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广义相对论

（选修）天体物理所邱涛涛办公室：9#楼1218室邮箱：qiutt@第1页《广义相对论》教学安排共31个课时，分16讲+一次期末考试讲课内容： I广义相对论部分共八讲 II宇宙学部分共八讲期末考试方式：开卷考试或提交论文第2页《广义相对论》教学安排俞允强著《广义相对论引论》《热大爆炸宇宙学》《宇宙物理学讲义》刘辽、赵峥等著《广义相对论》《广义相对论基础》S.Weinberg著《引力论与宇宙论》第3页第一讲广义相对论物理基础19世纪末两朵乌云——相对论诞生“物理学已经被认为是完成了，下一代物理学家能够做事情看来不多了”“在物理学平静而晴朗天空出现了两朵令人不安小小乌云。”——英国著名科学家开尔文勋爵于194月27日在英国皇家学会迎接新世纪年会上发表贺词。物剪发展到19世纪末，经典物理框架已经形成，力热光电等全部经典物理规律都能够用当初已知理论去描述，人们认为物理学大厦已臻完工。威廉·汤姆森（开尔文勋爵）第4页第一讲广义相对论物理基础19世纪末两朵乌云——相对论诞生测量光速不变，违反牛顿力学体系中物体速度相对性结论传统经典方法计算黑体辐射谱与试验不相符合相对论建立（本科要讲）量子论建立（量子力学课中会讲到）迈克尔逊-莫雷试验黑体辐射试验相对论和量子论是当代物理学两大基石！第5页第一讲广义相对论物理基础麦克尔逊-莫雷试验牛顿绝对时空观：存在绝对静止“以太”，地球以一定速度v在以太中穿行。光行差现象：同一星体照射向地球光方向随季节改变：被认为是地球相对于以太运动结果。什么是“以太”？以太概念最早由亚里士多德（公元前384年-公元前322年，约中国战国时期）提出，他认为天空中充满轻而透明以太亚里士多德伊萨克·牛顿第6页第一讲广义相对论物理基础麦克尔逊-莫雷试验目标：测出地球相对于以太运动速度。平行“以太”运动方向：光运动速度为c+v（顺着以太运动方向）和c-v（逆着以太运动方向）垂直“以太”运动方向：光运动速度为两条路所经历时间差：但试验上并未测到时间差！麦克尔逊-莫雷试验A.麦克尔逊E.莫雷第7页第一讲广义相对论物理基础洛伦兹对麦克尔逊-莫雷试验解释相对于绝对空间运动尺子在运动方向上会产生收缩！沿v方向上光程不是，而是！垂直v方向上光程仍是时间差公式变为：因为物体相对运动产生收缩效应：洛伦兹收缩（尺缩效应）H.洛伦兹（1853-1928）第8页第一讲广义相对论物理基础经典力学体系中惯性坐标变换（伽利略变换）无法给出物体在运动中产生收缩性质！伽利略变换而洛伦兹采取一套新惯性坐标变换（洛伦兹变换）则能自然给出物体这一性质！洛伦兹变换注意：当时，洛伦兹变换->伽利略变换，即伽利略变换是洛伦兹变换低速极限！洛伦兹变换第9页第一讲广义相对论物理基础洛伦兹变换（以一维空间为例）：假设其中(t,x)为静止坐标系，(t’,x’)为运动坐标系。设静止系中尺子长度是x，现在若要在静止系中测量运动系中尺子长度x’，我们需要“同时”测量尺子两端，而“同时”意味着t=0.由洛伦兹变换公式得运动系中尺子长度为所以运动系中尺子长度变短。该效应又被称为“尺缩效应”。由洛伦兹变换怎样给出洛伦兹收缩同理，我们还能有洛伦兹变换得出运动参考系时钟变慢现象。该效应被称为“钟慢效应”。第10页第一讲广义相对论物理基础爱因斯坦对时空观思索出发点：麦克斯韦电磁理论中含光速c。若光速随参考系改变而改变话，麦克斯韦电磁理论也将随参考系改变而改变！爱因斯坦洛伦兹即使得到了高速运动物体正确坐标变换形式，但他依然相信绝对时空，即“以太”存在，并把速度v了解成物体相对于以太速度！爱因斯坦对时空观思索（独立于洛伦兹）但物理规律不应伴随参考系改变而改变（伽利略相对性原理），所以光速c只能是一个常数，但这又与速度叠加原理矛盾！第11页第一讲广义相对论物理基础爱因斯坦对时空观思索他认为对高速运动物体不应该只遵照简单叠加原理，而是有更复杂关系！依据这个思绪并凭借自己扎实数学功底，爱因斯坦也推导出了和洛伦兹变换相同变换形式。但不一样是，爱因斯坦认为既然物理规律在任何惯性参考系下都相同，那就没有什么参考系是“绝对”，大家都在彼此做相对运动，所以他把变换中速度v解释成所作变换两个参考系之间相对速度。——（狭义）相对论麦克斯韦电磁理论伽利略相对性原理速度叠加原理相互矛盾->狭义相对论基本原理：光速不变原理——在任何惯性参考系内真空中光速是不变。相对性原理——物理学规律在任何惯性参考系内都是一样。“相对论”名称由来：洛伦兹在与爱因斯坦争论中为了与自己理论相区分，称其为相对论。爱因斯坦认为十分贴切，欣然接收。第12页第一讲广义相对论物理基础马赫认为不存在绝对空间和绝对运动，任何运动都是相对。爱因斯坦对时空观了解得益于奥地利物理学家马赫。恩斯特·马赫（1838－1916），奥地利-捷克物理学家，著有《力学史评》马赫原理马赫原理：物体运动不是绝对空间中绝对运动，而是相对于宇宙中其它物质相对运动，因而不但速度是相正确，加速度也是相正确，在非惯性系中物体所受惯性力不是“虚拟”，而是一个引力表现，是宇宙中其它物质对该物体总作用；物体惯性不是物体本身属性，而是宇宙中其它物质作用结果。第13页第一讲广义相对论物理基础犹太人，1879年生于德国小镇乌尔姆，出生很快举家搬到慕尼黑；小时候天赋普通，但喜欢钻研东西，喜欢看课外书；在学校不受欢迎，因为一是犹太人，二是无神论者，还喜欢问问题。在慕尼黑中学退学后去意大利投奔父母；在意大利考苏黎世工业大学未中，上阿劳中学补习，该学校校风自由，被其称作孕育相对论土壤；以后考上苏黎世工业大学，成绩普通，找不到工作，19托朋友找到一家专利局工作，做普通职员。头几年每年发表一两篇论文，水平普通；19：爱因斯坦奇迹年。发表了博士论文及4篇重量级论文：光量子说、用分子运动论解释布朗运动、狭义相对论、质能关系。据认为得益于专利局工作，没什么事，能够思索一些自己感兴趣问题。19，因对光电效应解释或诺贝尔物理学奖；1932年，因躲避纳粹赴美国并担任普林斯顿高等研究院教授1955年，病逝于普林斯顿。爱因斯坦其人第14页第一讲广义相对论物理基础相对论认为，不存在绝对空间，也不存在绝对时间，空间是相对，时间也是相对，但它们作为一个整体则是绝对。也就是说，存在绝对“四维时空”。能量是相对，动量也是相对，但它们作为一个整体是绝对。也就是说存在绝对“四维动量”。光速是绝对，在任何惯性系中光速都相同。