正弦定理和余弦定理课件

第六节

正弦定理和余弦定理(全国卷5年14考)第六节正弦定理和余弦定理课件【知识梳理】1.正弦定理与余弦定理b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC【知识梳理】b2+c2-2bccosAa2+c2-2acc2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sin2.△ABC的面积公式(1)S△ABC=(h表示a边上的高).(2)S△ABC=(3)S△ABC=r(a+b+c)(r为内切圆半径).2.△ABC的面积公式【常用结论】三角形中的必备结论(1)a>b⇔A>B(大边对大角).(2)A+B+C=π(三角形内角和定理).【常用结论】(3)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,

(4)射影定理:bcosC+ccosB=a,bcosA+acosB=c,acosC+ccosA=b.(3)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-co【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c. (

)【基础自测】(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形. (

)(3)在△ABC中,sinA>sinB的充分不必要条件是A>B.(

)(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形提示:根据正弦定理和余弦定理知(3)是错误的,(1)(2)是正确的.答案:(1)√

(2)√

(3)×提示:根据正弦定理和余弦定理知(3)是错误的,(1)(2)是2.在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,2asinB=b,则角A等于 (

)

2.在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,2as【解析】选C.由2asinB=b可得:2sinAsinB=sinB,故【解析】选C.由2asinB=b可得:2sinAsin3.已知锐角△ABC的面积为BC=4,CA=3,则角C的大小为 (

)A.75° B.60° C.45° D.30°3.已知锐角△ABC的面积为BC=4,CA=3,则角【解析】选B.由三角形的面积公式,得BC·CA·sinC=又因为三角形为锐角三角形,所以C=60°.【解析】选B.由三角形的面积公式,得BC·CA·4.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是________.

4.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin【解析】由已知不等式结合正弦定理得a2≤b2+c2-bc,所以b2+c2-a2≥bc,所以

因为y=cosx在上为减函数.故A的取值范围是答案:

【解析】由已知不等式结合正弦定理得a2≤b2+c2-bc,题组二:走进教材1.(必修5P10B组T2改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c<bcosA,则△ABC为 (

)A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形题组二:走进教材【解析】选A.依题意得sinC<sinBcosA,所以sin(A+B)<sinBcosA,即sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA<0,所以cosBsinA<0.又sinA>0,于是有cosB<0,B为钝角,△ABC是钝角三角形.【解析】选A.依题意得sinC<sinBcosA,所以2.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,BC=1,AC=5,则AB= (

) (源于教材必修5P8练习T1)

2.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,【解析】选A.在△ABC中,由余弦定理得AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cosC,所以【解析】选A.3.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=________.

(源于教材必修5P4例2)3.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别【解析】由题意:

结合b<c可得B=45°,则A=180°-B-C=75°.答案:75°【解析】由题意:4.(必修5P3例1改编)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=

则△ABC的面积等于________.

4.(必修5P3例1改编)在△ABC中,A=60°,AC【解析】设△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c.由题意及余弦定理得解得c=2.所以

答案:

【解析】设△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c.考点一利用正、余弦定理解三角形【题组练透】1.在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,则满足条件的三角形有 (

)A.一个B.两个C.0个D.无法确定考点一利用正、余弦定理解三角形【解析】选B.由正弦定理得因为b>a,所以B=60°或120°,故满足条件的三角形有两个.【解析】选B.由正弦定理得2.已知锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则的取值范围是 (

)

2.已知锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,【解析】选D.因为B=2A,所以sinB=sin2A=2sinAcosA,由正弦定理得b=2acosA,

【解析】选D.因为B=2A,因为△ABC是锐角三角形,所以所以即的取值范围是因为△ABC是锐角三角形,3.在△ABC中,AB=2,D为AB的中点,△BCD的面积为则AC等于 (

)

3.在△ABC中,AB=2,D为AB的中点,△B【解析】选B.由题意可知在△BCD中,BD=1,所以△BCD的面积解得BC=3,在△ABC中,由余弦定理可得:AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=22+32-2×2×3×=7,所以AC=【解析】选B.由题意可知在△BCD中,BD=1,正弦定理和余弦定理课件4.如图所示,在平面四边形ABCD中,AB⊥AD,AC⊥CD,AD=3AC,则AC=________.

