微积分下习题集习题课答案

x2

yx2

y2

0

y2

0x2,在点(0,0)处连续,p.27.一.1.设f

(x,y)

x2

y2

A.则A

2.

f

(

x,

y)

22x2

xlimy

x0

0x

x0|

xy

|,则

fx

(0,0)

,

f

y

(0,0)

0

.3.设z

xf

(y

)

(x

1)y

ln

x,f

C

(1),x则x2

z

y2

z

xx

yy.y(

x

1)Ch6.课内Ex.p.27.4.设x

az

(y.a

z

b

z

a

b

1x

ya

b5.设z

f

(u)可微,u

(u)xyp(t

)dt,其中

(u)连续,.x

y且(u)

1,

p(t

)连续,则p(

y)

z

p(

x)

z

0p(

y)

z

p(

y)

f

(u)

u

p(

y)

f

(u)

p(

x)

,1

(u)x

xp(

x)

z

p(

x)

f

(u)

u

p(

x)

f

(u)

p(

y)

,1

(u)y

yp.27.6.原点到椭球面x2

y2

2z2

31上点(3,2,3)31.

7

处的切平面的距离d

切平面

:3

x

2

y

6z

31

0则gradrn

nrn-1

r.n

1(或n(

x2

y2

z2

)2

(

xi

y

j

zk

))x27.设r

y2

z2

0,p.27.二.计算题x2

yx2x2

y2

0

y20

y2

01.设f

(x)

x4,问(1)f

(x,y)在(0,0)处是否连续,为什么?(2)fx

(0,0),f

y

(0,0)是否存在?(3)f

(x,y)在(0,0)处是否可微?为什么?取y

kx2x2

ykx4222

4x0

xy0lim2

,k

y解(1)

limx0

(1

k

)

x

1

k极限不存在,

f

(x,y)在(0,0)处不连续.p.27.(2)从定义出发求偏导数fx

(0,0)

f

y

(0,0)

0;(3)

f

(x,y)在(0,0)处不连续,

f

(x,y)在(0,0)处不可微.p.28.二.2.函数f

(x,y,z)

(x

y)2

(y

z)2

(z

x)2在点M

(2,

1,2)处增加最快的方向是哪个方向?函数f

在该点沿上述方向的方向导数是什么?解fx

(x,y)

2(2

x

y

z),f

y

2(

x

2

y

z),

fz

(

x,

y)

2(

x

y

2z),在M

(2,

1,

2)处,grad

f

(10,4,10)

l,函数f

(x,y,z)在点M

(2,1,2)处沿(10,4,10)方向增加最快,方向导数为f

|

grad

f

(2,

1,

2)

|

102

42

102

6

6.l4z2p.28.二.3.在椭球面x2

y2

1的第一卦限上求一点,使椭球面在该点处的切平面在坐标轴上的截距的平方和最小.解设M0

(x0

,y0

,z0

)为椭球面第一卦限上的点,0

004n

2(x

,y

,z0

),

M

处的切平面方程化简为0

04x x

y y

z0

z

1,截距的平方和为

f

(

x,

y,

z)

1x2

1

16

,y2

z2z21

1

16x2

y2

z2

(

x2

y2

作

F

(

x,

y,

z)

1),43

2

x

0,

04xx32z2F

2y

F

2

y

0

F

zy332

zz

2令x2

y2

11

12

2M

(

,

, 2

),所求的点为最小值F

16.解得:

16,xp.28.三.1.设f

(u)可微,求证:曲面z

xf

(y

)上任意点M

(x,y,z)处的法线恒垂直于向径OM

.z

y

y

yf

( )

f

(

y

),

z

f

(

),证明n

(

f

y

f

,

f

,

1),xn

OM

xf

yf

yf

z

0,

n

OM

.p.28.三.2.设f

(x,y)

Ax2

2Bxy

Cy2

2Dx

2Ey

F

,且A

0,

B2

AC

0,证明:

存在唯一点(

x

,

y

)使0

0f

(x0

,y0

)为f

(x,y)的极小值.

