2021年广东省珠海市城东中学高三数学文期末试卷含解析

2021年广东省珠海市城东中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.集合A，B的并集A∪B={a1，a2，a3}，当A1B时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数是（

）

（A）8

（B）9

（C）26

（D）27参考答案：D解：a1∈A或?A，有2种可能，同样a1∈B或?B，有2种可能，但a1?A与a1?B不能同时成立，故有22－1种安排方式，同样a2、a3也各有22－1种安排方式，故共有(22－1)3种安排方式．选D．2.设△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，且公比为q，则q+的取值范围是（）A．（0，+∞） B． （0，+1） C． （﹣1，+∞） D． （﹣1，+1）参考答案：D3.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出的是（

）A．，，

B．，，C．，，

D．，，参考答案：C4.已知，，，则A． B．C． D．参考答案：B从题意得：，，。所以B为正确答案.【点睛】指数或者对数比较大小，考查学生对指数与对数的图像与性质的灵活处理能力，需要学生抓住定点。算出所在区间在去比较大小。5.的展开式中的系数是A.1

B.2

C.3

D.12参考答案：C试题分析：根据题意，式子的展开式中含的项有展开式中的常数项乘以中的以及展开式中的含的项乘以中的两部分，所以其系数为，故选C.考点：二项式定理.6.已知球面上有A、B、C三点，且AB=AC=，BC=2，球心到平面ABC的距离为，则球的体积为

（

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B由题意，，可得，又由球心到截面ABC的距离为，正好是球心到BC的中点的距离，所以球的半径为，所以球的体积为，故选B.

7.已知f(x)在R上是奇函数，f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝(

)．A．－2

B．2

C．－98

D．98参考答案：A8.设集合，则满足的集合B的个数为

（

）

A．1

B．3

C．4

D．8参考答案：C9.在中，角所对的边分别为，为的外心，为边上的中点，，，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C10.已知a为实数，为虚数单位,，则a=（

）A．1 B． C． D．-2参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是原点，点的坐标满足，则的取值范围为

．参考答案：答案：[－3，3]12.平面向量满足，且，则的夹角等于

参考答案：略13.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=cos（x）+x，则函数f（x）的零点有

个．参考答案：7【考点】函数的零点．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】作f（x）=cos（x）+x（x＞0）的图象，由图象解交点的个数，从而求零点的个数．【解答】解：作f（x）=cos（x）+x（x＞0）的图象如下图，其在（0，+∞）上有三个零点，又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）的零点共有3×2+1=7个，故答案为：7．【点评】本题考查了函数的零点个数的判断，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．14.若行列式则

▲

．参考答案：2由得，即，所以。15.

函数的导数为

。参考答案：答案:

16.底面边长为、侧棱长为的正四棱柱的个顶点都在球的表面上，是侧棱的中点，是正方形的中心，则直线被球所截得的线段长为

．参考答案：略17.等差数列的前项和为，，则的值为

；参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级，据市场调查，若投入x万元，每件产品的成本将降低元，在售价不变的情况下，年销售量将减少万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为（单位：万元），（纯利润=每件的利润×年销售量-投入的成本）（Ⅰ）求的函数解析式；（Ⅱ）求的最大值，以及取得最大值时x的值.参考答案：解：（Ⅰ）依题意，产品升级后，每件的成本为元，利润为元

………………2分，年销售量为万件

………………3分纯利润为………………5分，（万元）…………7分（Ⅱ）

……9分，=178.5

…………10分，等号当且仅当

………………11分，此时（万元）…………12分.即的最大值是178.5万元，以及取得最大值时的值40万元.

略19.在平面直角坐标系xoy中，已知点A（0，1），点B在直线l1：y=﹣1上，点M满足，，点M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设直线l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P，且与直线l1：y=﹣1相交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），利用得，代入即可得出；（2）解法1：由曲线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），又设点，由直线l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，利用导数的几何意义可得切线的斜率，直线l2的方程为，令y=﹣1得Q点的坐标为，由于点N在以PQ为直径的圆上，可得=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）对x0恒成立，必须有，即可得出．解法2：设点P（x0，y0），由l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，利用导数的几何意义可得切线斜率，得到直线l2的方程为，令y=﹣1得Q点的坐标为，可得以PQ为直径的圆方程为：，由于在坐标平面内若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必为（0，1）或（0，﹣1），进一步确定即可．解答： 解：（1）设M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），∴，，．由得，即（﹣x，﹣2y）?（x，﹣2）=0?x2=4y，∴曲线C的方程式为x2=4y．（2）解法1：由曲线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），又设点，由直线l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，由得，∴，∴直线l2的方程为，令y=﹣1得，∴Q点的坐标为，∴，∵点N在以PQ为直径的圆上，∴=﹣2﹣（1+n）=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）对x0恒成立，必须有，解得n=1，∴在坐标平面内存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）．解法2：设点P（x0，y0），由l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，由得，∴，∴直线l2的方程为，令y=﹣1得，∴Q点的坐标为，∴以PQ为直径的圆方程为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①分别令x0=2和x0=﹣2，由点P在曲线C上得y0=1，将x0，y0的值分别代入①得：（y﹣1）（y+1）+（x﹣2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②（y﹣1）（y+1）+（x+2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③②③联立解得或，∴在坐标平面内若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必为（0，1）或（0，﹣1），将（0，1）的坐标代入①式得，①式，左边==2（1﹣y0）+2（y0﹣1）=0=右边，将（0，﹣1）的坐标代入①式得，①式，左边=不恒等于0，∴在坐标平面内是存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，点N坐标为为（0，1）．点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、利用导数的几何研究抛物线的切线斜率、圆的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.18．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝4x＋1，g(x)＝2x，x∈R，数列{an}、{bn}满足条件：a1＝1，an＋1＝g(an)＋1(n∈N*)，bn＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Tn，并求使得对任意n∈N*都成立的最大正整数m.参考答案：(1)由题意an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．∵a1＝1，∴数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．∴an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1.∵m∈N＋，∴m＝9.21.（本小题满分12分）

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在整个下落过程中它将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．（Ⅰ）求小球落入袋中的概率；（Ⅱ）在容器入口处依次放入2个小球，记落入袋中的小球个数为，试求的分布列和的数学期望．参考答案：解：（Ⅰ）当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下时小球才会落入袋中，故．

………5分（Ⅱ）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件与事件为对立事件，从而．

………8分显然，的取值为0、1、2，且；；．

的分布列为012p故

………12分（或由随机变量，故）略22.（12分）（2016?兴安盟一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AD⊥A1B，垂足为D．（Ⅰ）求证：AD⊥平面A1BC；（Ⅱ）若，AB=BC=1，P为AC的中点，求二面角P﹣A1B﹣C的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出A1A⊥BC，AD⊥BC．AD⊥A1B，由此能证明AD⊥平面A1BC．（Ⅱ）以B为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能求出平面PA1B与平面A1BC的夹角的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC?平面ABC，∴A1A⊥BC，…（2分）AB∩AA1=A，又AB⊥BC∴BC⊥面ABA1，…（4分）又AD?面ABA1又AD