4.如图所示,在平面四边形ABCD中,【解析】设AC=x,AD=3x,在Rt△ACD中,得所以在△ABC中,由余弦定理得

【解析】设AC=x,AD=3x,由于∠BAC+∠CAD=所以cos∠BAC=sin∠CAD,即解得x=3答案:3由于∠BAC+∠CAD=所以cos∠BAC=sin∠C【规律方法】

1.利用正弦定理可以解决的两类问题(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角.(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他的边和角.由于三角形的形状不能唯一确定,会出现两解、一解和无解三种情况.【规律方法】在△ABC中,已知a,b和A,解的个数见下表在△ABC中,已知a,b和A,解的个数见下表2.利用余弦定理可以解决的两类问题(1)已知两边及夹角,先求第三边,再求其余两个角.(2)已知三边,求三个内角.2.利用余弦定理可以解决的两类问题考点二判断三角形的形状【典例】(1)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为 (

)A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定考点二判断三角形的形状(2)在△ABC中,若2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,且sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.世纪金榜导学号(2)在△ABC中,若2asinA=(2b+c)sinB【解析】

(1)选B.因为bcosC+ccosB=asinA,由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,所以sin(B+C)=sinAsinA,可得sinA=1,所以所以三角形为直角三角形.【解析】(1)选B.因为bcosC+ccosB=asi【答题模板微课】本例（1）的求解过程可模板化为：建模板：选B.“由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,”………………由正弦定理边化角【答题模板微课】本例（1）的求解过程可模板化为：“所以sin(B+C)=sinAsinA,”………………三角恒等变形“可得sinA=1,所以,”………………得出内角的值或关系“所以三角形为直角三角形.”………………判断三角形形状“所以sin(B+C)=sinAsinA,”套模板：在△ABC中，若c-acosB=(2a-b)cosA,则△ABC的形状为________.套模板：【解析】因为c-acosB=(2a-b)cosA,所以由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,………………由正弦定理边化角【解析】因为c-acosB=(2a-b)cosA,所以由所以sin(A+B)-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,故cosA(sinB-sinA)=0,………………三角恒等变形所以sin(A+B)-sinAcosB=2sinAco所以cosA=0或sinA=sinB.即或A=B.………………得出内角的值或关系故△ABC为等腰或直角三角形.………………判断三角形的形状答案：等腰或直角三角形所以cosA=0或sinA=sinB.(2)由已知,结合正弦定理,得2a2=(2b+c)·b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,又由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,所以bc=-2bccosA,即

由于A为三角形的内角,所以(2)由已知,结合正弦定理,对于已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,结合正弦定理,有2sin2A=(2sinB+sinC)sinB+(2sinC+sinB)sinC,即sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC=又由sinB+sinC=1,得sin2B+sin2C+2sinBsinC=1,对于已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)所以sinBsinC=从而有sinB=sinC=因为0<B<π,0<C<π,0<B+C<π,所以B=C=所以△ABC是等腰的钝角三角形.所以sinBsinC=从而有sinB=sin【互动探究】

1.若本例(1)条件改为“asinA+bsinB<csinC”,那么△ABC的形状为__________.

【互动探究】1.若本例(1)条件改为“asinA+【解析】根据正弦定理可得a2+b2<c2,由余弦定理得故C是钝角,所以△ABC是钝角三角形.答案:钝角三角形【解析】根据正弦定理可得a2+b2<c2,2.若本例(1)条件改为“若2sinAcosB=sinC”,那么△ABC的形状为____________.

2.若本例(1)条件改为“若2sinAcosB=sin【解析】方法一:由已知得2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,即sin(A-B)=0,因为-π<A-B<π,所以A=B.所以△ABC为等腰三角形.【解析】方法一:由已知得2sinAcosB=sinC方法二:由正弦定理得2acosB=c,再由余弦定理得

所以△ABC为等腰三角形.答案:等腰三角形方法二:由正弦定理得2acosB=c,【规律方法】判断三角形形状的两种思路(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论.【规律方法】判断三角形形状的两种思路【对点训练】

1.在△ABC中,若sin2A=sinB=sinC,且(b+c-a)(b+c+a)=3bc,则该三角形的形状是 (

)A.直角三角形 B.钝角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形【对点训练】【解析】选D.在△ABC中,由sinB=sinC,结合正弦定理可得b=c.代入(b+c-a)(b+c+a)=3bc得(2b-a)(2b+a)=3b2,整理得b2=a2,即b=a.此时有a=b=c,即△ABC为等边三角形.【解析】选D.在△ABC中,由sinB=sinC,结合正2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=bcosC,则△ABC的形状一定是 (

)A.等腰三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.锐角三角形2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=【解析】选B.由条件a=bcosC及余弦定理可得到=

