四川省成都市武侯区西川中学2024-2025学年八上期末数学试卷（解析版）

-2025学年四川省成都市武侯区西川中学八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1.下列实数中，无理数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个0）等形式．无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．【详解】解：A、是分数，为有理数，故本选项不符合题意；B、，是整数，为有理数，故本选项不符合题意；C、是分数，为有理数，故本选项不符合题意；D、无理数，故本选项符合题意．故选：D．2.如图，在直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是81和225，则字母B所代表的正方形的边长是（）A.12 B.13 C.144 D.306【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．【详解】解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积．所以字母B所代表的正方形的边长是．故选：A．3.如图，中，，外角，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．由三角形的外角性质得到，由此求解即可．【详解】解：，，∴．故选：B．4.成都市近天日最低气温的扇形统计图如图所示，这天日最低气温的平均数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查加权平均数，扇形统计图，从统计图中获取信息是解题的关键．根据加权平均数的计算方法计算即可求解．【详解】解：这天日最低气温的平均值为：．故选：C．5.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象不可能经过点E，F，G，H中的点是（

）A.点E B.点F C.点G D.点H【答案】B【解析】【分析】由解析式可知一次函数函数的图象经过第一、三，四象限，即可判断．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．【详解】解：一次函数中，，，一次函数的图象经过第一、三，四象限，点F在第二象限，一次函数的图象不可能经过点故选：6.如图，在中，，，，是斜边的高，则的长为（）A. B. C.5 D.10【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．先根据勾股定理求出，然后根据三角形面积进行计算即可．【详解】解：∵在中，，，，∴，∵，∴．故选：A．7.下列命题是真命题的是（）A.1，1，是一组勾股数 B.内错角相等C.8的立方根是 D.若，则【答案】D【解析】【分析】本题考查了判断命题真假，涉及了勾股定理、立方根和绝对值的非负性等知识点，熟记相关结论即可．【详解】解：∵勾股数是指能够形成直角三角形的三边的正整数的组合，不属于正整数，故A为假命题；内错角不一定相等，故B为假命题；8的立方根是，故C假命题；∵，∴

∴故D为真命题；故选：D8.两个两位数和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178．若设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意可列方程组（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题目意思，表示出在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数为，在较大的两位数的左边写上较小的两位数，得到另一个四位数为．根据题意可得等量关系：①两个两位数的和为68，②比大2178，根据等量关系列出方程组．【详解】解：根据题意，得．故选：C．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9.的整数部分是_____．【答案】3【解析】【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．先利用夹逼法估算的取值范围，即可得出的取值范围，即可得出答案．【详解】解：∵∴，∴，∴的整数部分是3，故答案为：3．10.如图，的顶点都在方格的格点上，顶点，的坐标分别为，，则顶点的坐标是_________．【答案】【解析】【分析】本题考查了坐标平面中点的位置的确定，解题的关键是根据点，的坐标建立平面直角坐标系．依据点，的坐标建立直角坐标系中，即可得到点的坐标．【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示，由图可知点的坐标为．故答案为：．11.若是方程的一个解，则______．【答案】7【解析】【分析】把方程的解代入得3a+b=1，从而确定9a+3b=3，整体代入计算即可．【详解】∵是方程的一个解，∴3a+b=1，∴9a+3b=3，∴7，故答案为：7．【点睛】本题考查了二元一次方程解的定义即使得二元一次方程左右相等的一组未知数的值，熟练掌握定义，灵活变形计算是解题的关键．12.举反例：当_____时，可说明命题“对于任意实数”是假命题．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，二次根式的性质，找到一个能使得题设成立，但结论不成立的数即可．【详解】解：当时，，故答案：（答案不唯一）．13.有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为_______尺．【答案】【解析】【分析】找到题中的直角三角形，设水深为尺，根据勾股定理解答．本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为（）尺，根据勾股定理得：，解得：，芦苇的长度=（尺），答：芦苇长尺．故答案为：三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14.（1）计算：；（2）解方程组：．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式、二次根式的除法、立方根的定义计算，再合并即可；（2）先整理方程组，再根据消元法解二元一次方程组即可．本题考查了解二元一次方程组，二次根式的运算，正确计算是解题的关键．