狭义相对论主要观点第15页第一讲广义相对论物理基础狭义相对论困难困难之一：怎样定义惯性参考系？牛顿定义：凡是相对于绝对空间静止或匀速直线运动参考系为惯性系（绝对时空观）后牛顿时期定义：一个不受力质点在某参考系下静止或匀速直线运动，则该参考系为惯性系（牛顿第一定律）但何为“不受力”？在惯性系中保持静止或匀速直线运动物体不受力。爱因斯坦处理方法：完全抛弃惯性系概念，而把相对论理论推广到普通参考系（非惯性系）中去！但在非惯性系中有“惯性力”存在。“惯性力”该怎样处理？互为前提命题！第16页第一讲广义相对论物理基础困难之二：怎样包含万有引力？爱因斯坦猜测：万有引力和惯性力之间可能有内在联络，或许这两个困难其实是同一个困难。狭义相对论困难当初已知两种力电磁力和相对论符合很一致万有引力一直未包含到相对论中去第17页第一讲广义相对论物理基础引力质量定义：惯性质量定义：另一个问题：质量怎样定义？为加速度对于自由下落物体，加速度能够用运动学方法测出！试验测得在很高精度范围内牛顿在《自然哲学数学原理》一书中曾阐述质量定义：“质量就是物质量，正比于重量”。但他又说：“质量正比于惯性”，所以他可能已经意识到引力质量和惯性质量可能不是一个东西，但在数值上相等！二者相比：故引力质量与惯性质量这两种阐述实际上分别从引力角度和惯性角度上定义质量！第18页第一讲广义相对论物理基础由力学课内容知单摆周期为和摆质量无关。但若考虑到引力质量和惯性质量区分，摆周期实际上应写为其中含质量比值若比值为1，则摆周期与质量无关。在爱因斯坦时代对引力质量和惯性质量差异测量：厄阜：Dicke:布拉金斯基：引力质量与惯性质量为了愈加准确地测量引力质量与惯性质量差异，牛顿又设计了单摆试验。第19页第一讲广义相对论物理基础广义相对论建立著名电梯理想试验a.在场强为g引力场中静止（加速度0）c.在场强为g引力场中自由落体(加速度g)d.在场强为0引力场中惯性运动(加速度0)b.在场强为0引力场中加速（加速度g）在a，b两种情况中试验者无法区分自己处于哪种情况，在c，d两种情况中亦如是。ggaa受到引力质量=惯性质量启发，爱因斯坦深入思索：是否引力（场）和惯性力（场）本质上是一个东西？第20页第一讲广义相对论物理基础广义相对论建立经过电梯理想试验，爱因斯坦认识到一个处于惯性系当中受力物体和一个处于非惯性系当中不受力物体运动规律是不可区分。ggaa由得第21页第一讲广义相对论物理基础弱等效原理——全部力学规律在任何参考系下都是等价。强等效原理——全部物理规律在任何参考系下都是等价。（广义协变原理）所以，爱因斯坦总结出了奠定广义相对论基础原理——等效原理（19）同时因为我们能够找一个非惯性系使得在该系内引力和惯性力相互抵消，而使得物理系统运动像是在一个“不受力”且“未加速”参考系中运动，所以我们能够在某一时空点邻域内建立一个“局域惯性系”。广义相对论建立第22页第一讲广义相对论物理基础结论：万有引力=惯性力万有引力和惯性力分别含有以下性质：惯性力是一个假象力，只有受力物体，没有施力物体，不遵照牛顿第三定律在万有引力作用下运动物体，其运动方式、轨迹与本身性质（质量、成份等）无关万有引力不是真正意义上力，而是一个几何效应！（思想上飞跃）怎样将引力几何化？惯性系，物体不受力->匀速直线运动非惯性系，物体受力->有可能做曲线运动即力能够改变物体运动轨迹一样力也能够改变时空平直性通常（弱引力）我们认为时空是平直若引力场足够强，可能造成时空弯曲引力<->时空弯曲!爱因斯坦对引力几何化猜测第23页第一讲广义相对论物理基础描述时空弯曲几何——黎曼几何在经典数学和物理中，人们所认知几何是平直空间中几何——欧几里得几何欧几里得几何公设（《几何原本》）：从一点向另一点能够引一条直线。任意线段能无限延伸成一条直线。给定任意线段，能够以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。全部直角都相等。若两条直线都与第三条直线相交，而且在同一边内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。欧几里得（前325年—前265年），古希腊数学家，被称为“几何之父”其中第五公设能够等价为以下命题：过给定直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。第24页第一讲广义相对论物理基础对第五公设质疑因为第五公设很长很复杂，不像是基本公理，所以很多人想从其它公设推出第五公设，但都没有成功，有人花费了一生精力。K.高斯（1777-1855）J.鲍耶（1802-1860）N.罗巴切夫斯基（1792-1856）认为第五公设可能不是普遍成立，即假如从直线外一点能够引两条以上平行线，则或许能够建立一套新几何！（后人称罗氏几何）第25页第一讲广义相对论物理基础罗氏几何罗氏几何由俄国数学家罗巴切夫斯基于18代，为最早建立完整非欧几何。罗氏几何：从直线外一点能够引两条以上平行线。罗氏几何实际上是二维负常曲率空间几何。其它结论：1.该几何中无法定义“直线”，直线即两点间最短线；2.三角形三角之和小于180°；3.圆周率大于π等。N.罗巴切夫斯基（1792-1856）第26页第一讲广义相对论物理基础黎曼：过直线外一点一条平行线也引不出来。。黎氏几何与黎曼几何罗氏几何和黎氏几何统称非欧几何，描述弯曲空间。1845年，黎曼又高度统一欧式几何、罗氏几何和黎氏几何，并统称为黎曼几何。G.F.B.黎曼（1826-1866）P其它结论：1.该几何中无法定义“直线”，两点之间最短线为大圆周；2.三角形三角之和大于180°；3.圆周率小于π等。黎氏几何实际上是二维正常曲率空间几何。第27页第一讲广义相对论物理基础广义相对论建立在熟悉了黎曼几何后，利用自己相对论知识，爱因斯坦推出了以下运动方程（爱因斯坦场方程）：其中=0,1,2,3表示三维空间和一维时间。——度规或度规张量——里契张量张量，有个分量——里契标量——（物质）能量动量张量时空（几何）部分物质部分该方程为广义相对论关键方程，形式简练却极难解，而且只有少数解有物理对应！为万有引力常数为光速第28页第一讲广义相对论物理基础怎样了解时空弯曲平直时空弯曲时空因为引力起源于质量，他认为时空弯曲起源于物质存在和运动，但弯曲时空又是存在其中物质运动动力，所以时空弯曲和物质存在和运动是互为因果。Geometrytellsmatterhowtomove,mattertellsgeometryhowtocurve.

