专题1第2讲函数图象与性质

第

2

讲 函数的图象与性质感悟高考(2010·江苏)已知函数f(x)＝明确考向x2＋1，x≥0，1，x<0，则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x

的取值范围是(－1，2－1)

．解析

当

x＝－1

时，无解．当－1<x≤0

时，1－x2>0,2x≤0，f(1－x2)>f(2x)化为(1－x2)2＋1>1，恒成立当

0<x≤1

时，1－x2≥0,2x>0，f(1－x2)>f(2x)化为(1－x2)2＋1>(2x)2＋1，即1－x2>2x，(x＋1)2<2，∴0<x< 2－1.当1－x2<0，即x>1或x<－1时，无解．综上知，－1<x＜2－1.考题分析本小题主要考查了函数的单调性，分段函数等．以分段函数的表现形式考查了转化和化归以及分类点考查数学思想和方法的高考理念．本题如将f(1－

x2)>f(2x)改为f(1－x2)≥f(2x)，也是一个不错的题目，请易错提醒

(1)考生不能确定函数的单调性是致误的重要原因．可以画出草图，增加解题的直观性．(2)很多考生忽视了对1－x2≥02x≥0或1－x2<02x<0的分类．(3)计算错误．主干知识梳理函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．3．函数的性质(1)单调性如果对于定义域I

内某个区间

D

上的任意两个自变量的值x1，x2，且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)成立，则f(x)在D

上是增函数(都有f(x1)>f(x2)成立，则f(x)在D上是减函数)．(2)奇偶性对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则

f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．周期性周期函数

f(x)的最小正周期

T

必须满足下列两个条件：①当x

取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)②T

是不为零的最小正数．一般地，若T

为f(x)的周期，则nT(n∈Z)也为f(x)的周期，即f(x)＝f(x＋nT)．最值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数

M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；②存在x0∈I，使f(x0)＝M，那么称M

是函数y＝f(x)的最大值(最小值)．函数单调性的判定方法定义法：取值，作差，变形，定号，作答．其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解．导数法．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．5．函数奇偶性的判定方法定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．对于定义域内的任意一个x，若都有

f(－x)＝f(x)，则

f(x)为偶函数．

若都有

f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．若都有

f(－x)－f(x)＝0，则f(x)为偶函数．若都有

f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)为奇函数．6．指数函数与对数函数的图象和性质指数函数对数函数定义形如y＝ax

(a>0且a≠1)的函数叫指数函数形如

y＝logax(a>0且a≠1)的函数叫对数函数图象定义域R{x|x>0}值域{y|y>0}R过定点(0,1)(1,0)单调性0<a<1

时，在R

上单调递减；a>1

时，在R

上单调递增0<a<1

时，在(0，＋∞)上单调递减；a>1

时，在(0，＋∞)上单调递增函数值性质0<a<1，当x>0

时，0<y<1；当

x<0

时，y>10<a<1，当x>1

时，y<0；当

0<x<1

时，y>0a>1，当x>0

时，y>1；当

x<0

时，0<y<1a>1，当x>1

时，y>0；当0<x<1

时，y<0热点分类突破题型一

函数的值域(或最值)例1

已知函数

f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)，当

x∈(－3,2)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.求f(x)在[0,1]内的值域；c

为何值时，不等式

ax2＋bx＋c≤0

在[1,4]上恒成立？思维启迪利用数形结合，－3,2

是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0

的两根，求出a，b

的值，得f(x)的解析式，进而确定

f(x)在[0,1]内的值域，然后利用函数

g(x)＝ax2＋bx＋c

的性质，确定c.解

由题意得－3,2

是方程

ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，且

a≠0，则解得a＝－3，b＝5，2∴f(x)＝－3x－3x＋18.(1)

，由图象知，函数在[0,1]内单调递减，∴当

x＝0

时，y＝18；当

x＝1

时，y＝12，∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．20

a

2

(b

8)

2

a

ab,0

a

(3)2

(b

8)

(3)

a

ab,(2)方法一

令

g(x)＝－3x2＋5x＋c.∵g(x)在5，＋∞)上单调递减，[6要使g(x)≤0

在[1,4]上恒成立，则需要g(x)max＝g(1)≤0，即－3＋5＋c≤0，解得c≤－2.∴当c≤－2

时，不等式ax2＋bx＋c≤0

在[1,4]上恒成立．方法二

不等式－3x2＋5x＋c≤0

在[1,4]上恒成立，即

c≤3x2－5x

在[1,4]上恒成立．令g(x)＝3x2－5x，∵x∈[1,4]，且g(x)在[1,4]上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝3×12－5×1＝－2，∴c≤－2.即c≤－2

