2021年浙江省金华市兰溪上华中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2021年浙江省金华市兰溪上华中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为(

) A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）参考答案：D考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=logt．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．解答： 解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=logt随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．2.函数的最小正周期为A.

B.

C.

D.参考答案：B通分可得所以的最小正周期

3.不等式的解集是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C4.已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P(x,y)，则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D5.已知是定义在R上的奇函数，且，是的导函数，当x>0时总有成立，则不等式的解集为(

)A．{x|x<-1或x>1}

B．{x|x<-1或0<x<1}C．{x|-1<x<0或0<x<1}

D．{x|-1<x<1,且x≠0}参考答案：B略6.已知角的终边与单位圆交于点等于A. B. C. D.1参考答案：【知识点】二倍角的余弦．C6A

解析：∵角的终边与单位圆交于点∴可得：r=1，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故选A．【思路点拨】由角的终边与单位圆交于点可得：r=1，cosα=，从而可求．7.下列函数中，既是奇函数又在区间[﹣2，2]上单调递增的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=ax+a﹣x（a＞0，a≠1）C．f（x）=ln D．f（x）=ax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）参考答案：C【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】分别判断四个答案中是否满足既是奇函数又在[﹣2，2]上单调递增，易得到答案【解答】解：A．sinx在[]上单调递减；B．f（0）=2≠0，∴f（x）不是奇函数；C．f（﹣x）=ln=﹣ln=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，设x1，x2∈[﹣2，2]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=ln﹣ln=ln，∵x1＜x2，∴3+x1＜3+x2，3﹣x2＜3﹣x1，∴＜1，∴ln＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在区间[﹣2，2]上单调递增，D．f′（x）=（ax+a﹣x）lna；∴0＜a＜1时，lna＜0，f′（x）＜0；∴f（x）单调递减．故选：C．8.（5分）设函数y=f（x）是定义在R上以1为周期的函数，若g（x）=f（x）﹣2x在区间[2，3]上的值域为[﹣2，6]，则函数g（x）在[﹣12，12]上的值域为（）A．[﹣2，6]B．[﹣20，34]C．[﹣22，32]D．[﹣24，28]参考答案：B由g（x）在区间[2，3]上的值域为[﹣2，6]，可设g（x0）=﹣2，g（x1）=6，x0，x1∈[2，3]，g（x0）=f（x0）﹣2x0=﹣2，∵y=f（x）是定义在R上以1为周期的函数，∴g（x0+n）=f（x0+n）﹣2（x0+n）=f（x0）﹣2x0﹣2n=﹣2﹣2n．同理g（x1+n）=6﹣2n，12﹣3=9，于是g（x）在[﹣12，12]上的最小值是﹣2﹣2×9=﹣20；﹣12﹣2=﹣14，于是g（x）在[﹣12，12]上的最大值是6﹣2（﹣14）=34．∴函数g（x）在[﹣12，12]上的值域为[﹣20，34]．故选B．9.定点P（a，b）在圆x2+y2+2x=1内，直线（a+1）x+by+a﹣1=0与圆x2+y2+2x=1的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由定点P（a，b）在圆x2+y2+2x=1内，得到＜，求出圆x2+y2+2x=1的圆心（﹣1，0）到直线（a+1）x+by+a﹣1=0的距离，能判断出直线（a+1）x+by+a﹣1=0与圆x2+y2+2x=1的位置关系．【解答】解：∵定点P（a，b）在圆x2+y2+2x=1内，圆x2+y2+2x=1的圆心（﹣1，0），半径r==，∴＜，∵圆x2+y2+2x=1的圆心（﹣1，0）到直线（a+1）x+by+a﹣1=0的距离：d==＞=，∴直线（a+1）x+by+a﹣1=0与圆x2+y2+2x=1的位置关系是相离．故选：B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间公式和点到直线的距离公式的合理运用．10.下列判断错误的是()A．a，b，m为实数，则“am2<bm2”是“a<b”的充分不必要条件B．对于命题：，命题，则为：，均有C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．命题“若，则”的逆否命题为真命题参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.集合，，若，则x=____．参考答案：0因为，所以，又，所以，所以．故答案为0．12.已知向量，，满足，且，，，则

．参考答案：－13因为，所以，所以.