——约翰·惠勒第29页第二讲张量分析与黎曼几何（一）一切参考系都是相对。相对论关键思想：问题：

1）不一样参考系之间物理量怎样变换？

2）哪些物理量在参考系变换下是不变？第30页第二讲张量分析与黎曼几何（一）最简单例子：平直时空下参考系坐标满足洛伦兹变换：或矩阵形式：引论——狭义相对论中物理量变换第31页第二讲张量分析与黎曼几何（一）现在来看在不一样坐标系下两个事件间隔。因为描述一个事件不但要描述事件所发生地点（即空间，用3维坐标

）来表示，还要描述事件所发生时间（用1维坐标

来表示），所以我们通惯用一组4维坐标来描述一个事件。事件一：某光源发出光信号。事件二：某处接收器接收到该信号。设两个坐标系原点重合，即在两个坐标系中看，光源是同时同地发出信号，事件一坐标都是(0,0,0,0)。因为坐标系不一样，事件二在第一个坐标系中时空坐标为,在第二个坐标系中时空坐标为。第32页第二讲张量分析与黎曼几何（一）两事件由光信号联络。因为光速不变，在两个坐标系中光传输速度都是c，即若定义两事件间隔为（注意上例中事件一坐标为

），那么事件间隔是不随参考系改变而改变！注意：上例中两事件是有光信号联络事件。但对任意两事件（不论有没有联络或以何种方式联络），事件间隔都是不变。详见《电动力学》。于是我们有第33页第二讲张量分析与黎曼几何（一）由洛伦兹变换能够看到，在相对论中时间和空间是不可分割，3维空间和1维时间共同组成一个统一整体。在以后讲课中，我们会用一个带指标字母来表示这一组坐标，即有教材会把4维坐标写作，，只是写法上差异！在自然单位制中，故经常略去不写！事件间隔写作度规（后面会讲）形如上式度规称为闵可夫斯基（Minkowski,闵氏）度规，所以平直时空也被称为闵可夫斯基（Minkowski，闵氏）时空！爱因斯坦收缩！

称为哑指标第34页第二讲张量分析与黎曼几何（一）四维时空坐标和事件间隔在坐标系变换下变换能够写为：标量、矢量和张量概念把在坐标系变换下不变物理量称为标量，如。标量不带洛伦兹指标，只有一个分量。把在坐标系变换下像一样变换物理量称为矢量。如电磁矢量、动量矢量。矢量带一个洛伦兹指标，对N维矢量，有N个分量。有些物理量愈加复杂，带有两个以上洛伦兹指标。这些量在坐标系变换下作以下变换（以带两个指标为例）：这些物理量叫张量。张量是矢量推广，带M个洛伦兹指标张量称M阶张量。一个M阶N维张量共有MXN个分量。常见张量有能量动量张量、电磁张量等。标量、矢量和张量第35页第二讲张量分析与黎曼几何（一）标量、矢量和张量标量、矢量和张量关系表物理量带指标数变换方式备注标量0不变0阶张量矢量1洛伦兹变换1阶张量张量N（>=2）洛伦兹变换N阶张量对2阶张量：对称张量反对称张量张量迹无迹张量任意一个二阶张量都能够分解成一个对称张量和一个反对称张量

之和其中第36页第二讲张量分析与黎曼几何（一）协变矢（张）量和逆变矢（张）量上述讨论是平直时空坐标变换。广义相对论认为时空是弯曲，平直时空只是某种条件下近似。在弯曲时空下坐标及物理量怎样变换？设在四维弯曲时空中，坐标有以下变换形式：尽管变换详细形式可能很复杂，不过我们能够写出坐标微分变换公式：对于变换方式与该变换相同矢量，我们称其为逆变矢量。逆变矢量指标写在右上方。另外一些矢量，如空间导数，它们变换规则为：对于变换方式与该变换相同矢量，我们称其为协变矢量。协变矢量指标写在右下方。第37页第二讲张量分析与黎曼几何（一）协变矢（张）量和逆变矢（张）量二阶逆变张量变换形式：二阶协变张量变换形式：同理，协变矢量和逆变矢量定义能够推广到n阶张量。但因为张量能够带多个指标，所以有张量部分指标是逆变，部分指标是协变，该张量被称为混合张量。如：则该张量被称为(m+n)阶混合张量。混合张量是包含了协变张量和逆变张量最普通形式。第38页第二讲张量分析与黎曼几何（一）张量相等定义：逆、协变指标数相同两个同阶张量各分量均相等。张量加减：两个同阶张量全部分量相加减。张量与标量乘积：张量全部分量乘以此标量。张量代数运算张量代数运算有以下一些性质：第39页第二讲张量分析与黎曼几何（一）张量指标缩并张量代数运算只有m-1个逆变指标、n-1个协变指标参加了坐标变换运算，故实际上为m-1阶逆变、n-1阶协变张量，而哑指标不再起张量指标作用。（克罗内克尔（Kroneker）函数定义为）第40页第二讲张量分析与黎曼几何（一）矢（张）量内积是一个标量！张量内积后上下指标也会缩并，内积后张量降阶！注意：缩并和内积只存在于一对上下指标之间！第41页第二讲张量分析与黎曼几何（一）平移和联络张量是逐点定义，同一时空点张量相加减仍含有张量性质，而不一样时空点张量相加减将失去张量性质！怎样在确保张量性质前提下对不一样点张量相加减？定义张量“平移”。以协变矢量平移为例平移要求：1.平移后矢量仍是矢量（满足矢量变换性质）。 2.平移所引发改变量正比于原矢量及平移位移（线性理论要求）。P点P点Q点第42页第二讲张量分析与黎曼几何（一）平移和联络由平移第二个要求：其中百分比系数称为（仿射）联络。仿射联络在坐标系变换下怎样变换？在平直时空下故由平移第一个要求：由及得可见不满足张量在坐标系变换下变换公式，所以不是张量。第43页第二讲张量分析与黎曼几何（一）联络变换由式给出，所以联络不是张量，但两个联络差是张量。联络普通是不对称，但和张量一样，能够分解成对称部分和反对称部分之和，对称部分不是张量，反对称部分是张量，称为挠率张量。平移和联络联络性质第44页第二讲张量分析与黎曼几何（一）协变导数（协变微商）定义了矢（张）量平移和联络之后，我们就能够定义相邻两点矢（张）量差，进而能够定义弯曲空间矢（张）量微分及导数。我们熟悉导数定义：（一维平直时空）四维弯曲时空导数：1)标量场导数在坐标系变换下变换：符合张量变换性质。所以我们定义标量在弯曲空间中导数形式和平直空间中相同。第45页第二讲张量分析与黎曼几何（一）2)协变矢量场导数因为不含有矢量性质，所以只能将弯曲空间导数定义为平移后同一点矢量对时空微商，即如此定义导数含有矢量性质，称为协变导数（微商），用表示。由知协变导数和普通导数关系为协变导数（协变微商）普通导数：第46页第二讲张量分析与黎曼几何（一）与普通导数一样，协变导数遵照莱布尼兹法则：因为协变导数与普通导数一样含有线性性。3）逆变矢量场协变导数因为逆变矢量和协变矢量能够组成一个标量，而标量协变导数等于普通导数，于是有4）张量场协变导数（以混合张量为例）协变导数（协变微商）第47页第二讲张量分析与黎曼几何（一）测地线弯曲空间中怎样定义“直线”？欧式空间中对直线描绘：过两点有且只有一条直线。