2022年江苏省南京市鼓楼区鼓楼实验中学九年级数学第一学期期末达标检测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosB的值是（

）A． B． C． D．2．由于受猪瘟的影响，今年9月份猪肉的价格两次大幅上涨，瘦肉价格由原来每千克23元，连续两次上涨后，售价上升到每千克40元，则下列方程中正确的是（）A． B．C． D．3．一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）之间的关系为s＝8t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为（）A．16m B．32m C．32m D．64m4．如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC//EF//DB，若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为()A． B． C． D．5．图中信息是小明和小华射箭的成绩，两人都射了10箭，则射箭成绩的方差较大的是（）A．小明 B．小华 C．两人一样 D．无法确定6．观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．已知x1，x2是一元二次方程的两根，则x1＋x2的值是（）A．0 B．2 C．－2 D．48．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，C(m，﹣3)是图象上的一点，且AC⊥BC，则a的值为（）A．2 B． C．3 D．9．用一个半径为15、圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是()A．5 B．10 C． D．10．下列算式正确的是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．①弦AB的长度为_____；②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为_____．12．请写出一个位于第一、三象限的反比例函数表达式，y=．13．在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．己知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为__________．14．在一个不透明的布袋中，有红球、白球共30个，除颜色外其它完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在40%，则随机从口袋中摸出一个是红球的概率是_____．15．若关于的一元二次方程(m-1)x2-4x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为_____________．16．下列投影或利用投影现象中，________是平行投影，________是中心投影．(填序号)17．已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上，一条平行于x轴的直线截此抛物线于M、N两点，那么线段MN的长度随直线向上平移而变_____．（填“大”或“小”）18．如图，在中，，，以为直角边、为直角顶点作等腰直角三角形，则______.三、解答题(共66分)19．（10分）如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．20．（6分）如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，，，．求证：四边形ABCD是菱形．21．（6分）边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点是边的中点，连接，点在第一象限，且，.以直线为对称轴的抛物线过，两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点从点出发，沿射线每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为秒.过点作于点，当为何值时，以点，，为顶点的三角形与相似？（3）点为直线上一动点，点为抛物线上一动点，是否存在点，，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.22．（8分）某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克．已知甲种水果进价每千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元．（1）第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？（2）由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价不变．若要本次购进的水果销售完毕后获得利润2090元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了2m%，售价比第一次提高了m%；乙种水果的进货量为100千克，售价不变．求m的值．23．（8分）解不等式组，将解集在数轴上表示出来，并求出此不等式组的所有整数解.24．（8分）如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点作的垂线交的延长线于点，过点作的切线，交于点．（1）求证：；（2）填空：①当的度数为时，四边形为正方形；②若，，则四边形的最大面积是．25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．求证：△ABC∽△POA．26．（10分）某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．请根据图中信息，解决下列问题：（1）两个班共有女生多少人？（2）将频数分布直方图补充完整；（3）求扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角度数；（4）身高在的5人中，甲班有3人，乙班有2人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】画出图像,勾股定理求出AB的长,表示cosB即可解题.【详解】解：如下图,∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5（勾股定理）,∴cosB==,故选A.【点睛】本题考查了三角函数的求值,属于简单题,熟悉余弦函数的表示是解题关键.2、A【分析】根据增长率a%求出第一次提价后的售价，然后再求第二次提价后的售价，即可得出答案.【详解】根据题意可得：23(1+a%)2=40，故答案选择A.【点睛】本题考查的是一元二次方程在实际生活中的应用，比较简单，记住公式“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)”.3、B【分析】根据时间，算出斜坡的长度，再根据坡比和三角函数的关系，算出人的下降高度即可.【详解】设斜坡的坡角为α，当t＝4时，s＝8×4+2×42＝64，∵斜坡的坡比1：，∴tanα＝，∴α＝30°，∴此人下降的高度＝×64＝32，故选：B．【点睛】本题考查坡比和三角函数中正切的关系，属基础题.4、A【分析】根据平行线分线段成比例定理得可求出BC的长，从而可得CF的长，再根据平行线分线段成比例定理得，求解即可得.【详解】又，解得又故选：A.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据定理求出BC的长是解题关键.5、B【分析】根据图中的信息找出波动性小的即可．【详解】解：根据图中的信息可知，小明的成绩波动性小，则这两人中成绩稳定的是小明；

故射箭成绩的方差较大的是小华，

故选：B．【点睛】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．6、C【解析】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，∵第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；第二个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；∴既是轴对称图形又是中心对称图形共有3个．故选C．7、B【解析】∵x1，x1是一元二次方程的两根，∴x1+x1=1．故选B．8、D【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理AD2+DC2+CD2+BD2=AB2，即m2﹣m(x1+x2)+18+x1x2=0；然后根据根与系数的关系即可求得a的值．【详解】过点C作CD⊥AB于点D．∵AC⊥BC，∴AD2+DC2+CD2+BD2=AB2，设ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2(x1≤x2)，∴A(x1，0)，B(x2，0)．依题意有(x1﹣m)2+9+(x2﹣m)2+9=(x1﹣x2)2，化简得：m2﹣m(x1+x2)+9+x1x2=0，∴m2m+90，∴am2+bn+c=﹣9a．∵(m，﹣3)是图象上的一点，∴am2+bm+c=﹣3，∴﹣9a=﹣3，∴a．故选：D．【点睛】本题是二次函数的综合试题，考查了二次函数的性质和图象，解答本题的关键是注意数形结合思想．9、A【分析】根据弧长公式计算出弧长，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是10π，设圆锥的底面半径是r，列出方程求解．【详解】半径为15cm，圆心角为120°的扇形的弧长是=10π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是10π.