⇒a2+c2=b2.所以△ABC为直角三角形.【解析】选B.由条件a=bcosC及余弦定理可得到=考点三正、余弦定理的综合问题【明考点·知考法】

正弦定理和余弦定理,是解三角形要用到的非常重要的两个定理,很多题型中两个定理都用,并且会与三角恒等变换综合.试题常以选择题、填空题形式出现,有时也以解答题的形式出现.考点三正、余弦定理的综合问题命题角度1三角形的面积问题【典例】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a+b-c)(a+b+c)=3ab,且c=4,则△ABC面积的最大值为________. 世纪金榜导学号

命题角度1三角形的面积问题【解析】由已知有a2+b2-c2=ab,所以又16=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,则ab≤16,当且仅当a=b=4时等号成立.故△ABC面积的最大值为答案:

【解析】由已知有a2+b2-c2=ab,【状元笔记】求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积.【状元笔记】(2)若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积,总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.(2)若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦命题角度2与三角恒等变换有关的综合问题【典例】(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=则C= 世纪金榜导学号(

)

命题角度2与三角恒等变换有关的综合问题【解析】选B.由题意得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,即

【解析】选B.由题意得sin(A+C)+sinA(sin所以

由正弦定理

所以由正弦定理【状元笔记】在三角形中求边、角的方法(1)若求角,寻求得到这个角的一个函数的方程,结合角的范围求解.【状元笔记】(2)若求边,寻求与该边(或两边)有关联的角,利用三角形面积公式列方程求解.提醒:正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中,要注意三角函数公式的工具性作用.(2)若求边,寻求与该边(或两边)有关联的角,利用三角形面积【对点练·找规律】

1.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为则C= (

)

【对点练·找规律】【解析】选C.由题意由余弦定理可知sinC=cosC,即tanC=1,又C∈(0,π),所以【解析】选C.由题意2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A是B和C的等差中项,则△ABC周长的取值范围是 (

)

2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A【解析】选B.因为A是B和C的等差中项,所以2A=B+C,所以又则cos(π-B)>0,从而所以因为【解析】选B.因为A是B和C的等差中项,所以b=sinB,c=sinC=所以△ABC的周长为l=a+b+c=

所以b=sinB,c=sinC=数学能力系列12——解三角形中的数学运算能力【能力诠释】数学运算是在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括:理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等.数学能力系列12——解三角形中的数学运算能力【典例】(2018·大连模拟)在△ABC中,D是BC边上的一点.(1)若求CD的长.(2)若∠B=120°,求△ABC周长的取值范围.【典例】(2018·大连模拟)在△ABC中,正弦定理和余弦定理课件【解析】(1)在△ADC中,AD=1,所以所以cos∠DAC=由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠DAC=12+1-

所以

【解析】(1)在△ADC中,AD=1,(2)在△ABC中由正弦定理得

所以AB+BC=4(sinA+sinC)=

因为0<A<(2)在△ABC中由正弦定理得所以所以AB+BC∈所以△ABC的周长的取值范围为所以【技法点拨】三角形中最值范围问题的解题思路(1)要建立所求量(式子)与已知角或边的关系.(2)把角或边作为自变量,所求量(式子)的值作为函数值,转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题.【技法点拨】三角形中最值范围问题的解题思路(3)利用条件中的范围限制,以及三角形自身范围限制,要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善,避免结果的范围扩大.(3)利用条件中的范围限制,以及三角形自身范围限制,要尽量把【即时训练】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-c=

(1)求cosA的值.(2)求的值.【即时训练】【解析】(1)在△ABC中,由可得又由得a=2c,所以

【解析】(1)在△ABC中,由(2)在△ABC中,由

可得

于是,

(2)在△ABC中,由所以

所以第六节

正弦定理和余弦定理(全国卷5年14考)第六节正弦定理和余弦定理课件【知识梳理】1.正弦定理与余弦定理b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC【知识梳理】b2+c2-2bccosAa2+c2-2acc2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sin2.△ABC的面积公式(1)S△ABC=(h表示a边上的高).(2)S△ABC=(3)S△ABC=r(a+b+c)(r为内切圆半径).2.△ABC的面积公式【常用结论】三角形中的必备结论(1)a>b⇔A>B(大边对大角).(2)A+B+C=π(三角形内角和定理).【常用结论】(3)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,

(4)射影定理:bcosC+ccosB=a,bcosA+acosB=c,acosC+ccosA=b.(3)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-co【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c. (

)【基础自测】(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形. (

)(3)在△ABC中,sinA>sinB的充分不必要条件是A>B.(

)(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形提示:根据正弦定理和余弦定理知(3)是错误的,(1)(2)是正确的.答案:(1)√