定义一：两点间距离最短线（又叫短程线，在已定义长度空间如黎曼空间中）定义二：曲线上任一点沿此曲线作位移，该点切向量移动是平行移动（在未定义长度空间如仿射空间中，称为“测地线”）。因为我们还没有给出长度定义，所以暂时用定义二。曲线参数方程：为仿射参量切向量：P点和Q点曲线切向量分别为和切向量移动是平行移动：总能够写成由上两式得曲线成为测地线，参数方程须满足：测地线方程第48页第二讲张量分析与黎曼几何（一）曲率和挠率我们定义了弯曲时空中矢（张）量导数——协变导数，它与普通导数区分是差一个和联络相关因子。正是这个因子，造成协变导数和普通导数一个主要性质不一样：可交换性被破坏！普通导数可交换性（以协变矢量为例）：而对协变导数：同理二者差是挠率张量黎曼曲率张量当黎曼曲率张量和挠率张量均为0时，协变微商可交换次序。即当二者均为0时，时空退化成平直时空！第49页第二讲张量分析与黎曼几何（一）将OQ平移至Q’P’，将OQ’平移至QP，P与P’是否重合？P与P’两点之差为当时P与P’点之差为零，即P与P’点重合，上述平移才能组成一个封闭平行四边形。在挠率不为零空间中平移次序不可交换，若交换次序则会产生一个附加位移，这个附加位移便是弯曲空间产生几何效应。曲率和挠率挠率几何意义第50页第二讲张量分析与黎曼几何（一）现在考虑无挠情况，即不一样次序平移能够组成一个封闭环路。那任意矢量从环路某一点出发，绕环路一周后回到原点，是否和原来矢量相等？设某矢量沿封闭平行四边形做以下平移：绕一周后与原矢量之差为曲率和挠率曲率几何意义由矢量平移公式可知第51页第二讲张量分析与黎曼几何（一）曲率和挠率曲率几何意义大家能够看到，当黎曼曲率张量时，矢量绕行一周后与原矢量重合，或矢量从一点平移至另一点，增量与路径无关。相反，在曲率张量不为零空间，沿不一样路径平移张量会有一个附加差异，该差异也是来自于空间曲率产生几何效应。同理二者之差为第52页第二讲张量分析与黎曼几何（一）弯曲空间另一个导数形式——李导数（李微商）马里乌斯·索菲斯·李（1842－1899）挪威数学家坐标变换：其中和被认为是不一样坐标系下同一时空点。对无穷小变换，可写为其中是小量，称为该无穷小变换生成元。李导数即描述在上述无穷小变换下物理量微小变换。第53页第二讲张量分析与黎曼几何（一）为使不一样点矢（张）量相加减依然保持矢（张）量性质，我们定义平移：所以，李导数数学定义为：继而能够定义李导数。为任意标量、矢量或张量1)标量李导数弯曲空间另一个导数形式——李导数（李微商）实际上，和也能够被认为是同一坐标系下不一样时空点。第54页第二讲张量分析与黎曼几何（一）弯曲空间另一个导数形式——李导数（李微商）2)逆变矢量李导数过一点P作曲线，使该曲线在P点切向量即为，即设曲线上P点和P’点坐标分别为和，则正比于曲线上微位移坐标变换把P点和P’点分别映射到Q点：及Q’点：则QQ’即为变换后PP’。即李导数为第55页第二讲张量分析与黎曼几何（一）李导数一样遵照莱布尼兹法则：3）协变矢量场李导数与协变矢量场协变导数相同，我们有4）张量场李导数（以混合张量为例）由莱布尼兹法则：弯曲空间另一个导数形式——李导数（李微商）第56页第二讲张量分析与黎曼几何（一）相同点：都是描述弯曲空间导数，都是张量；都遵照莱布尼兹法则；不一样点：李导数不但取决于被导函数，还取决于生成元；李导数不需要引入联络概念；李导数只适合用于无穷小变换（在后面讲到宇宙学扰动时候会用到）。李导数和协变导数关系弯曲空间另一个导数形式——李导数（李微商）第57页第二讲张量分析与黎曼几何（一）课后作业：证实黎曼曲率张量是张量。第58页第三讲张量分析与黎曼几何（二）到当前为止，我们只定义了矢量概念以及在坐标变换下变换方式，但并未定义矢量长度（也没有定义在弯曲空间下两事件事件间隔）！未定义长度弯曲空间——仿射空间定义了长度弯曲空间——黎曼空间引论——仿射空间和黎曼空间第59页第三讲张量分析与黎曼几何（二）度规张量在弯曲空间下，我们定义事件间隔：为弯曲空间中长度度量，所以被称为度规张量或度规。度规在坐标系变换下变换方式因为是标量而、是矢量故同理，我们能够定义四维矢量长度：第60页第三讲张量分析与黎曼几何（二）一些空间事件间隔及度规张量例子1.三维平直空间（直角坐标）：2.三维平空间（球坐标）：3.四维平直时空（直角坐标）：度规张量第61页第三讲张量分析与黎曼几何（二）一些空间事件间隔及度规张量例子5.四维史瓦西时空（球坐标）：4.四维各项同性时空（直角坐标）：当时，该时空称德西特（de-Sitter）时空。惯用于分析膨胀宇宙。球对称时空，惯用于分析黑洞解。度规张量第62页第三讲张量分析与黎曼几何（二）张量指标升降定义逆变度规张量：其中为度规张量伴随矩阵，为度规张量行列式。由伴随矩阵和行列式定义可知：即和互为逆矩阵。伴随矩阵：第i行第j列元素是关于第i行第j列代数余子式。第63页第三讲张量分析与黎曼几何（二）定义某逆变矢量（逆变张量）协变形式：因为和互逆性，反过来我们也有：以及（上两式也能够直接由克罗内克尔函数定义得到。）由此可见：——升降指标；

——换指标。张量指标升降第64页第三讲张量分析与黎曼几何（二）克里斯朵夫（Christoffle）符号在定义了度规后，我们能够将联络用度规来表示。之前讲过，在弯曲空间中我们能够经过平移把一个矢量从P点移到Q点：因为矢量长度是标量，平移前后，矢量长度不变，即由矢量长度定义知：代入后取一阶小量得最终我们有又因为第65页第三讲张量分析与黎曼几何（二）进行指标轮换：（为何能进行指标轮换？因为原方程是，是个不带指标标量方程，所以推导过程中产生一切指标均为哑指标。只有哑指标能够替换成其它指标，非哑指标不可轮换。）轮换指标，可得：轮换指标，可得：(1)(3)(2)将式子乘以（(2)+(3)-(1)）：用度规张量来表示联络又被称为克里斯朵夫符号。第66页第三讲张量分析与黎曼几何（二）短程线方程上次讲到弯曲空间中“直线”，即测地线。在没有定义长度空间中，我们暂时用曲线切向量平移来定义“直线”。现在已经定义了长度，我们能够用两点之间距离最短定义来给定“直线”（短程线）。A、B两点间任意曲线长度为其中线元而短程线要求引入仿射参量P，则其中短程线方程变为拉氏函数或拉氏方程将方程展开得第67页第三讲张量分析与黎曼几何（二）短程线方程将方程乘以：与之前求测地线方程含有相同形式！*若已知拉氏函数，可由求解短程线方程方法直接求出，而不需使用定义式。后面会详细讲到。