fx

2

Ax

2By

2D

0

2Bx

2Cy

2E

0

,得唯一驻点y证明令

f0

0

00B2

B2

AC

AC(

x

,

y

),其中x

DC

BE

,

y

AE

BD

,又

f

y

2B,

f

yy

2C,且(2B)2

(2A)(2C

)

4(B2

AC

)

0,唯一驻点(x0

,y0

)为f

(x,y)的极小值点.Ch6.习题课(课外作业p.29)f

(

x)

,x2

x0y02.lim

1

cos

xy

y2.x2Ch6.课外Ex.p.29.一.1.已知z

x

y

f

(

x

x03.函数f

(x,y)在点(x0

,y0

)处可微是fx

(x0

,y0

)与fy

(

x0

,

y0

)

存在的充分

条件.x2

y2

2

y

2xy

(

x

y)2

2

y.z

4.设z

sin

x

F

(u),其中u

sin

y

sin

x,F

C

(1),则sec

x

z

sec

y

z

.x

y12

z.xy5.设z3

2

xz

y

0,则22.xayxay2

z

2

zx

yf

(t

)dt,f

可导,则a2

0

(3z

2

2

x6z设z

设u

y

z2

0,则.r

3grad

u

1

(

x,

y,

z)

(2

x,0,0)8.在曲面x2

2

y2

3z2

2xy

2xz

4

yz

8上,切平面.平行于xOy面的点是(0,

2

2,

2

2),(0,

2

2,

2

2)p.29.二.计算题.

y2

)x2

y2

02|

xy

|

sin(

x21.设f

(x,y),问x

y2

x20

y2

0f

(x,y)在(0,0)处是否连续?fx

(0,0),f

y

(0,0)是否存在?f

(x,y)在(0,0)处是否可微?为什么?sin(

x2

y2

)x2

y2解(1)

lim |

xy

|x0y0

0

f

(0,0),

f

(x,y)在(0,0)处连续.p.27.(2)从定义出发求偏导数

fx

(0,0)

f

y

(0,0)

0;(3)

f

fx

(0,0)x

f

y

(0,0)ysin[(x)2

(y)2

]|

xy

|(x)2

(y)2取x

2lim2(x)22

0

x01 sin

2(x)2

1

lim

0,

f

(x,y)在(0,0)处不可微.p.30.二.2.求球面x2

y2

z2

4a2与柱面x2

y2

2ay2a)处的切线方程(a

0)的交线在点M

(a,a,与法平面方程.解

n1

(2x,

2

y,

2z)

(a

,a

, 2a

)

2a(1,1,

2),n2

(2x,

2

y

2a,0)

(a

,a

, 2a

)

2a(1,0,0),

s

(1,1,

2)

(1,0,0)

(0,

2,

1),01切线方程为x

a

y

a

z

2a

,2a)

0.2法平面方程为

2(

y

a)

(z

或

2

y

z

0.对y

求导数，得二、

2.

由x2

y2

2ay

x2

y2

z2

a2x(

y)

y

a

,

z(

y)

a

,x

z2MM

x(

y)

0

,

z(

y)

1

,2a

,切线方程为：

x

a

y

a

z

0

1

1

2切平面方程为：

2y

z

0

.3p.30.二.3.经过点M

(2,1,1

)的所有平面中,哪个平面与三个坐标平面所围成的 体积最小.解.过原点的平面与三个坐标面不构成闭域.a

b

c设平面方程为

x

y

z

11

2

1

1平面过M0

(2,1,3),

a

b

3c

1,6目标函数

V

1

abc

,162

1

1a

b

3c令F

(a,b,c)abc

(

1),p.30.二.3.解续2616,

a

6

b

31613c2

c

1ab

0

9abF

(a,b,c)

ca21b

F

(a,b,c)

1

bc

2

0ac

0得F

(a,b,c)

2

1

1a

b

3c

1由min6

V

1

6

3

1

3.所求平面为

x

y

z

1.6

3

1p.30.三处的切证明设曲23

1(

x0

3

,

y0nM

切平面化简

截截距平2p.30.三.2.证明:函数f

(x,y)

ex

y

(5

2x

y)无极值.0xy2

ex

y

(2

x2

xy

5

x

1)