时，不等式ax2＋bx＋c≤0

在[1,4]上恒成立．探究提高

(1)确定函数

f(x)在[a，b]上的值域必须首先探求函数

f(x)在其定义域内的单

况，若

f(x)是基本初等函数，则可直接利用它的图象和性质求解，若

f(x)为其他函数，可利用单调性定义或导数法确定其性质，再求值域．(2)不等式恒成立问题的常见解法：①数形

，如本例第(2)问方法一，令

g(x)＝－3x2＋5x＋c，结合函数g(x)的图象和性质，建立参数c的关系式进行求解．②分离参数与主元，如本例第(2)问方法二，即将主元

x

与参数c

进行分离化为c≤3x2－5x，故c≤(3x2－5x)min，为所求．变式训练

1

设

f(x)＝x2－2ax＋2，当

x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a

恒成立，求

a

的取值范围．解

f(x)＝x2－2ax＋2

的对称轴为

x＝a.①当a≤－1

时，f(x)在[－1，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(－1)＝3＋2a，∴3＋2a≥a，∴a≥－3.即－3≤a≤－1.②当a>－1

时，f(x)min＝f(a)＝a2－2a2＋2＝2－a2，∴2－a2≥a，即a2＋a－2≤0，

解之得：－1<a≤1，综上所述：－3≤a≤1.题型二

函数的性质及应用例

2

设函数

f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R，a

为实数)．(1)若f(x)为偶函数，求实数

a

的值；(2)设a>2，求函数f(x)的最小值．思维启迪

(1)f(x)为偶函数⇒f(－x)＝f(x)⇒a＝0.(2)含绝对值的函数的实质是分段函数，可以通过对x取值的分类

．解

(1)由已知

f(－x)＝f(x)，即|2x－a|＝|2x＋a|，解得

a＝0.(2)f(x)＝2x2－2x＋a，1x

＋2x－a，

x≥1

，2ax<2a，12

21

，得

x>1，从而

x>－1，故

f(x)在

x

1a

时单调≥2aa212

2当x≥2a

时，f(x)＝x

＋2x－a＝(x＋1)－(a＋1)，由a>2，x≥2a递增，f(x)的最小值为f(2)＝

4

；当x<2a

时，f(x)＝x

－2x＋a＝(x－1)