当仿射参量选为线长s时，，方程变为或第68页第三讲张量分析与黎曼几何（二）度规协变导数既然度规是张量，我们也能够定义度规协变导数：又由克里斯朵夫符号定义代入得（注意这里用到了度规对称性）结论：度规协变导数等于0（里契(Ricci)定理）。第69页第三讲张量分析与黎曼几何（二）因为度规协变导数等于0，所以张量升降指标和协变导数能够交换次序。比如：先降指标再求导先求导再降指标由此可见所以即逆变度规协变导数也为0.注意：度规普通导数不一定为零，所以张量升降指标和普通导数不可交换次序！度规协变导数第70页第三讲张量分析与黎曼几何（二）一些有用计算1.逆变矢量散度由散度定义知由Ricci定理：用乘以上式：，而作为伴随矩阵，只对一对指标求和代入散度公式：（用拉普拉斯算子来表示协变导数，则）注意：只有对逆变矢量才能定义散度，协变矢量需要先升指标！第71页第三讲张量分析与黎曼几何（二）2.达朗贝尔算符有时候我们会碰到对一个标量求梯度后再求散度，如求梯度（协变矢量）升指标（逆变矢量）求散度定义（对标量）,则由协变矢量散度得一些有用计算第72页于是我们有，即在坐标变换下不变（为一标量），称不变体积元。第三讲张量分析与黎曼几何（二）3.不变体积元对于n为空间体积分，我们有其中称为体积元。体积元并非坐标变换不变量，因在坐标变换下变换为体积元在坐标变换下变换为而我们知道度规在坐标变换下变换为两边求行列式，得：为免去考虑体积元随坐标变换麻烦，在弯曲时空中体积分体积元即写成形式，如一些有用计算雅克比行列式第73页第三讲张量分析与黎曼几何（二）4.协变矢量旋度注意：只有对协变矢量才能定义旋度，逆变矢量需要先降指标！由协变矢量协变导数定义：对于无挠空间，以上两式相减得即协变矢量协变旋度和普通旋度相同！一些有用计算第74页第三讲张量分析与黎曼几何（二）黎曼曲率张量以前讲到黎曼曲率张量表示式为：为发觉黎曼曲率张量更多性质，我们把前两项用度规来表示：同时乘以以变成完全协变张量利用、及Ricci定理等性质，我们最终能够把黎曼曲率张量写成：第75页第三讲张量分析与黎曼几何（二）表面上看来，带有四个洛伦兹指标，每个指标能够取0,1,2,3四个值，共有个分量，但实际上要简单得多！因为这四个指标之间有对称性或反对称性关系，所以不是每个分量都是独立！1.交换和：反对称，有6个独立分量2.交换和：反对称，有6个独立分量共有个独立分量3.同时交换和：对称，有21个独立分量另外还满足一个式子，即所以自由度又降低一个。故实际上只有20个分量是独立！里契恒等式黎曼曲率张量第76页第三讲张量分析与黎曼几何（二）关于黎曼曲率张量另一个主要恒等式——毕安基(Bianchi)恒等式：因为该方程为张量方程，所以只要在一个坐标系下成立，则在全部坐标系下均成立。为简单起见，我们选择一个特殊坐标系，即笛卡尔坐标系（联络为零）来证实该恒等式。在笛卡尔系中，且该系协变导数与普通导数相等，即三式相加便可得证。同理，黎曼曲率张量第77页第三讲张量分析与黎曼几何（二）曲率张量缩并黎曼曲率张量共有4个指标，但因为第一、第二个指标以及第三、第四个指标为反对称，他们相互缩并会给出零张量，所以只能是前两个指标中一个与后两个指标中一个缩并！我们把第一、第三个指标缩并后所得二阶张量称为里契(Ricci)张量因为里契张量所带两个洛伦兹指标为原黎曼曲率张量第二、第四个指标，所以这两个指标是对称，也即里契张量是一个对称张量，有10个独立分量。若深入对里契张量两个指标缩并（注意要先把一个指标升为逆变指标！），则有不带洛伦兹指标，所以是一个标量，称为里契标量。黎曼曲率张量第78页第三讲张量分析与黎曼几何（二）对毕安基恒等式也能够进行缩并。毕安基恒等式：将该式乘以后稍加变换，便可写成以下形式：或爱因斯坦张量黎曼曲率张量同时收缩和、和（注：只有第一和第三个指标收缩会变成Ricci张量，所以要把这两对中一对变成第一个和第三个指标，需要进行指标交换。反对称指标交换会给出一个负号。）得：第79页第三讲张量分析与黎曼几何（二）黎曼曲率张量和等价性缩并两边同乘以：即第80页第三讲张量分析与黎曼几何（二）度规李导数和等度规映射由张量李导数定义知，作为2阶协变张量度规张量李导数为因为度规张量协变导数为零，所以等度规映射：称为Killing矢量，所满足方程为即不变第81页第三讲张量分析与黎曼几何（二）课后作业：计算史瓦西度规克里斯朵夫符号、黎曼曲率张量、里契张量、里契标量及爱因斯坦张量。第82页第四讲爱因斯坦场方程上一讲：广义相对论数学基础本讲：爱因斯坦场方程建立引力场爱因斯坦场方程理论基础：(1)广义协变原理（场方程应该是个张量方程）；(2)等效原理（引力几何化，即用弯曲时空来描述引力作用）；(3)马赫原理（一切坐标系都是相正确，物体所受惯性力或被加速是物质相互作用结果）；(4)光速不变原理（任何参考系下光速都是常数c）；(5)在宏观低速极限下能回到牛顿力学近似；(6)自由物体运动方程为短程线方程。第83页第四讲爱因斯坦场方程相对论物体四维速度通常定义三维速度：因不是洛伦兹不变量，所以该定义下速度推广到四维后将不再是矢量！定义固有时：标量并定义：则由他们组成四维速度是一个逆变矢量，且满足归一化条件则，即固有时为相对于物体静止（）坐标系中时间。注意：若物体以光速运动，则它，便不能用（或固有时）来定义物体四维速度。我们能够用其它非零仿射参量来定义物体四维速度，则该四维速度满足第84页第四讲爱因斯坦场方程能量动量张量宇宙中大量宏观物质，甚至包含宇宙本身，都能够近似看做理想流体。由相对论流体力学知理想流体能（量）动（量）张量为其中为物质能量密度，为压强，为物质四维速度。由该能动张量可得物质连续性方程（能量守恒方程）相对论形式：在非相对论极限下（度规为平直时空度规，联络等于零），方程简化为：其中为流体内能。或（详见《流体力学》及《相对论流体力学》）第85页