设圆锥的底面半径是r，

则得到2πr=10π，

解得：r=5，

这个圆锥的底面半径为5.故选择A.【点睛】本题考查弧长的计算，解题的关键是掌握弧长的计算公式.10、B【解析】根据有理数的减法、绝对值的意义、相反数的意义解答即可.【详解】A.，故不正确；B.，正确；C.，故不正确；D.，故不正确；故选B.【点睛】本题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的减法法则、绝对值的意义、相反数的意义是解答本题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、2．-1【分析】①在Rt△AOE中，解直角三角形求出AE即可解决问题．②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，求出OH，FH，根据OF≥FH-OH，即，由此即可解决问题．【详解】解：①如图，连接OA．∵OA＝OC＝2，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，∴AE＝OA•sin60°＝，∵OE⊥AB，∴AE＝EB＝，∴AB＝2AE＝2，故答案为2．②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，∵OA＝OC，AH＝HC，∴OH⊥AC，∴∠AHO＝90°，∵∠COH＝30°，∴OH＝OC＝1，HC＝，AC＝2，∵CF⊥AP，∴∠AFC＝90°，∴HF＝AC＝，∴OF≥FH﹣OH，即OF≤﹣1，∴OF的最小值为﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查轨迹，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．12、（答案不唯一）.【详解】设反比例函数解析式为，∵图象位于第一、三象限，∴k＞0，∴可写解析式为（答案不唯一）.考点：1.开放型；2.反比例函数的性质．13、1【分析】袋中黑球的个数为，利用概率公式得到，然后利用比例性质求出即可．【详解】解：设袋中黑球的个数为，根据题意得，解得，即袋中黑球的个数为个．故答案为：1．【点睛】本题主要考查概率的计算问题，关键在于根据题意对概率公式的应用．14、1．【分析】根据题意得出摸出红球的频率，继而根据频数＝总数×频率计算即可．【详解】∵小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红球的频率稳定在40%，∴口袋中红色球的个数可能是30×40%＝1个．故答案为：1．【点睛】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15、且【解析】试题解析:∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴m−1≠0且△=16−4(m−1)>0，解得m<5且m≠1，∴m的取值范围为m<5且m≠1.故答案为:m<5且m≠1.点睛:一元二次方程方程有两个不相等的实数根时:16、④⑥①②③⑤【分析】根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可判断出中心投影；再利用平行光下的投影属于平行投影可判断出平行投影．【详解】解：①②③⑤都是灯光下的投影，属于中心投影；④因为太阳光属于平行光线，所以日晷属于平行投影；⑥中是平行光线下的投影，属于平行投影，故答案为：④⑥；①②③⑤．【点睛】此题主要考查了中心投影和平行投影的性质，解题的关键是根据平行投影和中心投影的区别进行解答即可．17、大【解析】因为二次函数的开口向上,所以点M,N向上平移时,距离对称轴的距离越大,即MN的长度随直线向上平移而变大,故答案为:大.18、1【分析】由于AD=AB，∠CAD=90°，则可将△ABD绕点A逆时针旋转90°得△ABE，如图，根据旋转的性质得∠CAE=90°，AC=AE，BE=CD，于是可判断△ACE为等腰直角三角形，则∠ACE=45°，CE=AC=5，易得∠BCE=90°，然后在Rt△CAE中利用勾股定理计算出BE=1，从而得到CD=1．【详解】解：∵△ADB为等腰直角三角形，∴AD=AB，∠BAD=90°，将△ACD绕点A顺时针旋转90°得△AEB，如图，∴∠CAE=90°，AC=AE，CD=BE，∴△ACE为等腰直角三角形，∴∠ACE=45°，，∵∠ACB=45°，∴∠BCE=45°+45°=90°，在Rt△BCE中，，∴CD=1．故答案为1．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识.旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键的利用旋转得到直角三角形CBE．三、解答题(共66分)19、（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理可证AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；

（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OD=BD=3，再由三角函数即可得出AD的长．【详解】（1）证明：∵AE∥BF，

∴∠ADB=∠CBD，

又∵BD平分∠ABF，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

同理可证AB=BC，

∴AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵AB=AD，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=6，