【详解】解：（1）；（2），方程组可化为，，得，，得，解得，把代入，得，所以原方程组的解是15.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B的坐标为，已知点C在x轴上，且，点A关于x轴的对称点为点D．（1）在图中画出点C，D，点C的坐标为，点D的坐标为；（2）连接，求四边形的面积．【答案】（1）图见解析，（2）22【解析】【分析】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，以及割补法求几何图形的面积，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律．（1）根据点C在x轴上，且，可得点C的坐标，根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得点D的坐标；（2）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可．【小问1详解】解：如图：点C在x轴上，且，点C的坐标为，点A关于x轴的对称点为点D，点A的坐标为，点D的坐标为；故答案为：，；【小问2详解】解：如图：四边形的面积为：．16.为了解八年级学生本学期周末锻炼情况，现从八年级男生、女生中各随机抽取名学生进行调查．将锻炼次数（记为次）分为组，组：；组：；组：；组：．男生：5，6，8，9，7，1，10，3，4，8，5，0，7，2，7，6，8，4，8，11女生C组数据：9，7，9，9，9，8，9，8．整理数据A组B组C组D组男生a6b2女生4583分析数据平均数众数中位数男生5.9586.5女生5.959c根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：，，；（2）通过以上数据，你认为男生还是女生锻炼的情况更好？请说明理由．（3）锻炼在7次及以上为优秀，若八年级男生240名，女生260名，请估计八年级锻炼优秀的学生总人数是多少？【答案】（1）4，8，（2）女生锻炼的情况更好，理由见解析（3）估计八年级锻炼优秀的学生总人数是人【解析】【分析】本题考查频数分布表、众数，中位数，样本估计总体，理解题意是正确解答的前提．（1）根据频数统计表可得、的值，根据中位数的意义求出的值；（2）根据中位数、众数进行判断即可；（3）分别用男生、女生的人数乘以各自锻炼优秀的学生所占的百分比即可得．【小问1详解】解：据题意可知，男生“组”的频数为，“组”的频数为，女生名学生的次数从小到大排列，处在中间位置的两个数分别为7、8，因此中位数是，故答案为：，，；【小问2详解】解：女生锻炼的情况更好，理由为：女生的中位数、众数均比男生的高；【小问3详解】解：（人），答：估计八年级锻炼优秀的学生总人数是人．17.A、B两种品牌的共享电动车收费（元）与骑行时间（）的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式为，B品牌的收费方式为．（1）分别求出与x的函数关系式；（2）已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为．小明可骑A品牌或B品牌电动车去上班，若小明家到单位的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？【答案】（1），（2）小明选择B品牌的共享电动车更省钱【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式和速度、时间、路程的关系是解题的关键．（1）利用待定系数法求解答即可；（2）根据时间路程速度求出小明骑共享电动车的时间并换算成以分钟为单位，结合图象即可得出结论．【小问1详解】解：设（为常数，且），将坐标代入，得，解得，∴与x的函数关系式为．当时，；当时，设（为常数，且），将坐标和分别代入，得，解得，∴．综上，．【小问2详解】解：，由图象可知，当时，，∴小明选择B品牌的共享电动车更省钱．18.如图，中，平分交于点，且．（1）求证：；（2）点是射线上一点，连接交射线于点．若，当时，与之间有何数量关系？请说明理由；若，，当时，求线段的长．【答案】（1）详见解析（2），理由见解析线段BP的长为或【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到；（2）由（1）知，过点作于，如图所示：推出、是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，，，求得，于是得到结论；当点在点的左侧时，如图2所示：由（1）知，，根据等腰三角形的性质得到，求得，推出，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到，求得，得到，求得，作于，则，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，设，则，根据勾股定理得到；当点在点的右侧时，则，推出，，于是得到．【小问1详解】证明：平分，，，，，（），；【小问2详解】解：；理由如下：由（1）知，过点作于，如图所示：，，、是等腰直角三角形，，，，，，；当点在点的左侧时，如图所示：由（1）知，，，，，，，，，则，，，，，，，作于，则，在和中，（），，，，，，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，，，；当点在点的右侧时，则，，，，，；综上所述，线段的长为或．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形全等的判定与性质是解题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19.比较大小：______．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键；根据估算和的大小，推出结果．【详解】解：因为所以，所以，所以．故答案为：．20.一次函数与图象的交点为A，则方程组的解为____．【答案】【解析】【分析】根据两函数交点即为两函数组成的方程组的解，从而求出答案．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二元一次方程组交点关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．【详解】解：一次函数与图象的交点为，，，，方程组的解为，故答案为：．21.一个圆柱体礼盒高为，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为中点），则彩带最短为_______．