、、为任意常数第四讲爱因斯坦场方程爱因斯坦场方程建立依据以上原理，爱因斯坦猜测场方程应含有以下形式：物质能量动量张量引力项是对称张量，故也应是对称张量，所以可能是和某种组合。依据量纲分析：量纲为2，而量纲为0，所以可能组合应为、量纲为0，量纲为2。所以方程变为：能量守恒方程：由毕安基恒等式：所以爱因斯坦张量宇宙学项广义相对论中单个粒子运动方程：短程线方程第86页第四讲爱因斯坦场方程运动方程牛顿近似对于广义相对论牛顿近似，我们将采取以下假设：引力场弱场近似：引力场是静态：引力场是空间缓变：物体做低速运动：第87页第四讲爱因斯坦场方程物体运动方程：短程线方程克氏符可近似为：当时，该方程一个分量为其领头项为又，方程变为定义，则运动方程牛顿近似第88页第四讲爱因斯坦场方程对比牛顿引力方程及牛顿第二定律（引力源为M，检验物体为m）：可知称牛顿引力势所以若要求引力源M引力场满足弱场近似，即，则r为m到M距离r必定大于M物理半径。普通来说，M物理半径远大于其史瓦西半径，则只要m在M外部，弱场条件必定成立。如太阳：物理半径公里，史瓦西半径3公里。但对于有些物质（如白矮星、中子星、黑洞），物理半径靠近或小于史瓦西半径，它们附近引力场就会非常强，弱场近似就不成立。称M史瓦西半径（以后会讲到）运动方程牛顿近似（引力方向与方向相反）第89页第四讲爱因斯坦场方程场方程牛顿近似爱因斯坦场方程（忽略宇宙学项）：对宏观低速物体，简化为引力场弱场近似：其中能量动量张量。高阶小量。第90页第四讲爱因斯坦场方程则克里斯朵夫联络可近似为：里契张量为：各分量可表示为：里契标量为：方程00分量为：代入上面结果得取势函数（称牛顿引力势）：与牛顿力学中泊松方程形式完全相同！对比泊松方程：可定出系数：场方程牛顿近似第91页第四讲爱因斯坦场方程爱因斯坦场方程：引力作用量爱因斯坦场方程只描述了引力场运动过程，但并未描述引力场实体。为描述引力场实体，我们需要找到引力场作用量I使得第92页第四讲爱因斯坦场方程因为场方程同时包含时空（引力）和物质两部分，故作用量也应包含两部分：引力作用量和物质作用量。其中和分别代表作用量引力和物质部分。对平直时空：对弯曲时空：变分是对度规（或）变分要求对引力部分：对物质部分：引力作用量第93页和相比较得出物质能量动量张量和拉氏量关系：第四讲爱因斯坦场方程对物质部分，因为故其中第一项：但因为我们有但这是对变分，我们想要是对变分！利用为一常数，而常数变分为零，所以由得所以所以引力作用量第94页所以符合爱因斯坦场方程，故

能够作为引力作用量一个表示式。第四讲爱因斯坦场方程作为拉格朗日函数，应该是个标量函数。引力（几何）部分中最简单标量函数是里契标量猜测：引力作用量很可能是（或正比于）检验引力作用量变分是否等于爱因斯坦场方程左边：依据定义，我们有所以最终一项就变成为全导数项，消去第一项：引力作用量第95页第四讲爱因斯坦场方程求解爱因斯坦场方程目标是要知道引力场所造成弯曲时空度量，即度规。度规作为对称二阶四维张量，共10个分量，而爱因斯坦场方程为对称二阶四维张量方程，也有10个方程。看起来似乎未知量和方程数相等，有唯一解，但毕安基恒等式也有4个，所以独立方程只有6个，不能确定方程唯一解。在电动力学中也碰到过类似情况。麦克斯韦方程组（协变形式）：四个方程，未知量四个分量，但电荷守恒定律使得独立方程只有3个，为确定唯一解我们采取洛伦兹规范：同理，在这里我们也能够选取适当规范来得到唯一解。谐和坐标条件第96页第四讲爱因斯坦场方程规范又被称为坐标条件。谐和坐标条件：共4个方程，是未知量个数由10个降低为6个。注意：该条件也可写成。证实：由及我们之前讲过达朗贝尔算符故谐和坐标条件第97页第四讲爱因斯坦场方程谐和坐标条件弱场近似弱场条件：谐和坐标条件：定义则弱场近似下爱因斯坦场方程变为（推导过程略）由谐和坐标条件，方程左边后三项均为0，方程变为（引力波方程，后面会讲到）第98页第五讲爱因斯坦场方程应用真空引力场方程爱因斯坦方程：真空——没有物质，故能动张量为零！方程变为但因为和等价，该方程也可写作其中一个平庸解：全部克氏符及其导数都为零，此时解得时空度规为平直时空度规。但我们感兴趣是弯曲时空非平庸解。第99页第五讲爱因斯坦场方程应用球对称史瓦西解最简单非平庸解：假设在空间中有一个球对称引力源，除该引力源外其它空间皆为真空。即使是真空，但空间中也能感受到引力源引力场及时空弯曲，所以度规不是平直，克氏符也不全为零。既然引力源是球对称，能够想象它所产生引力场及度规也应是球对称。所以取球坐标比较轻易求解！假设解使得线元这里取引力源中心为原点，为任意一点到引力源距离。为简单起见，假设、、均只是函数，即引力源及其产生引力场是静态引力源（场），不随时间发生改变。另外第100页第五讲爱因斯坦场方程应用球对称史瓦西解引力源外部因为没有物质，故可视为真空，满足真空引力场方程为求解该度规，先将度规做深入简化。设则可吸收到中。再令则而方程目标就是要解出、以确定度规详细形式。第101页第五讲爱因斯坦场方程应用球对称史瓦西解设、含有正定形式：则求出、即可确定、。注意：在下面推导过程中我们将全部用代替。由线元形式，我们知道度规各分量为：度规行列式：由度规逆变分量定义知度规逆变分量为第102页第五讲爱因斯坦场方程应用球对称史瓦西解由度规各分量，我们可算出全部克氏符：其余克氏符皆为零！这里撇号代表。由Ricci张量定义：得Ricci张量各分量为其余非对角分量皆为零。第103页第五讲爱因斯坦场方程应用球对称史瓦西解将上述非零分量代入真空引力场方程中得(1)-(2)得再代入(3):解得其中D、E是积分常数。第104页第五讲爱因斯坦场方程应用球对称史瓦西解刚才已解出重定义（或时间），则线元可写成：即新上节说过爱因斯坦方程解在弱场近似下须满足牛顿力学，在弱场近似下度规00分量为和解对比得，即，。（用

代替）即第105页第五讲爱因斯坦场方程应用球对称史瓦西解球对称史瓦西解另一个推法——拉氏函数法粒子在球对称引力场下运动方程为短程线方程：该方程可直接由拉氏量：对变分而得。由该方程可直接求出克氏符。为仿射参量。线元：拉氏量：拉氏方程：其中第106页第五讲爱因斯坦场方程应用球对称史瓦西解拉氏方程：与短程线方程对比：再由即可得到、满足全部方程。第107页第五讲爱因斯坦场方程应用球对称史瓦西解上次讲到引力弱场近似条件：在由球对称引力源产生史瓦西解中即其中M为引力源质量，r为运动物体到引力源距离。如我们在太阳系中感受到太阳引力场，太阳质量太阳半径牛顿引力常数所以在太阳表面：满足弱场近似条件。对于地球来说，日地最小距离所以在地球上：愈加满足弱场近似条件。第108页第五讲爱因斯坦场方程应用伯克霍夫（Birkhoff）定理在上面引力场方程求解中，我们假定了度规分量、只是空间坐标函数（即引力源不随时间改变）。对更普通情况，它们还有可能是时间函数（即引力源随时间改变）。若它们同时是时间和空间函数，解会发生什么改变？在之前解中若设按之前任何一个方式求解，会解出会多出几个！第109页第五讲爱因斯坦场方程应用由此可得真空引力场方程为因为，、多出来项完全消去，剩下方程和不含时解完全相同！最终求解得即使这里D变成函数，但经过重定义依然能够把度规中因子消去，从而解结果和静态引力场方程完全一样！即球对称引力源质量是否随时间改变，从外部引力场中是无法判断。 ——伯克霍夫定理（1927年，G.D.Birkhoff）注意：这里只针对球对称引力场。若引力场非球对称，则定理不再成立。