轴对称和全等三角形专题

..全等三角形培优辅导知识要点：全等三角形的定义：能够的两个三角形。全等三角形的性质：全等三角形对应边,对应角,对应边上的高,对应边上的中线,周长,面积。全等变换的定义：只改变图形的,而不改变其的图形变换。判定三角形全等公理：边角边公理：。角边角公理：。推论：〔AAS边边边公理：。斜边直角边公理：的两个直角三角形全等。用全等三角形证明线段相等或角相等的思路:①观察要证的线段或角〔或者用等量代换后的线段或角在哪两个可能全等的三角形之中；②分析要证全等的这两个三角形,已知什么还缺什么条件；〔已知条件分为两种：一个是题目给出的；一个是图形中所隐含的,如公共角、公共边、对顶角等；③设法证明出所缺条件；④当待证得线段或角不分布在两个三角形中〔也找不到等量代换时,常需要添加辅助线构造出三角形,使它们分别包括一个所要证的线段或角。证题时常用的方法：〔1证角相等的方法：①对顶角相等；②同角〔或等角的余角〔或补角相等；③平行线同位角相等,内错角相等；④角平分线定义；⑤等式性质；⑥全等三角形对应角相等。〔2证线段相等常用方法：①中点定义；②全等三角形对应边相等；③等式性质；④中垂线定义；⑤角平分线上的点到角的两边距离相等；⑥等腰〔等边三角形的性质〔4证题常用分析方法：①综合法：从已知出发用学过的定义、公理、定理得出结论；②分析法：从结论出发反过来寻找能使结论成立所需要的条件,这样一步一步地逆求,一直到是结论成立的条件与已知条件吻合；③两头"凑"的方法：综合上两种方法来证明结论。角平分线的定义：把一个角分成两个相等的角的射线。角平分线的性质定理：。逆定理也同时成立。逆定理也常作为角平分线的判定定理。全等三角形一些常见题型：探索条件型此类型题给出了结论,要求探索使该结论成立所具备的条件。一般地,依据三角形全等地判定方法,补充所缺少的条件。例：如图,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列哪些条件不能判定△ABM≌△CDNA.∠M=∠NB.AB=CDC.AM=CND.∠AMB=∠NCD二、探索结论型此类型题给出了限定条件,但结论并不唯一,要求根据所给条件探索可能得到的结论。例.〔20XXXX自治区如图2,AB=AD,BC=CD,AC和BDABCDE相交于ABCDE正确结论。〔不要添加字母和辅助线,不要求证明结论1：结论2：结论3：三、探索方案型此类型题首先提供一个实际问题背景,按照问题的要求研究解决问题的合理方案。例：〔20XXXX市如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是拿<>去配.③四、探索编拟问题型例.如图,在△AFD和△BEC中,点A、E、F、C在同一直线上,有下列四个论断：AD=CB,②AE=CF,③∠B＝∠D,④∠A＝∠C.请用其中三个作为条件余下一个作为结论,编一道数学题,并写出解答过程。三角形全等的经典类型类型一平移法构造全等三角形例已知：如图,在ΔABC中,BE是角平分线,AD⊥BE,垂足为D。求证：∠BAD=∠DAE+∠C类型二翻折法构造全等三角形例已知：如图,OP是∠AOC和∠BOD的平分线,OA=OC,OB=OD求证：AB=CD类型三补短法构造全等三角形例已知：如图,在ΔABC中,∠C=2∠B,∠BAD=∠CAD,证明：ＡＢ＝ＡＣ＋ＣＤ类型四截长法构造全等三角形例如图,已知在ΔABC中,ＡＤ为ＢＣ边上的高2∠C=∠B求证：ＣＤ＝ＡＢ＋ＢＤ类型五证明三点共线例如图,BD、CE是ΔABC的中线,延长BD到F点,使DF=BD,延长CE到G点,使EG=CE求证：点G、A、F在一条直线上类型六角平分线与全等的综合应用例如图,OD平分∠AOB,在OA、OB边上取OA=OB,PM⊥AD。求证：PM=PN小专题证明三角形全等的基本思路类型1已知两边对应相等方法1寻找第三边对应相等,用"SSS"1．把四根木条做成如图所示的四边形ABCD,其中AB＝AD,CB＝CD,有人说它可以当成一个平分角的仪器,请你说明其中的道理．方法2寻找夹角对应相等,用"SAS"2．如图,AB＝AD,AC＝AE,∠BAD＝∠CAE.求证：BC＝DE.类型2已知两角对应相等方法1寻找夹边对应相等,用"ASA"3．如图,已知点D在△ABC的BC边上,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.求证：AE＝DF.方法2寻找任一对应角的对边对应相等,用"AAS"4．两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O为边AC和DF的交点,不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？类型3已知一边一角对应相等方法1有一边和该边的对角对应相等,寻找另一角对应相等,用"AAS"5．