0

f2f

ex

y

(2

x

y

4)

0证明

令

,得M

(1,

2)x2

y

3

2

2fxx

e

(4x

2x y

10x

6x

y

5)x2

y

2fxy

e

(2x

xy

4x

1)x2

yf

yy

e

(2x

y

3)3在M0

(1,

2)处,

A

f

AC

B2

2e6

0,y

e

,C

f

e

,3

3yy

f

(x,y)无极值.Ch6.自测题p.31xp.31.一.1.设f

(a,b)

a

0,则.xx0lim

f

(a

x,b)

f

(a

x,b)

2

3

y2dy

(

y3

arccos

)dx1

2a

3.在曲线x

t,y

t

2

,z

t

3的所有切线中,与平面x

2

y

z

1平行的切线有

条.2df

(1,

y)

.2xy2y22.设f

(x,y)

xy3

(x

1)arccos,则3(1,

2t,

3t

2

)

(1,

2,1)

1

4t

3t

2

0

t

1,

t

1

.Ch6.自测.p.31.一.4.曲面z

2x2

y2平行于平面4x

2

y

z

04

x

2

y

z

3

0的切平面为4(x

1)

2(y

1)

(z

3)

05.函数f

(

x,

y,

z)

axy

bzy

c.8

.正方向的变化率最大为64,则a

6

,b

24

,c

由题设,gradf

(1,2,1)

(0,0,64),即3(1,2,1)

2b

2c

64x(1,2,1)

f

(1,

2,

1)

(ay2

3cx2

z2

)

4a

3c

0y(1,2,1)f

(1,

2,

1)

(2axy

bz)

4a

b

0zf

(1,

2,

1)

(by

2cx

z)

a

6,b

24,c

8.(x)2

(y)2

,p.31.二.1.设

f

(x,

y)

f

(0,0)2x

3(y)2

o(

),则(

D

).(

x

,

y

)(0,0)(A)

lim

f

(x,y)不存在;fx

(0,0),f

y

(0,0)皆不存在;fx

(0,0)

2,

f

y

(0,0)

3;D)f

(x,y)在(0,0)处可微.p.31.二.2.设z

f

(

x,

y)在(0,0)附近有定义,且fx

(0,0)

3,f

y

(0,0)

1,则(

C

).dz

3dx

dy;(偏导数存在不一定可微)(0,0)曲面z

f

(

x,

y)在点(0,0,

f

(0,0))的法向量为(3,1,1);y

0(C

)曲线

z

f

(

x,

y)在点(0,0,

f

(0,0))的切向量为(1,0,

3).2

z.xyp.31.三.计算题.1.设z

f

(2

x

y)

g(

x,

xy),

f

D(

2)

,

g

C

(

2)

,求三、

1.

zx

2

f

(2

x

y)

g1

yg2zxy

2

f

(2

x

y)

xg12

xyg222

g'

.2.设u

f

(

x,

y,

z)

C

(1)

,函数y

y(

x)和z

z(

x)分别由下列两式确定:0sin

ttdt,x

zexyx

xy

2

和

e

.dudx求解由e

xy

xy

2,得dy

y

,dx

x0x

z

sin

t(

x

z)ex,sin(

x

z)由ex

dzt

dxdt,得

1

p.32.三.2.解.x

y

zdx

dx

dx

du

f

(

x,

y,

z)

f

(

x,

y,

z)

dy

f

(

x,

y,

z)

dz

fx

(

x,

y,

z)

x

f

y

(

x,

y,

z)zp.32.三.3.设f

C(

2)

,

z

f

(ex

sin

y)满足方程2

z

2

z

x2

y2解设u

e2

xe

z求f

(u).22sin

y,uuux22x

f

e2y2uuuy

f

e代入(1)得解特征方程

r(1即

f

f

0,

f

(u)

c

eu

c

e

u

,(c

,c

为任意常数)1

2

1

2三.4.求函数z

x

y(4

x和y轴所围成的区域D上的最(大,小)值.

8xy

3x2

y

2xy2

xy(8

3

x

2

y)

0