伯克霍夫（Birkhoff）定理第110页第五讲爱因斯坦场方程应用广义相对论试验验证广义相对论之所以成功，不但因为其理论逻辑上严密性和飞跃式想象力，更因为它在提出后对当初一些观察现象成功给予解释。支持广义相对论三大观察现象引力红移水星进动引力透镜和光线偏折第111页第五讲爱因斯坦场方程应用引力红移设在坐标时从太阳发出光信号，在坐标时在地球上接收，在坐标时再从太阳上发出光信号，在坐标时在地球上接收。在静态时空中，两次光信号从发射到接收所经过时间相同，即上式也能够写成即在太阳上和在地球上两次信号坐标时差相同。但若在地球上设一“标准钟”，则钟走时间为相对于地球静止参考系时间，即“固有时”：同理，在太阳上固有时光信号1光信号2第112页第五讲爱因斯坦场方程应用引力红移所以我们有即太阳和地球上固有时不一样，二者差异由二者所在位置决定，越大则越长，即“钟”走得越慢。因为太阳系可近似看成史瓦西时空，太阳表面离中心距离小于地球到太阳中心距离，故太阳表面引力势大于地球处引力势，所以太阳表面上钟走得比地球上钟慢，这就是弯曲时空带来效应。第113页第五讲爱因斯坦场方程应用引力红移怎样检测这一效应？因为我们无法在太阳上放一个钟来比较它们快慢，但我们能够经过其它方式来检验，比如说从太阳表面发出光谱线红移。原子发射光谱线频率与时间、以及一定时间内固有振动次数有以下关系：不论是在太阳表面还是在地球上，所观察到原子固有振动次数是相同，所以在太阳表面和在地球上观察到光子频率以及振动一定次数所需要固有时满足关系：或在太阳表面观察到频率应为原子固有频率，和分别为太阳半径和日地距离。因为，我们取，则即在地球上观察到光谱线频率比原子固有频率小（红移）！定义红移量：第114页第五讲爱因斯坦场方程应用引力红移对引力红移检测太阳谱线引力红移天狼星伴星引力红移波江座40伴星B引力红移太阳质量太阳半径引力红移理论值引力红移观察值引力红移理论值引力红移观察值引力红移理论值引力红移观察值第115页第五讲爱因斯坦场方程应用引力红移多普勒红移：光源运动结果。引力红移：不一样点引力场强弱不一样结果。以后还会讲到另一个红移——宇宙学红移。宇宙学红移是空间膨胀造成。引力红移和多普勒红移区分：第116页第五讲爱因斯坦场方程应用水星进动广义相对论另一个试验检测——水星进动由牛顿经典力学，我们能够计算出水星绕日运行轨迹。相关运动方程为：求解，得即解是一个闭合椭圆。但天文观察表明，水星绕日轨道并不是一个完全封闭椭圆，而是每一百年有大约43角秒进动。第117页第五讲爱因斯坦场方程应用水星进动而依据广义相对论运动方程各分量，运动方程为：解得（求解过程略）当，即时，水星回到原处。对水星来说，，而水星绕日周期为87.969天，故每百年进动为，符合天文学观察！第118页第五讲爱因斯坦场方程应用引力透镜和光线偏折现在考查经过一个引力源一束光运动。由广义相对论中光子运动方程（注意：对光子仿射参量不能选为线元或固有时）得在非相对论极限下，，，方程右边为0，方程变为。其解为即在非相对论极限下光子运动方程为直线，与经典力学结论相同！在相对论情况下，方程右边项不能忽略，给出解在非相对论解基础上会有一个角度偏离，成为一条曲线。这表明光线在引力场作用下会发生偏折！如太阳附近光线偏折角度为（理论值），该结果已被日全食时拍摄太阳附近星空照片所证实。第119页第五讲爱因斯坦场方程应用引力透镜和光线偏折光源发出光线在引力场中发生偏折可使光源在其附近“成像”，这种现象被称为引力透镜效应。利用该效应，依据对光线偏折角大小测量和计算，能够估测出光线传输路线附近引力场大小及引力源质量分布，从而能够测量出未知天体质量！应用：探测暗物质等。因为光源发出不止一束光，所以在引力场中可形成多个“像”，甚至会围绕引力源一周形成一个光环（爱因斯坦环）。爱因斯坦环引力透镜第120页第六讲引力波电磁波回顾电磁场遵照麦克斯韦方程：或写成协变形式：其中为电磁场能动张量，为四维电磁势，为四维电磁流密度。在真空中没有电荷电流分布地方，所以方程变为因为能量守恒方程，该方程四个分量只有三个分量独立，所以不能确定四维电磁势唯一解！为给出唯一解，我们需要加入一个限制条件（规范条件）。常取规范是洛伦兹规范：在洛伦兹规范下，麦克斯韦方程变为第121页由规范条件：波矢满足，表明电磁波波矢（传输方向）与其振动方向是垂直，也即电磁波是横波！第六讲引力波电磁波回顾该方程存在平面电磁波解：这里代表波矢（即波传输方向）。该解表明电磁场会以波形式向远处传输。拉普拉斯算子作用在该解上有由电磁波方程：波矢满足，表明电磁波是以光速传输。第122页第六讲引力波电磁波回顾电磁波有多少个独立振动分量？电磁波解：其中本身有四个分量，但因为，独立分量只有3个。实际上有物理意义独立分量只有2个，因为我们总能够做一个变换使其中一个分量变为0。第123页第六讲引力波电磁波回顾设光线沿着z轴传输，则。由：又由：做变换：故且要求满足则一样满足令则于是我们有第124页第六讲引力波电磁波回顾令则由得故总能够取一个坐标系使得，所以四个分量中只有2个分量（、）有物理意义！注意：这里电磁波（光子）是无质量，若为有质量粒子振动波，则不能经过坐标变换把第三个分量消去！提醒：有质量粒子平面波满足方程其中m为粒子质量。（注意这里）课后作业：证实这个结论。第125页第六讲引力波电磁波回顾螺旋度把电磁波绕波矢方向旋转角，即坐标变换矩阵为所以光子是自旋为1无质量粒子，有两个非零分量（螺旋度分别为），即有两个极化方向。*自旋和螺旋度之间关系：螺旋度为自旋在动量方向上投影，若粒子自旋为S，则各分量含有螺旋度为-S、-S+1、……、S-1、S。电磁波矢量为且满足所以我们有螺旋度定义：若任一平面波绕波矢方向转角而变换为则称有螺旋度h。所以光子含有螺旋度分量和螺旋度0分量。第126页第六讲引力波引力波引力场方程：在弱场近似下（）满足谐和坐标条件方程：若真空中没有其它引力源，则，也即，也应该有平面波解。类似电磁场，引力波解能够写为：由引力波方程：由谐和坐标条件：引力波一样以光速传输！第127页第六讲引力波引力波设引力波沿z轴传输，则又由得分别将指标取作0，x，y，z，我们有或电磁波有多少个独立振动分量？第128页第六讲引力波引力波取坐标变换：要使变换后仍满足，则须满足。所以我们能够看到：1、引力场即使是对称张量场，看起来有6个分量，但实际上也只有2个分量是独立。2、由能够看出，，即引力波也与其传输方向垂直，故引力波也是横波！引力场作为时空函数，满足广义协变原理，所以在坐标变换下引力场方程应含有相同形式！则设，则，也即令则其余各分量皆为零！