(a、b0)图象与性质x(1)函数f(x)ba、b0图象如图：yaxxb2abxbao(2)函数f(x)a、b0bax性质：2abax①值域：(,2ab][2ab,)；②单调递加区间：bbb，b(,]，[,)；单调递减区间：(0,,0).a][aaa1/5基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：a,bRa2b2≥2ab(当且仅当ab时取到“”)．[变形]：①ab≤(ab)2≤a2b2（当a=b时，(ab)2a2b2ab）2222[注意]：ab≤ab(a,bR)，ab≤(ab)2(a,bR)222、均值不等式：两个正数a、b的调停平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调停平均”2ab≤ab≤ab≤2221ab（当且仅当ab时取“”）1ab22ab*.若x0，则x12(当且仅当x1时取“”）;x=1若x0，则x2(当且仅当x1时取“=”）x若x0，则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”）xxx*.若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“”）ba=若ab0，则abab2或ab-2(当且仅当ab时取“”）bababa=3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：a3b3c3≥3abc（abc0等式即可成立，abc或abc0时取等）；3abc≤abcabc≤(abc)3≤a3b3c3333*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有宽泛应用，如：当ab0时，a2b22ab同时除以ab得ba2或b11a。a,b,均为正数，a2abab*2abb八种变式：①aba22b2；②ab(ab)2；③(ab)2a2b2222④ab2(a2b2)；⑤若b>0,则a22ab；⑥a>0,b>0,则114；babab⑦若a>0,b>0,则(11)24；⑧若ab0，则111(11)2。ababab”。a2b22ab上述八个不等式中等号成立的条件都是“2/5最值定理（积定和最小）①x,y0,由xy≥2xy，若积xyP(定值)，则当xy时和xy有最小值2p；（和定积最大）②x,y0,由xy≥2xy，若和xyS(定值)，则当xy是积xy有最大值1s2.y)2y)24[实行]：已知x,yR，则有(x(x2xy.（1）若积xy是定值，则当|xy|最大时，|xy|最大；当|xy|最小时，|xy|最小.（2）若和|xy|是定值，则当|xy|最大时，|xy|最小；当|xy|最小时，|xy|最大.③已知a,x,b,yR，若axby1，则有则的最小值为：1111byax≥ab2ab(a2x(axby)(x)abyb)yyx④已知，若则和的最小值为：①.②应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当0x4时，求函的数yx(82x)最大值.⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知x5，求函数f(x)4x21的最大值.45x24x⑶调整分子：例3.求函数f(x)7x10(x1)的值域；x1⑷变用公式：基本不等式abab有几个常用变形,a22b2ab，22a2b2(ab)2不易想到，应重视；222x(15)的最大值；例4.求函数y2x15x2216⑸连用公式：例5.已知ab0，求ya2的最小值；b(ab)⑹对数变换：例6.已知x1,y1，且xye，求t(2x)lny的最大值；2⑺三角变换：例7.已知0y≤x，且tanx3tany，求txy的最大值；211⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知a0,b0，且a2b1，求ta的最小b值.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：3/5⑴平方和为定值若x2y2a（a为定值，a0），可设xacos,yasin,，其中0≤2.①f(,)xyasinacos2sin()在[0,1],[5,2)上是xya44415]上是减函数；增函数，在[,44②g(x,y)xy1在[0,1357)上是增函数，在asin2],[,],[,2[1,3],[5,724444]上是减函数；444411xy③m(x,y)yxyx其中t[2,1)(1,1)(1,2t2而m(x,y)1)a(t2a(t

sincos.令tsincos2asin()，asincos42].由t212sincos，得2sincost21，从在[2,1)(1,1)(1,2]上是减函数.1)t⑵和为定值若xyb（b为定值，b0），则ybx.①g(x,y)xyx2bx在(,b]上是增函数，在[b,)上是减函数；22②m(x,y)11xyb.当b0时，在(,0),(0,b]上是减函数，在xyxyx2bx2[b,b),(b,)上是增函数；当b0时，在(,b),(b,b]上是减函数，在[b,0),(0,)上222是增函数.③n(x,y)x2y22x22bxb2在(,b]上是减函数，在[b,)上是增函数；224/5⑶积为定值若xyc（c为定值，c0），则yc.cx①)fxyxyx.当c0时，在[c,0),(0,c]上是减函数，在(,xc(,c],[c,)上是增函数；当0时，在(,0),(0,)上是增函数；②m(x,y)11xy1(xc).当c0时，在[c,0),(0,c]上是减函数，xyxycx在(,c],[c,)上是增函数；当c0时，在(,0),(0,)上是减函数；③n(x,y)x2y2x2c2(xc)22c在(,c),(0,c]上是减函数，在x2x(c,0],[c,)上是增函数.⑷倒数和为定值若112（d为定值，1,1,1），则yc.成等差数列且均不为零，可设公xydxdyx差为z，其中z1，则11z,11z,得xd,yd..dxdyd1dz1dz①f(x)xy12d.当d0时，在(,1),(1,0]上是减函数，在d2z2dd[0,1),(1,)上是增函数；当d0时，在(,1),(1,0]上是增函数，在dddd[0,1),(1)上减函数；d,d②g(x,y)xyd22..当d0时，在(,1112z),(,0]上是减函数，在ddd[0,1),