∴AC⊥BD，OD=BD=3，

∵∠ADB=30°，

∴cos∠ADB=，

∴AD=．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定、解直角三角形．熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键．20、见解析【分析】根据平行四边形的性质得到AO和BO，再根据AB，利用勾股定理的逆定理得到∠AOB=90°，从而判定菱形．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=16，BD=12，∴AO=8，BO=6，∵AB=10，∴AO2+BO2=AB2，∴∠AOB=90°，即AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，解题的关键是证明∠AOB=90°．21、（1）；（2）或时，以点，，为顶点的三角形与相似；（3）存在，四边形是平行四边形时，，；四边形是平行四边形时，，；四边形是平行四边形时，，【分析】（1）根据正方形的性质，可得OA＝OC，∠AOC＝∠DGE，根据余角的性质，可得∠OCD＝∠GDE，根据全等三角形的判定与性质，可得EG＝OD＝1，DG＝OC＝2，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分类讨论：若△DFP∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠PDF＝∠DCO，根据平行线的判定与性质，可得∠PDO＝∠OCP＝∠AOC＝90，根据矩形的判定与性质，可得PC的长；若△PFD∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠DPF＝∠DCO，，根据等腰三角形的判定与性质，可得DF于CD的关系，根据相似三角形的相似比，可得PC的长；（3）分类讨论：当四边形是平行四边形时，四边形是平行四边形时，四边形是平行四边形时，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边，可得答案．【详解】解：（1）过点作轴于点.∵四边形是边长为2的正方形，是的中点，∴，，.∵，∴.∵，∴.在和中，∴，，.∴点的坐标为.∵抛物线的对称轴为直线即直线，∴可设抛物线的解析式为，将、点的坐标代入解析式，得，解得.∴抛物线的解析式为；（2）①若，则，，∴，∴四边形是矩形，∴，∴；②若，则，∴.∴.∴，∴.∵，∴，∴.∵，∴，，综上所述：或时，以点，，为顶点的三角形与相似：（3）存在，①若以DE为平行四边形的对角线，如图2，此时，N点就是抛物线的顶点（2，），由N、E两点坐标可求得直线NE的解析式为：y＝x；∵DM∥EN，∴设DM的解析式为：y＝x＋b，将D（1，0）代入可求得b＝−，∴DM的解析式为：y＝x−，令x＝2，则y＝，∴M（2，）；②过点C作CM∥DE交抛物线对称轴于点M，连接ME，如图3，∵CM∥DE，DE⊥CD，∴CM⊥CD，∵OC⊥CB，∴∠OCD＝∠BCM，在△OCD和△BCM中，∴△OCD≌△BCM（ASA），∴CM＝CD＝DE，BM＝OD＝1，∴CDEM是平行四边形，即N点与C占重合，∴N（0，2），M（2，3）；③N点在抛物线对称轴右侧，MN∥DE，如图4，作NG⊥BA于点G，延长DM交BN于点H，∵MNED是平行四边形，∴∠MDE＝MNE，∠ENH＝∠DHB，∵BN∥DF，∴∠ADH＝∠DHB＝∠ENH，∴∠MNB＝∠EDF，在△BMN和△FED中∴△BMN≌△FED（AAS），∴BM＝EF＝1，BN＝DF＝2，∴M（2，1），N（4，2）；综上所述，四边形是平行四边形时，，；四边形是平行四边形时，，；四边形是平行四边形时，，.【点睛】本题考查了二次函数综合题，（1）利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式；（2）利用了相似三角形的性质，矩形的判定，分类讨论时解题关键；（3）利用了平行四边形的判定，分类讨论时解题关键．22、（1）第一次购进甲种水果200千克，购进乙种水果10千克；（2）m的值为1．【分析】（1）设第一次购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据该超市花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总利润＝每千克的利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】（1）设第一次购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，依题意，得：，解得：．答：第一次购进甲种水果200千克，购进乙种水果10千克．（2）依题意，得：[10（1+m%）﹣5]×200（1+2m%）+（12﹣8）×100＝2090，整理，得：0.4m2+40m﹣690＝0，解得：m1＝1，m2＝﹣11（不合题意，舍去）．答：m的值为1．【点睛】考核知识点：一元二次方程应用.理解：总利润＝每千克的利润×销售数量.只有验根.23、见解析【分析】分别求出每一个不等式的解集，将不等式解集表示在数轴上，由两不等式解集的公共部分可得不等式组的解集，即可求得解集内所有整数解．【详解】解：解不等式，得解不等式，得则不等式组的解集为在数轴上表示如下：此不等式组的整数解为，0，1.【点睛】本题考查解一元一次不等式组：先分别解两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．也考查了数轴表示不等式的解集．24、（1）证明见解析；（2）①；②1．【分析】(1)根据已知条件得到CE是的切线．根据切线的性质得到DF=CF,由圆周角定理得到∠ADC=10°，于是得到结论;(2)①连接OD,根据圆周角定理和正方形的判定定理即可得到结论;②根据圆周角定理得到∠ADC=∠ABC=10°，根据勾股定理得到根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明：∵是的直径，，∴是的切线．又∵是的切线，且交于点，∴，∴，∵是的直径，∴，∴，，∴，∴，∴．(2)解:①