第129页第六讲引力波引力波引力波螺旋度同理，依据螺旋度及自旋定义，引力子是自旋为2无质量粒子，有两个非零分量（螺旋度分别为），即有两个极化方向。把引力波绕波矢方向旋转角，即坐标变换矩阵为引力波矢量为所以我们有且满足第130页第六讲引力波理论预言：19Einstein、Eddington等首次提出测量方案：1959年Weber首次间接探测成功：1974年休斯、泰勒探测射电脉冲双星PSR1913+16（他们实际上是探测有引力波辐射阻尼造成双星轨道周期变小改变率）1993年诺贝尔奖。引力波探测第131页第六讲引力波引力波探测引力波直接探测：（2）LIGO（LaserInterferometerGravitational-WaveObservatory/激光干涉引力波天文台）原理：激光经过两个长臂空腔产生干涉条纹，引力波经过空腔时使两腔内激光光程差发生改变，从而造成条纹移动。有地面探测器和空间探测器等。位于美国路易斯安那州和华盛顿州，麻省理工学院和美国国家科学基金会共建，始建于1999年，启用于。臂长：4000m。（1）TAMA300（300mLaserInterferometerGravitationalWaveAntenna/300米激光干涉引力波天线）位于国家天文台（NAOJ）三鹰园区内，建成于1976年，启用于1995年。臂长：300m。网站：http://tamago.mtk.nao.ac.jp/spacetime/tama300_e.html（现已退伍）网站：/index.php（现已被advancedLIGO取代）第132页第六讲引力波引力波探测（4）LISA（LaserInterferometerSpaceAntenna/激光干涉空间天线）空间探测天线，为欧洲空间局（ESA）和美国国家空间局（NASA）共同策划，预期2034年投入使用。三角形边长：m。网站：/lisa/（ESA）、/lisa/（ESA）、http://(NASA)（3）Virgo引力波探测器位于意大利欧洲引力观察站(EGO)内，建成于，启用于年。臂长：4000m。网站：https://wwwcascina.virgo.infn.it/另外还有DECIGO（日本）、INDIGO（印度）等。第133页第六讲引力波引力波探测（5）BICEP（BackgroundImagingofCosmicExtragalacticPolarization/宇宙泛星系偏振背景成像仪）BICEP是意在探测宇宙早期产生微波背景辐射极化第一台微波偏振计。属于哈佛大学微波背景辐射组项目，位于南极阿蒙森-斯科特（Amundsen-Scott）空间站。第一代运作时间：1月到年12月。第二代运作时间：201月到2012月。第三代运作时间（预）：20~20。3月17号向公众公布了BICEP2最新测量结果。右图为新闻公布会实况。网站：/CMB/bicep2/第134页第六讲引力波引力波探测第135页第六讲引力波验证广义相对论正确性；提供早期宇宙状态、致密天体存在及其分布等信息，确认黑洞是否存在等等；有利于了解星系、星体内部活动、演化过程。引力波探测意义第136页第七讲黑洞黑洞概念普通来说，恒星靠热核反应来维持，分子热运动抵抗本身引力形成稳定恒星状态。当反应逐步完成后，热运动减弱，星体在引力作用下会发生塌缩。恒星白矮星中子星黑洞钱德拉塞卡极限（1.4倍太阳质量）奥本海默极限（3倍太阳质量）第137页第七讲黑洞黑洞概念黑洞之所以“黑”，是因为黑洞质量集中在一个很小区域内，形成强引力场，以至于附近光子都会被吸引而无法逃离，所以我们看不见黑洞。因为黑洞在各方向上被充分压缩，所以能够看成各项同性球体，黑洞外部引力场可用史瓦西度规来描述。若要形成吸引住光子强引力场，能够算出黑洞半径小于或等于史瓦西半径（拉普拉斯、奥本海默等）。第138页第七讲黑洞引力场方程史瓦西解黎曼曲率张量非零分量为能够看出该度规描述时空中有两个“奇异”之处：（奇面），，黎曼曲率张量各分量均不发散。能够经过坐标变换消除，如，所以不是真奇异。

（奇点），，黎曼曲率张量各分量均不发散。能够经过坐标变换消除，所以是真奇异（物理奇点）。黑洞解奇异性第139页第七讲黑洞面引力红移设一束频率为光从处发射抵达位于无穷远观察者处。依据光引力红移公式：为观察者所看到光频率。当越小时（光源越趋近于面），由该公式能够看到越小，即光谱线红移得越厉害。当光源位于面上时，我们有即远处观察者所看到光频率为0，光线变得无限“暗”，实际上他观察不到光子，因为光子需要经历无穷长时间才能抵达他那里。这种现象我们称为“无限红移”，而面称为“无限红移面”。第140页第七讲黑洞对远处观察者而言，光子从无限红移面处抵达观察者处需要无穷长时间，一样，从远处射向黑洞光子，抵达无限红移面处也需要无穷长时间！光子运动方程为，考虑沿径向飞向黑洞光子，，我们有对从远处到无限红移面积分，我们能够得到光子传输时间为：即光子永远也抵达不了红移面，或穿过红移面进入黑洞内部！史瓦西坐标对黑洞描述缺点第141页第七讲黑洞但若换成随光子一起运动随动观察者，将不会发觉这个问题。因为对于随动观察者，时间坐标变成固有时，度规变为该度规等价于时空可在任意范围内定义闵氏度规，所以光子落到黑洞没有什么问题！为何不一样坐标系中观察者会有不一样结论？原因在于我们在解史瓦西度规时候用到了一个假设：、正定，所以史瓦西度规只能定义于史瓦西半径以外时空中，而不能覆盖整个时空！史瓦西坐标对黑洞描述缺点第142页第七讲黑洞史瓦西度规不能覆盖整个时空，人们认为是坐标选取问题，所以人们采取了不一样坐标来描述黑洞，如乌龟坐标、Eddington坐标、Kruskal坐标等。Kruskal坐标令则度规变成大家能够看到，除了物理奇点外，度规没有任何奇点，时空各点能够平滑定义，这么就不会产生因参考系变换带来结论矛盾问题。Kruskal坐标不但能描述黑洞内外，还能描述史瓦西度规另一个物理对应——白洞。把上式中以及，所对应区域分别为白洞内部区和白洞外部区。换句话说，Kruskal坐标扩展了史瓦西时空。Kruskal坐标第143页第七讲黑洞宇宙监督假设黑洞解中物理奇点将使得宇宙曲率和能量变得无穷大，从而使宇宙在该点处处于一个不稳定状态，破坏时空因果性。为防止这一现象，彭罗斯提出一条“宇宙监督假设”：自然界中全部奇点均被视界所包围，从而我们看不见它。即自然界中存在一位“宇宙监督”，它禁止裸奇点出现。依据这条假设，我们永远无法看到这么奇点，自然也就无需担心他给我们理论描述带来困难。但该假设只是作为一个假设存在，它正确性当前还未得到验证。第144页第七讲黑洞黑洞视界无