如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A＝90°,BD＝BC,CE⊥BD于点E.求证：AD＝BE.方法2有一边和该边的邻角对应相等,寻找夹该角的另一边对应相等,用"SAS"6．如图,B、E、F、C四点在同一条直线上,AB＝DC,BE＝CF,∠B＝∠C,求证：OA＝OD.方法3有一边和该边的邻角对应相等,寻找另一角对应相等,用"AAS"或"ASA"7．<北京中考>已知：如图,D是AC上一点,AB＝DA,DE∥AB,∠B＝∠DAE.求证：BC＝AE.类型4全等基本图形归纳<平移、旋转、翻折>8．如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,∠A＝20°,若将△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的E处,则∠ADE的度数是〔A．30°B．40°C．50°D．55°9．如图,已知点E,C在线段BF上,BE＝CF,AB∥DE,∠ACB＝∠F.求证：△ABC≌△DEF.10．如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,将△ABC沿AB向下翻折后,再绕点A按顺时针方向旋转α度<α＜∠BAC>,得到Rt△ADE,其中斜边AE交BC于点F,直角边DE分别交AB、BC于点G、H.求证：△AFB≌△AGE.11、<1>阅读理解：如图①,在△ABC中,若AB＝10,AC＝6,求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD,再连接BE<或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD>,把AB,AC,2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是________________________________________________________________________；<2>问题解决：如图②,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证：BE＋CF＞EF；<3>问题拓展：如图③,在四边形ABCD中,∠B＋∠D＝180°,CB＝CD,∠BCD＝140°,以C为顶点作一个70°角,角的两边分别交AB,AD于E,F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明．<第4题>轴对称知识点等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。其中相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底,两腰所夹得角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角。定理1：等腰三角形的两个底角相等〔等边对等角。〔此定理常用来证明同一个三角形中两角相等。此定理反过来也成立〔即等角对等边。〔常用来证明线段相等定理2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。〔三线合一。只要知道其中一个结论,就可以得出其他两个结论。注意：等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角〔或直角,但顶角可以为钝角〔或直角。设腰厂为a,底边长为b,则b/2＜a。等腰三角形中常用到的辅助线：〔1通常做底边上的中线、高、或者顶角的平分线。〔2边有中点时常常要利用它做出中线。有二倍角时常用到的辅助线：〔1构造等腰三角形,使二倍角是等腰三角形的顶角的外角；〔2平分二倍角；〔3给较小的角加倍。知识重点掌握轴对称的应用,能判别轴对称图形。知道垂直平分线的性质,会用这些性质证明一些结论。最重要的是会用等腰三角形的性质,会证明等腰三角形。典型例题类型一等腰三角形的热点问题例如图,AD是ΔABC的角平分线,BE⊥AD交AD的延长线于E,EF∥AC交AB于F。证明：AF=FB类型二等腰三角形的综合应用例如图,在ΔABC中,AB=AC,AE⊥BC于E,在BC上截取CD=CA,连接AD,若AD=BD,则∠DAE的度数是〔类型三利用垂直平分线的性质解题例如图,AB=AC,DE垂直平分AB交AB于D,交AC于E。若ΔABC的周长为28,BC=8,求ΔBCE的周长.类型四构造直角坐标系解题例证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。类型五转化思想例如图,在ΔABC中,BA=BC,∠B=120°,AB的垂直平分线交AC于D。求证：AD=1/2DC.类型六数形结合例一搜轮船由西向东航行,在A处测得小岛P的方位是北偏东75°,又航行7海里后,在B处测得小岛P的方