＋(a－1)，a故当1≤x<2时，f(x)单调递增，当x<1

时，f(x)单调递减，则f(x)的最小值为f(1)＝a－1.a2由4

－(a－1)＝a－224>0，知f(x)的最小值为a－1.探究提高

(1)对于偶函数可得

f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；对于奇函数，若

x＝0有意义，则总有

f(0)＝0.含绝对值的函数一般都要去掉绝对值符号，化成分段函数．分段函数的单调性和最值问题，一般是在各段上分别说明，然后再合并说明．变式训练

2

已知函数

y＝xa＋x有如下性质：如果常数

a>0，那么该函数在(0,

a]上是减函数，在[

a＋∞)上是增函数．2b(1)如果函数y＝x＋x

在(0,4]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数，求实常数b

的值；x(2)设常数

c∈[1,4]，求函数

f(x)＝x＋c

≤x≤2)的(1最大值和最小值．a2bb解

(1)由函数

y＝x＋x的性质知：y＝x＋

x

在(0，

2

]上是减函数，在[

2b，＋∞)上是增函数，∴

2b＝4，∴2b＝16＝24，∴b＝4.(2)∵c∈[1,4]，∴

c∈[1,2]．cc，＋∞)又∵f(x)＝x＋x在(0,

c]上是减函数，在[上是增函数，∴在

x∈[1,2]上，当

x＝

c时，函数取得最小值

2

c.c又f(1)＝1＋c，f(2)＝2＋2，f(2)－f(1)＝1－c.2当c∈[1,2)时，f(2)－f(1)>0，f(2)>f(1)，此时

f(x)的最大值为

f(2)＝2＋c.2当c＝2时，f(2)－f(1)＝0，f(2)＝f(1)，此时

f(x)的最大值为

f(2)＝f(1)＝3.当c∈(2,4]时，f(2)－f(1)<0，f(2)<f(1)，此时

f(x)的最大值为

f(1)＝1＋c.综上所述，函数

f(x)的最小值为

2

c；c当c∈[1,2]时，函数

f(x)的最大值为

2＋2；当c∈(2,4]时，函数

f(x)的最大值为

1＋c.题型三

函数的图象及应用例

3

设函数

f(x)＝x2＋bx＋c

x≤0，2x>0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，求关于x

的方程f(x)＝x的解的个数.思维启迪由两个已知条件求出b，c，再利用函数图象或解方程求解．解

方法一

由

f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，可得16－4b＋c＝c，4－2b＋c＝－2，∴b＝4，c＝2，∴f(x)＝x2＋4x＋22x≤0，x>0，∴方程f(x)＝x

等价于或x>0，

x≤0，2x＝fx＝2，

x

＋4x＋2＝x.即x＝2，或2x≤0，x

＋3x＋2＝0.∴x＝2，或x＝－1，或x＝－2，即

f(x)＝x

有3

个解．方法二

由

f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，可得

b＝4，c＝2.∴f(x)＝x≤0，x>0，图象x2＋4x＋22．方程f(x)＝x

解的个数即y＝f(x)与y＝x

图象的交点个数．由图知两图象有A、B、C

三个交点，故方程有3

个解．探究提高函数的图象从直观上很好地反映出了函数的性质，所以在研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用，但要注意，利用图象求交点个数或解的个数问题时，作图要十分准确，否则容易出错．变式训练

3

已知

f(x)＝x＋1，x∈[－1，0，2x

＋1，x∈[0，1]，则下列函数的图象错误的是

(

)解析

函数

f(x)＝x＋1，x∈[－1，0，2x

＋1，x∈[0，1]由于函数f(x)＝2的图象函数f(x－1)的图象只需将y＝f(x)的图象向右平移一个单位，故A

正确；函数f(－x)的图象只需将y＝f(x)的图象关于y

轴对称故B

正确；函数f(|x|)的图象只需将y＝f(x)的图象y

轴右侧图象不变，左侧部分图象与右侧部分关于y

轴对称，故C

正确；x＋1，x∈[－1，0，x

＋1，x∈[0，1]|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象相同，故D

项错误．答案D题型四

基本初等函数axa例

4

设函数

f(x)＝log

(1－

)，其中

0<a<1.证明：f(x)是(a，＋∞)上的减函数；解不等式

f(x)>1.思维启迪(1)利用单调性的定义证明．(2)依据函数f(x)的单调性进行转化．(1)证明任取

x1，x2∈(a，＋∞)，且

x1<x2，则1

2

aax1

x2f(x

)－f(x

)＝log

(1－

a

)－log

(1－

a

)＝logax2x1－a1

2x

x

－a.∵x2x1－ax1x2－a－1＝x2x1－a－x1x2－ax1x2－a＝ax1－x2x1x2－a，又0<a<1，a<x1<x2，∴x1x2－ax2x1－a

x2x1－ax1x2－a－1<0，

>0.则0<x2x1－ax1x2－a<1，∴logax2x1－ax1x2－a1

2>0，有

f(x

)>f(x

)，∴f(x)是(a，＋∞)上的减函数．(2)解

方法一

∵0<a<1，a∴f(x)>1⇔log

(1a－x)>logaa①⇔1a

－x>0，ax1－

<a.②解不等式①得x>a

或x<0；解不等式②得0<x<a1－a.∵0<a<1，故a<a1－a.∴原不等式解集为{x|a<x<a1－a}．方法二

函数

f(x)的定义域为{x|x>a

或

x<0}．a∵0<a<1，∴当x<0

时，1－x>1，aa∴f(x)＝log

(1－x)<0

不合题意．当x>a时，解方程f(x)＝1，得x＝a1－a.由(1)知f(x)是(a，＋∞)上的减函数，∴f(x)>1时，x<a1－a.∵a<

a

，∴原不等式解集为{x|a<x<a1－a

1－a}．探究提高

(1)af(x)＝log

(1－x)a

的单调性，不可忽视0<a<1，及1－ax>0

的条件约束．a(2)f(x)>1⇔loga(1－x)>logaa⇔a1－x>0，ax1－

<a，不可忽视转化的等价性．(3)