13.已知，且，则xy的最小值为______________.参考答案：64【分析】根据基本不等式解得取值范围，再结合等号确定最值取法.【详解】，当且仅当时取等号，所以最小值为【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意等号取得的条件，否则会出现错误.14.已知二次函数的值域是，则的最小值为___▲____．

参考答案：315.已知非零向量满足|+|=|﹣|=3||，则cos＜，﹣＞=．参考答案：﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的运算和向量的夹角公式计算即可．【解答】解：∵|+|=|﹣|=3||，∴|+|2=|﹣|2=9||2，∴=0，||2=8||2，即||=2||，∴（﹣）=﹣（）2=﹣8||2，∴cos＜，﹣＞=﹣=﹣，故答案为：﹣．16.在平面直角坐标系xOy中，给定两定点M(-1，2)和N(1，4),点P在x轴上移动，当取最大值时,点P的横坐标是________.参考答案：1略17.函数为常数）在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为_________________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数对任意实数恒有，且当x＞0时，又.（1）判断的奇偶性；

（2）求证：是上的减函数；

（3）求在区间[－3,3]上的值域；

（4）若，不等式恒成立，求的取值范围.参考答案：（1）解：取则取对任意恒成立

∴为奇函数.19.（本题满分12分）如图，中，点，。圆是的内切圆，且延长线交AB与点D，若（1）求点C的轨迹的方程（2）若椭圆上点处的切线方程是①过直线上一点M引的两条切线，切点分别是，求证直线恒过定点N；②是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。参考答案：（1）据题意从而可得由椭圆定义知道，C的轨迹为以A、B为焦点的椭圆

所以所求的椭圆的方程为.……4分（2）①设切点坐标为,,直线上的点的坐标.则切线方程分别为.又两切线均过点,即,从而点的坐标都适合方程,而两点之间确定唯一的一条直线,故直线的方程是,显然对任意实数,点都适合这个方程,故直线恒过定点.…………8分②将直线的方程,代入椭圆方程,得

,即..不妨设.,同理.所以

.故存在实数,使得.…………12分20.已知，当时，的值域为且.（1）若求的最小值；（2）若求的值；（3）若且，求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）∵，∴在区间上单调递增，∴，

┄┄3分

∴当时，即的最小值是；

┄┄5分

（Ⅱ）解法一

∵当时，在上单调递减，在上单调递增，

∴

┄┄┄6分

①当，即时，在单调递增，

∴，（舍去）；

②当，即时，的最小值是，

∴，（舍去）；

③当，即时，在单调递减，

∴，．

┄┄┄9分

综上可得：．

┄┄┄10分解法二当时，恒成立，即恒成立，∴；

┄┄┄7分当时，恒成立，即恒成立，∴；

┄┄┄9分

综上可得：．

┄┄┄10分（Ⅲ）①若，即时，在单调递增，

∴，无解；

┄┄┄11分

②当即时在递减，在递增，

∴

┄┄┄13分

③当，即时，函数在区间上单调递减，

∴，无解；

┄┄┄14分

综上可得：

┄┄┄16分21.

交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通;T∈[2，4)基本畅通;T∈[4，6）轻度拥堵;T∈[6，8)中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵，

晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的部分直方图如图所示．

(I)请补全直方图，并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个？

(Ⅱ)用分层抽样的方法从交通指数在[4，6），[6，8），[8，l0]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；

(Ⅲ)从(Ⅱ)中抽出的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．参考答案：略22.已知函数．（I）若，求sin2x的值；（II）求函数F（x）=f（x）?f（﹣x）+f2（x）的最大值与单调递增区间．参考答案：解：=1+2sincos﹣（1﹣cosx）∴f（x）=sinx+cosx（I）f（x）=sinx+cosx=，两边平方得（sinx+cosx）2=∴1+2sinxcosx=，可得2sinxcosx=，即sin