【答案】30【解析】【分析】将圆柱展开后，可得绕礼盒侧面2周后彩带最短为2AB，据此分析解答．本题考查了平面展开-最短路线问题，关键是能理解题意知道求出哪一条线段长．【详解】解：展开后图形是：∵底面周长为12cm，高18cm，∴，∴绕礼盒侧面2周后彩带最短为（），故答案为：30．22.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为射线CB上一点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．连接BE，交直线AC于M，若2AC=9CM，记△ADB的面积为S1，△AEM的面积为S2，则的值为_____．【答案】或【解析】【分析】分两种情况：点D在线段上，点D在的延长线上，结合全等三角形的判定和性质解答，即可．【详解】解：如图，点D在线段上，作交于点G，则，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，在和中，，∴，，设，则，∵，∴，∴，∴∴；如图，点D在的延长线上，作交的延长线于点G，则，∵，在和中，，∴，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，设，则，∵，∴，∴，∴∴；综上所述，的值为或，故答案为：或．【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、有关三角形的面积问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．23.对于线段外一点M，给出如下定义：若点M满足，则称M为线段的垂点．当或时，称M为线段的等垂点．在平面直角坐标系中，已知点，．（1）如图，时，直线上存在线段的等垂点，则____；（2）的顶点坐标分别为，，，若边上（包含顶点）存在线段的垂点，则t的取值范围是_____．【答案】①.或②.【解析】【分析】（1）设点M是直线上存在的线段的等垂点，根据垂点的定义得到于点Q或于点P，则，分在线段上方和下方，两种情况讨论求解即可；（2）根据新定义结合（1）知，边上（包含顶点）的点的直线与线段垂直，当时，则，此时有最小值，此时，，求出直线的解析式为；再求出平行于直线的直线的解析式为，当点过直线时，此时有最大值，即可得出答案．【详解】解：（1）当时，点，设点M是直线上存在的线段的等垂点，由垂点的定义得，当时，即，则，即于点Q，当时，即，则，即于点P，如图，当于点P，且直线在线段上方时，则，过点M作轴于点G，由等垂点的定义得，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得：；当直线在线段下方时，则，过点作轴于点H，同理可得：，∴，解得：；当于点Q，且直线在线段上方时，同理可得：，∴，解得：；当于点Q，且直线在线段下方时，同理可得：，∴，解得：；综上，b的值为或；故答案为：或；（2）∵边上（包含顶点）存在线段的垂点，同理（1）知，边上（包含顶点）的点的直线与线段垂直，如图，当时，则，此时有最小值，∴，即，∴，解得：；此时，，设直线的解析式为，则：，解得：，∴直线的解析式为；设平行于直线的直线的解析式为，当此直线过点B时，则，解得，∴平行于直线的直线的解析式为，∵，∴直线，当点过直线时，此时有最大值，则，解得：，此时，两点重合（不符合题意），∴t的取值范围是；故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与几何图形综合，掌握新定义、学会对动点在直线上运动进行几何模型构建，能充分利用数形结合思想解决实际问题是解题的关键．二、解答题24.某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案．【答案】（1）A型号的汽车进价为25万元、B型号的汽车的进价为10万元（2）共有三种购买方案：①A型号购买2辆，B型号购买15辆；②A型号购买4辆，B型号购买10辆；③A型号购买6辆，B型号购买5辆【解析】【分析】（1）根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”列方程组求解；（2）根据“正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车”列方程，并求出正整数解．本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．【小问1详解】解：设型号的汽车进价为万元、型号的汽车的进价为万元，则：，解得：，答：型号的汽车进价为25万元、型号的汽车的进价为10万元；【小问2详解】解：设型号购买辆，型号购买辆，则：，方程的正整数解为：，，，共有三种购买方案：①型号购买2辆，型号购买15辆；②型号购买4辆，型号购买10辆；③型号购买6辆，型号购买5辆．25.已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点；（1）求点E的坐标和k的值；（2）如图2，点M是y轴上一动点，连接，将沿翻折，当A点对应点刚好落在x轴上时，求所在直线解析式；（3）在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出P点坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）点E的坐标为，k的值是2（2）所在直线解析式为或（3）存在，P的坐标为或【解析】分析】（1）把代入得，即得，把代入得；（2）分两种情况：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，由知，，设，则，在中，有，可解得，用待定系数法即得直线解析式为；②当的对应点在轴正半轴时，由，可知与重合，即，故的解析式为；（3）当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，证明，得，，设，有，从而可得，直线解析式为，解得；当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，同理可得．【小问1详解】解：把代入得：，解得，，把代入得：，解得，点的坐标为，的值是2；【小问2详解】解：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图：由（1）知，直线解析式为，在中，令得，，，，∴，，，∴，，设，则，，在中，，，解得，，设直线解析式为，把代入得：，解得，直线解析式为；②当的对应点在轴正半轴时，如图：，，与重合，即，此时的解析