方法二是充分利用函数f(x)的性质，对定义域{x|x>a或x<0}内的x排除了x<0后，寻找f(x)＝1是解题的关键．变式训练4

(2010)若函数f(x)＝x>0，log2x，

log

12－x，

x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)(

)解析

由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类

．f(a)>f(－a)⇒a>0log2a>

1

a或a<0⇒a>0或a<0

log

1

－a>log2－a

a>1

－1<a2⇒a>1或－1<a<0，故选C.答案

C2log规律方法总结定义域、值域和对应关系是决定函数的三个要素是一个整体，研究函数问题时务必要“定义域优先”．单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．函数的单调性使得自变量的不等关系和函数之间的不等关系可以“正逆互推”．判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法．对于选择题和填空题，也可用一些命题，如两个增(减)函数的和函数仍为增(减)函数．函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．函数图象是函数的一种直观形象的表示，是函数部分运用数形结合思想方法的基础，要掌握好画图、识图、用图三个基本问题．函数图象的对称性若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线

x＝a

对称．若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数

f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．(3)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数图象关于点(a，b)成中心对称．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类

、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．指数函数、对数函数的图象和性质受底数

a

的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数

a

的范围．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类、化归与转化等思想的运用.知能提升演练一、选择题1．设函数

f(x)与g(x)的定义域是{x∈R|x≠±1}

，函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，且f(x)－g(x)＝1x－1，则

f(x)等于

(

)

1

A.x2－12x2B.x2－1C.

2

x2－1D.

2xx2－1解析

∵f(x)－g(x)＝1x－1，∴f(－x)－g(－x)＝1－x－1，即

f(x)＋g(x)＝－1x＋1，∴2f(x)＝—1

1＝2.∴f(x)＝x－1

x＋1

x2－11x2－1，故选

A.答案

A2．(2010

)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是

(

)答案

D3．已知函数f(x)＝axa－3x＋4ax<0，x≥0满足对任意1x

≠x2，都有fx1－fx2x1－x241A．(0，

]

B．(0,1)<0

成立，则a

的取值范围是(

A

)4C．[1

1)

D．(0,3)，解析

对任意x1≠x2都有为减函数，fx1－fx2x1－x2<0知，f(x)在R上0<a<1，∴a－3<0，

即1≥4a，0<a<1，a<3，14a≤

，1∴0<a≤4，故选A.4．(2010

Ⅰ)已知函数f(x)＝

lg

x，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b

的取值范围是(

C

)1，＋∞A．(1，＋∞)

B.C．(2，＋∞)

D.2，＋∞解析

如图，由

f(a)＝f(b)，

lg

a

lg

b得

＝

.设0＜a＜b，则lg

a＋lg

b＝0.∴ab＝1，∴a＋b＞2

ab＝2.C．B181818∴0<x<(18f

log

18

1313二、填空题6．已知f(x)是定义在R

上的偶函数，并且f(x＋2)＝—1

，当2≤x≤3

时，f(x)＝x，则f(1.5)＝fx.解析

∵f(x＋2)＝－

1

，∴f(x＋4)＝－1fx＋2fx＝f(x)，∴T＝4，∴f(1.5)＝f(1.5－4)＝f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5.2.57．已知函数f(x)＝

a4－2x＋4ax－5x>6x≤6，数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是单调递增数列，则实数a的取值范围是(4,8)．解析

由题意可知实数

a

应满足a>1，a24－

>0，a24－

×6＋4<a7－5，a>1，即a<8，a<－7或a>4，即4<a<8.cac2ac1

1

1解析

∵logax＋logay＝c，∴logaxy＝c

(c>0)．∴xy＝a

，∴y＝

x

.由于仅有一个常数c，使x∈[a,2a]时，y∈[a，a2]满足方程．因此[a，a

]应是函数y＝

x

在x∈[a,2a]时的值域(因为常数c只有一个，从而函数的定义域确定时，值域也是确定的)．∵a≤x≤2a，且a>1，∴2a≤x≤a.ac

ac2a

x∴

≤ ≤ac－1，即ac－12≤y≤ac－1.∴ac－1

2

＝a，ac－1＝a2.8．设a>1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝c，这时a的取值的集合为

{2}

．∴c＝3，a＝2.三、解答题19．已知0<a<1，f(ax)＝x＋.x(1)求f(x)的解析式，并求出

f(x)的定义域；a(2)判断并证明

f(x)在[1

∞)上的单调性．，＋解

(1)令