(2)√

(3)×提示:根据正弦定理和余弦定理知(3)是错误的,(1)(2)是2.在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,2asinB=b,则角A等于 (

)

2.在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,2as【解析】选C.由2asinB=b可得:2sinAsinB=sinB,故【解析】选C.由2asinB=b可得:2sinAsin3.已知锐角△ABC的面积为BC=4,CA=3,则角C的大小为 (

)A.75° B.60° C.45° D.30°3.已知锐角△ABC的面积为BC=4,CA=3,则角【解析】选B.由三角形的面积公式,得BC·CA·sinC=又因为三角形为锐角三角形,所以C=60°.【解析】选B.由三角形的面积公式,得BC·CA·4.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是________.

4.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin【解析】由已知不等式结合正弦定理得a2≤b2+c2-bc,所以b2+c2-a2≥bc,所以

因为y=cosx在上为减函数.故A的取值范围是答案:

【解析】由已知不等式结合正弦定理得a2≤b2+c2-bc,题组二:走进教材1.(必修5P10B组T2改编)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c<bcosA,则△ABC为 (

)A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形题组二:走进教材【解析】选A.依题意得sinC<sinBcosA,所以sin(A+B)<sinBcosA,即sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA<0,所以cosBsinA<0.又sinA>0,于是有cosB<0,B为钝角,△ABC是钝角三角形.【解析】选A.依题意得sinC<sinBcosA,所以2.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,BC=1,AC=5,则AB= (

) (源于教材必修5P8练习T1)

2.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,【解析】选A.在△ABC中,由余弦定理得AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cosC,所以【解析】选A.3.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=________.

(源于教材必修5P4例2)3.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别【解析】由题意:

结合b<c可得B=45°,则A=180°-B-C=75°.答案:75°【解析】由题意:4.(必修5P3例1改编)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=

则△ABC的面积等于________.

4.(必修5P3例1改编)在△ABC中,A=60°,AC【解析】设△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c.由题意及余弦定理得解得c=2.所以

答案:

【解析】设△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c.考点一利用正、余弦定理解三角形【题组练透】1.在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,则满足条件的三角形有 (

)A.一个B.两个C.0个D.无法确定考点一利用正、余弦定理解三角形【解析】选B.由正弦定理得因为b>a,所以B=60°或120°,故满足条件的三角形有两个.【解析】选B.由正弦定理得2.已知锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则的取值范围是 (

)

2.已知锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,【解析】选D.因为B=2A,所以sinB=sin2A=2sinAcosA,由正弦定理得b=2acosA,

【解析】选D.因为B=2A,因为△ABC是锐角三角形,所以所以即的取值范围是因为△ABC是锐角三角形,3.在△ABC中,AB=2,D为AB的中点,△BCD的面积为则AC等于 (

)

3.在△ABC中,AB=2,D为AB的中点,△B【解析】选B.由题意可知在△BCD中,BD=1,所以△BCD的面积解得BC=3,在△ABC中,由余弦定理可得:AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=22+32-2×2×3×=7,所以AC=【解析】选B.由题意可知在△BCD中,BD=1,正弦定理和余弦定理课件4.如图所示,在平面四边形ABCD中,AB⊥AD,AC⊥CD,AD=3AC,则AC=________.

4.如图所示,在平面四边形ABCD中,【解析】设AC=x,AD=3x,在Rt△ACD中,得所以在△ABC中,由余弦定理得

【解析】设AC=x,AD=3x,由于∠BAC+∠CAD=所以cos∠BAC=sin∠CAD,即解得x=3答案:3由于∠BAC+∠CAD=所以cos∠BAC=sin∠C【规律方法】

1.利用正弦定理可以解决的两类问题(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角.(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他的边和角.由于三角形的形状不能唯一确定,会出现两解、一解和无解三种情况.【规律方法】在△ABC中,已知a,b和A,解的个数见下表在△ABC中,已知a,b和A,解的个数见下表2.利用余弦定理可以解决的两类问题(1)已知两边及夹角,先求第三边,再求其余两个角.(2)已知三边,求三个内角.2.利用余弦定理可以解决的两类问题考点二判断三角形的形状【典例】(1)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为 (

)A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定考点二判断三角形的形状(2)在△ABC中,若2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,且sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.世纪金榜导学号(2)在△ABC中,若2asinA=(2b+c)sinB【解析】

