2021年湖北省武汉市杨园中学高一数学理期末试题含解析

2021年湖北省武汉市杨园中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列关于四个数：的大小的结论，正确的是（

）。

A、

B、C、

D、参考答案：A2.如图所示，用两种方案将一块顶角为120°，腰长为2的等腰三角形钢板OAB裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为S1、S2，周长分别为，则（

）A.， B.，C.， D.，参考答案：A【分析】根据弧长公式和扇形面积求解.【详解】为顶角为，腰长为2的等腰三角形，，方案一中扇形的周长，方案二中扇形的周长，方案一中扇形的面积，方案二中扇形的面积，所以，.故选A.【点睛】本题考查弧长公式，扇形面积公式.3.已知函数，正实数、满足，且，若在区间[]上的最大值为，则、的值分别为()A．、2

B．、4

C．、

D．、2参考答案：B4.已知，则A. B. C. D.参考答案：B【分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．5.已知，则集合为（

） A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.（5分）水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个（） A． 等边三角形 B． 直角三角形 C． 三边中只有两边相等的等腰三角形 D． 三边互不相等的三角形参考答案：A考点： 平面图形的直观图．专题： 计算题；转化思想．分析： 由图形和A′O′=通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边BC=B'C'，AO⊥BC，且AO=，故三角形为正三角形．解答： 由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC，∵A′O′=∴AO=∵B′O′=C′O′=1∴BC=2∴AB=AC=2∴△ABC为正三角形．故选A点评： 本题考查了平面图形的直观图的画法及其先关性质，把握好直观图与原图形的关系，是个基础题．7.下列四个命题中正确的是（

）

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．A.①和②

B.②和③

C.③和④

D.②和④参考答案：D略8.已知函数满足，则的最小值是（

）

A．2

B．

C．3

D．4参考答案：B9.如图，在四边形ABCD中，下列各式中成立的是()参考答案：C略10.设f（x）=，则f=(

)A．2 B．3 C．9 D．18参考答案：A【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知得f（2）=，由此能求出f=f（1）=2e1﹣1=2．【解答】解：∵f（x）=，∴f（2）=，f=f（1）=2e1﹣1=2．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.气温（℃）141286用电量（度）22263438由表中数据得回归直线方程中，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为____.参考答案：40【详解】由表格得，即样本中心点的坐标为，又因为样本中心点在回归方程上且，解得：，当时，，故答案40．考点：回归方程【名师点睛】本题考查线性回归方程，属容易题.两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解．解题时根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．12.的定义域是，则函数的定义域是

．参考答案：因为函数的定义域为，即，所以，即函数的定义域为，故答案为.

13.若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是．参考答案：18【考点】基本不等式．【分析】首先左边是xy的形式右边是2x+y和常数的和的形式，考虑把右边也转化成xy的形式，使形式统一．可以猜想到应用基本不等式．转化后变成关于xy的方程，可把xy看成整体换元后求最小值．【解答】解：由条件利用基本不等式可得，令xy=t2，即t=＞0，可得．即得到可解得．又注意到t＞0，故解为，所以xy≥18．故答案应为18．14.已知，则从小到大的顺序是________________。参考答案：略15.定义在R上的偶函数f（x），在[0，+∞）是增函数，若f（k）＞f（2），则k的取值范围是．参考答案：{k|k＞2或k＜﹣2}【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用偶函数的图象关于y轴对称，又且在[0，+∞）上为增函数，将不等式中的抽象法则f脱去，解不等式求出解集．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，∴f（k）＞f（2），转化为|k|＞2，解得k＞2或k＜﹣2，故答案为：{k|k＞2或k＜﹣2}．16.已知函数，若函数恰有3个不同零点，则实数m的取值范围为__________________。

参考答案：当时，函数，在上单调递增，在上单调递减；当时，，则当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，故函数极大值为，所以.函数恰有3个不同零点，则，所以．

17.已知函数，若，则

．参考答案：或三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆C:,一条斜率等于1的直线l与圆C交于A,B两点.(1)求弦AB最长时直线l的方程;

(2)求面积最大时直线l的方程;(3)若坐标原点O在以AB为直径的圆内,求直线l在y轴上的截距范围.参考答案：.解：(1)l过圆心时弦长AB最大,l的方程为……………4分(2)的面积,当∠ACB=时,的面积S最大,此时为等腰三角形，设l方程为,则圆心到直线距离为，从而有，m=0或m=-6，则l方程为x-y=0或x-y-6=0。……………12分略19.已知，．（Ⅰ）当时，求；（Ⅱ）当时，若，求实数a的取值范围．参考答案：（Ⅰ）由，得到，则当时，得到，则则；（Ⅱ）若，则，而当时，，则，得到，所以．20.定义域为的函数满足：对任意实数均有，且，又当时，.（1）求、的值，并证明：当时，；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）令，得，令，得，令，，得，设，则，，因为所以.（2）设，因为，所以，所以为增函数.法一：上式等价于对任意恒成立，因为，所以上式等价于对任意恒成立，设，（时取等），所以，或.法二：上式等价于对任意恒成立，设，上式等价于对任意恒成立，①时，易得上式恒成立；②时，上式等价于且即且，所以；③时，对称轴，上式等价于即，所以；综上即，或.21.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数；(2)高一参赛学生的平均成绩．参考答案：（1）众数为65，中位数为65；（2）67．【分析】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，即可得出众数，利用中位数的两边频率相等，即可求得中位数；（2）利用各小组底边的中点值乘以对应的频率求和，即可求得成绩的平均值．【详解】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得出众数为65，又因为第一个小矩形的面积为0.3，设第二个小矩形底边的一部分长为，则，解得，所以中位数为．（2）依题意，利用平均数的计算公式，可得平均成绩为：，所以参赛学生的平均成绩为分．【点睛】本题主要考查了频率