(1)选B.因为bcosC+ccosB=asinA,由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,所以sin(B+C)=sinAsinA,可得sinA=1,所以所以三角形为直角三角形.【解析】(1)选B.因为bcosC+ccosB=asi【答题模板微课】本例（1）的求解过程可模板化为：建模板：选B.“由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,”………………由正弦定理边化角【答题模板微课】本例（1）的求解过程可模板化为：“所以sin(B+C)=sinAsinA,”………………三角恒等变形“可得sinA=1,所以,”………………得出内角的值或关系“所以三角形为直角三角形.”………………判断三角形形状“所以sin(B+C)=sinAsinA,”套模板：在△ABC中，若c-acosB=(2a-b)cosA,则△ABC的形状为________.套模板：【解析】因为c-acosB=(2a-b)cosA,所以由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,………………由正弦定理边化角【解析】因为c-acosB=(2a-b)cosA,所以由所以sin(A+B)-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,故cosA(sinB-sinA)=0,………………三角恒等变形所以sin(A+B)-sinAcosB=2sinAco所以cosA=0或sinA=sinB.即或A=B.………………得出内角的值或关系故△ABC为等腰或直角三角形.………………判断三角形的形状答案：等腰或直角三角形所以cosA=0或sinA=sinB.(2)由已知,结合正弦定理,得2a2=(2b+c)·b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,又由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,所以bc=-2bccosA,即

由于A为三角形的内角,所以(2)由已知,结合正弦定理,对于已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,结合正弦定理,有2sin2A=(2sinB+sinC)sinB+(2sinC+sinB)sinC,即sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC=又由sinB+sinC=1,得sin2B+sin2C+2sinBsinC=1,对于已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)所以sinBsinC=从而有sinB=sinC=因为0<B<π,0<C<π,0<B+C<π,所以B=C=所以△ABC是等腰的钝角三角形.所以sinBsinC=从而有sinB=sin【互动探究】

1.若本例(1)条件改为“asinA+bsinB<csinC”,那么△ABC的形状为__________.

【互动探究】1.若本例(1)条件改为“asinA+【解析】根据正弦定理可得a2+b2<c2,由余弦定理得故C是钝角,所以△ABC是钝角三角形.答案:钝角三角形【解析】根据正弦定理可得a2+b2<c2,2.若本例(1)条件改为“若2sinAcosB=sinC”,那么△ABC的形状为____________.

2.若本例(1)条件改为“若2sinAcosB=sin【解析】方法一:由已知得2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,即sin(A-B)=0,因为-π<A-B<π,所以A=B.所以△ABC为等腰三角形.【解析】方法一:由已知得2sinAcosB=sinC方法二:由正弦定理得2acosB=c,再由余弦定理得

所以△ABC为等腰三角形.答案:等腰三角形方法二:由正弦定理得2acosB=c,【规律方法】判断三角形形状的两种思路(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论.【规律方法】判断三角形形状的两种思路【对点训练】

1.在△ABC中,若sin2A=sinB=sinC,且(b+c-a)(b+c+a)=3bc,则该三角形的形状是 (

)A.直角三角形 B.钝角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形【对点训练】【解析】选D.在△ABC中,由sinB=sinC,结合正弦定理可得b=c.代入(b+c-a)(b+c+a)=3bc得(2b-a)(2b+a)=3b2,整理得b2=a2,即b=a.此时有a=b=c,即△ABC为等边三角形.【解析】选D.在△ABC中,由sinB=sinC,结合正2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=bcosC,则△ABC的形状一定是 (

)A.等腰三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.锐角三角形2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=【解析】选B.由条件a=bcosC及余弦定理可得到=

⇒a2+c2=b2.所以△ABC为直角三角形.【解析】选B.由条件a=bcosC及余弦定理可得到=考点三正、余弦定理的综合问题【明考点·知考法】

正弦定理和余弦定理,是解三角形要用到的非常重要的两个定理,很多题型中两个定理都用,并且会与三角恒等变换综合.试题常以选择题、填空题形式出现,有时也以解答题的形式出现.考点三正、余弦定理的综合问题命题角度1三角形的面积问题【典例】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a+b-c)(a+b+c)=3ab,且c=4,则△ABC面积的最大值为________. 世纪金榜导学号

命题角度1三角形的面积问题【解析】由已知有a2+b2-c2=ab,所以又16=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,则ab≤16,当且仅当a=b=4时等号成立.故△ABC面积的最大值为答案:

【解析】由已知有a2+b2-c2=ab,【状元笔记】求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积.【状元笔记】(2)若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积,总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.(2)若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦命题角度2与三角恒等变换有关的综合问题【典例】(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=则C= 世纪金榜导学号(

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命题角度2与三角恒等变换